2020年山东省济南市市中区育英教育集团中考数学一模试题（解析版） 24页

‎2020年山东省济南市市中区育英教育集团中考数学一模试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1.25的平方根是（　　）‎ A. ±5 B. 5 C. ﹣5 D. ±25‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如果一个数 x的平方是a，则x是a的平方根，根据此定义求解即可．‎ ‎【详解】∵（±5）2=25， ∴25的立方根是±5， 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了求一个数的平方根，解题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．‎ ‎2.如图，几何体的左视图是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找到从左面看所得到的图形，比较即可．‎ ‎【详解】观察可知，如图所示的几何体的左视图是：‎ ‎，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎3.用科学记数法表示0.00000022是（　　）‎ A. 0.22×10﹣6 B. 2.2×107 C. 2.2×10﹣6 D. 2.2×10﹣7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【详解】解：用科学记数法表示0.00000022是2.2×10-7．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎4.下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中心对称图形与轴对称图形的区别，逐一判断即可．‎ ‎【详解】解：∵A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴选项A不正确；‎ ‎∵B中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，∴选项B正确；‎ ‎∵C中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴选项C不正确；‎ ‎∵D中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，∴选项D不正确．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．‎ ‎5.下列计算正确的是（　　）‎ A. a2+a2=a4 B. a6÷a2=a4 C. （a2）3=a5 D. （a﹣b）2=a2﹣b2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解：A. a2+a2=2a2，故A选项错误；‎ B. a6÷a2=a4，故B正确；‎ C. （a2）3=a6，故C选项错误；‎ D. (a−b)2=a2+b2−2ab，故D选项错误．‎ 故选B．‎ ‎6. 如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（ ）‎ A. 25° B. 35° C. 45° D. 50°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：∵CD∥EF，∠C=∠CFE=25°，∵FC平分∠AFE，∴∠AFE=2∠CFE=50°，又∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE=50°，故选D．‎ 考点：平行线性质．‎ ‎7.某射击俱乐部将11名成员在某次射击训练中取得的成绩制成如图所示的条形统计图，由图可知，11名成员射击成绩的众数和中位数分别是（　　）‎ A. 8，9 B. 8，8 C. 8，10 D. 9，8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的那个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．‎ 详解：由条形统计图知8环的人数最多，‎ 所以众数为8环，‎ 由于共有11个数据，‎ 所以中位数为第6个数据，即中位数为8环，‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个，则找中间两个数的平均数．‎ ‎8.若不等式组无解，那么m的取值范围是（　　）‎ A. m＞2 B. m＜2 C. m≥2 D. m≤2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m的取值范围．‎ ‎【详解】解：‎ 由①得，x＞2，‎ 由②得，x＜m，‎ 又因为不等式组无解，‎ 所以根据“大大小小解不了”原则，‎ m≤2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎9.在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（　　）米．‎ A. 10 B. 10﹣12 C. 12 D. 10+12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．‎ ‎【详解】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，‎ ‎，‎ 由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．‎ 设BE＝x，CE＝2x．‎ 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，‎ 即x2+（2x）2＝（12）2，‎ 解得x＝12（米），‎ ‎∴BE＝12（米），CE＝24（米），‎ DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），‎ 由tan30°＝，得 ‎，‎ 解得AE＝10．‎ 由线段的和差，得 AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．‎ ‎10.抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，点P在函数y＝图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为( )‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先由二次函数与一元二次方程的关系求出A、B两点的坐标,然后分类讨论：①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为-3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个；②当∠APB=90°，设P（x，），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，此时P点有4个，③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个．‎ 详解：解得，‎ x=±3,‎ ‎∴A(-3,0)，B(3,0).‎ ‎①当∠PAB=90°时，如图1，P点的横坐标为-3，把x=-3代入y=得y=-，所以此时P点有1个；‎ ‎②当∠APB=90°，如图2，设P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x-3）2+（）2，AB2=（3+3）2=36，‎ ‎∵PA2+PB2=AB2，‎ ‎∴（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，‎ 整理得x4-9x2+4=0，所以x2=，或x2=，‎ 所以此时P点有4个，‎ ‎③当∠PBA=90°时，如图3，P点的横坐标为3，把x=3代入y=得y=，所以此时P点有1个；‎ 综上所述，满足条件的P点有6个．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查了二次函数与坐标轴的交点，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．‎ ‎11.如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC=4,CD=AB=2, ‎ ‎∴CE=BC=4，‎ ‎∴CE=2CD，‎ ‎∴ ‎ ‎∴，‎ 由勾股定理得： ‎ ‎∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′−S△CDE ‎ 故选D.‎ ‎12.平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y＝x+b的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（　　）‎ A. ﹣≤b＜1或＜b≤ B. ﹣≤b＜1或＜b≤‎ C. ﹣≤b＜﹣1或﹣＜b≤ D. ﹣≤b＜﹣1或＜b≤‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于直线BC：y=x+b与OA平行，分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围．‎ ‎【详解】解：如图1，直线l在OA的下方时，‎ ‎ 当直线l：y＝x+b过（0，﹣1）时，b＝﹣1，且经过（4，0）点，区域W内有三点整点，‎ 当直线l：y＝x+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），区域W内有三点整点，‎ ‎∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1．‎ 如图2，直线l在OA的上方时，‎ ‎∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）图象G，‎ 当直线l：y＝x+b过（1，2）时，b＝，‎ 当直线l：y＝x+b过（1，3）时，b＝，‎ ‎∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．‎ 综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，理解整点的定义是解题关键，并利用数形结合的思想．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13.分解因式：_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先提取a，再用公式法进行因式分解．‎ ‎【详解】=‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法的运用．‎ ‎14.五边形的内角和是_____°．‎ ‎【答案】540‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正多边形内角和公式计算即可．‎ ‎【详解】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，‎ 故答案为：540．‎ ‎【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．‎ ‎15.方程的解是__________．‎ ‎【答案】x=3．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：‎ 解得：x=3‎ 经检验：x=3是原方程的解 故答案为：x=3．‎ ‎16.A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发_____小时后和乙相遇．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象得出解析式后联立方程组解答即可．‎ ‎【详解】由图象可得：y甲=4t（0≤t≤5）；y乙=；‎ 由方程组，解得t=．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答．‎ ‎17.如图，正方形ABCD的边长为1，AC、BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③∠AFG＝135°；④BC+FG＝．其中正确的结论是_____．（填入正确的序号）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据四边形AEGF为平行四边形，以及，即可得到平行四边形AEGF是菱形；依据，即可得到的面积；依据四边形AEGF是菱形，可得；根据四边形AEGF是菱形，可得，进而得到．‎ ‎【详解】解：正方形ABCD的边长为1， ，，，． 由旋转的性质可知：，，，， ，，， 和均为直角边为的等腰直角三角形， ． 在和中， ， ≌， ‎ ‎，， ， ． ，，， 且， 四边形AEGF为平行四边形， ， 平行四边形AEGF是菱形，故正确； ，， ， 的面积，故正确； 四边形AEGF是菱形， ，故正确； 四边形AEGF是菱形， ， ，故不正确．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．‎ ‎18.如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC的四等分点（靠近点B的位置），F为B边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．‎ ‎【详解】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG 从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上 作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值 作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形， 则CM=MP+CP=HE+EC=2+3=5， 故答案为：5．‎ ‎【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算．‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎19.计算：|﹣2|﹣（﹣）0+（）﹣1﹣cos60°．‎ ‎【答案】3．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．‎ ‎【详解】解：原式＝2﹣1+3﹣‎ ‎＝1+3﹣‎ ‎＝4﹣‎ ‎＝3．‎ ‎【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎20.解不等式组．‎ ‎【答案】﹣0.5＜x≤0．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【详解】解：‎ 由①得：x＞﹣0.5，‎ 由②得：x≤0，‎ 则不等式组的解集是﹣0.5＜x≤0．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．‎ ‎21.如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF．连接AF、CE交于点G．求证：∠DGE＝∠DGF．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．‎ ‎【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴DA＝DC＝AB＝BC，‎ ‎∵AE＝CF，‎ ‎∴DE＝DF，‎ ‎∵∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，‎ ‎∴△DEG≌△DFG（SAS），‎ ‎∴∠DGE＝∠DGF．‎ ‎【点睛】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.‎ ‎22.济南市地铁1号线于2019年1月1日起正式通车，在修建过程中，技术人员不断改进技术，提高工作效率，如在打通一条长600米的隧道时，计划用若干小时完成，在实际工作过程中，每小时打通隧道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务．‎ ‎（1）求原计划每小时打通隧道多少米？‎ ‎（2）如果按照这个速度下去，后面的300米需要多少小时打通？‎ ‎【答案】（1）原计划每小时打通隧道50米．（2）按照这个速度下去，后面的300米需要5小时打通．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设原计划每小时打通隧道x米，则实际工作过程中每小时打通隧道1.2x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在打通一条长600米的隧道时实际比原计划提前2小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据工作时间=工作总量÷工作效率（提高工作效率后的工作效率），即可求出结论．‎ ‎【详解】解：（1）设原计划每小时打通隧道x米，则实际工作过程中每小时打通隧道1.2x米，‎ 依题意，得：＝2，‎ 解得：x＝50，‎ 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．‎ 答：原计划每小时打通隧道50米．‎ ‎（2）300÷（50×1.2）＝5（小时）．‎ 答：按照这个速度下去，后面的300米需要5小时打通．‎ ‎【点睛】此题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．‎ ‎23.如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且＝，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．‎ ‎（1）证明：GF是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AG＝6，GE＝6，求⊙O的半径．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OE，由知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；‎ ‎（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝3．‎ ‎【详解】解：（1）如图，连接OE，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∵∠2＝∠3，‎ ‎∴∠1＝∠3，‎ ‎∴OE∥BF，‎ ‎∵BF⊥GF，‎ ‎∴OE⊥GF，‎ ‎∴GF是⊙O的切线；‎ ‎（2）设OA＝OE＝r，‎ 在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，‎ ‎∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，‎ 解得：r＝3，‎ 故⊙O的半径为3．‎ ‎【点睛】本题考查圆切线的性质,关键在于熟记基本性质,结合图形灵活运用.‎ ‎24.自深化课程改革以来，某市某校开设了：A．利用影长求物体高度，B．制作视力表，C．设计遮阳棚，D．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ 根据图中信息解决下列问题：‎ ‎（1）本次共调查　 　名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为　 　度；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）选修D类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．‎ ‎【答案】（1）60 ， 144（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用C类别人数除以其所占百分比可得总人数，用360°乘以C类别人数占总人数的比例即可得； （2）总人数乘以A类别的百分比求得其人数，用总人数减去A，B，C的人数求得D类别的人数，据此补全图形即可； （3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【详解】(1)本次调查的学生人数为12÷20%=60（名），‎ 则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为360°×=144°．‎ 故答案为60 , 144‎ ‎(2)A类别人数为60×15%=9（人），‎ 则D类别人数为60﹣(9+24+12)=15（人），‎ 补全条形图如下：‎ ‎ ‎ ‎      (3)画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数为8，所以所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率为=．‎ ‎【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．‎ ‎25.如图，在矩形中，，，反比例函数（）的图像与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且.‎ ‎（1）求点D的坐标和的值；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），4；（2）见解析；（3）存在点，或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；‎ ‎（2）由E点在反比例函数图像上，可求E点坐标，进而求出EC的长即可求证. （3）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4-m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．‎ ‎【详解】解：（1）在矩形中，轴，且，‎ ‎∴点的纵坐标为3.‎ ‎∵，且，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎∴点在反比例函数图像上，‎ ‎∴.‎ ‎（2）证：∵上，‎ ‎∴横坐标为4，‎ 在中，当时，，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（3）存在点，使，其过程是：‎ 设，则.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，即.解得或.‎ 或.‎ ‎【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得△AOP∽△PCE是解此题的关键．‎ ‎26.在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC中点，点P是线段AD上的一点，点P与点A、点D不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接A1B1、BB1‎ ‎（1）如图①，当0°＜α＜90°，在α角变化过程中，请证明∠PAA1＝∠PBB1．‎ ‎（2）如图②，直线AA1与直线PB、直线BB1分别交于点E，F．设∠ABP＝β，当90°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图③，当α＝90°时，点E、F与点B重合．直线A1B与直线PB相交于点M，直线BB′与AC相交于点Q．若AB＝，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x函数关系式．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）α﹣2β＝90°；（3）y＝．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用旋转得出两个顶角相等的两个等腰三角形，即可得出结论； （2）假设存在，然后利用确定的出AE=BE，即可求出∠A1AP=∠AA1P，最后用∠BAC=45°建立方程化简即可； （3）先判断出△ABQ∽△CPB，得出比例式即可得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）∵将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，‎ ‎∴∠APA1＝∠BPB1＝α，AP＝A1P，BP＝B1P，‎ ‎∴∠AA1P＝∠A1AP＝＝，∠BB1P＝∠B1BP＝＝，‎ ‎∴∠PAA1＝∠PBB1，‎ ‎（2）假设在α角变化的过程中，存在△BEF与△AEP全等，‎ ‎∵△BEF与△AEP全等，‎ ‎∴AE＝BE，‎ ‎∴∠ABE＝∠BAE＝β，‎ ‎∵AP＝A1P，‎ ‎∴∠A1AP＝∠AA1P＝，‎ ‎∵AB＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝45°，‎ ‎∴β+＝45°，‎ ‎∴α﹣2β＝90°，‎ ‎（3）当α＝90°时，‎ ‎∵AP＝A1P，BP＝B1P，∠APA1＝∠BPB2＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠PBB1＝45°，‎ ‎∵∠A＝∠C，∠AQB＝∠C+∠QBC＝45°+∠QBC＝∠PBC，‎ ‎∴△ABQ∽△CPB，‎ ‎∴，‎ ‎∵AB＝，‎ ‎∴，‎ ‎∴y＝．‎ ‎【点睛】此题考查几何变换综合题，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是得出∠BAC=45°，解（3）的关键是判断出△ABQ∽△CPB．‎ ‎27.若二次函数的图象与轴分别交于点、，且过点.‎ ‎（1）求二次函数表达式；‎ ‎（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且,求点的坐标；‎ ‎（3）在抛物线上（下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（l） ；（2）点的坐标为；（3）点到轴的距离为 .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据待定系数法，计算即可.‎ ‎（2）首先设出P点的坐标，再利用求解未知数，可得P点的坐标.‎ ‎（3）首先求出直线AB的解析式，过点作轴，垂足为，作轴交于点，再利用平行证明，列出方程求解参数，即可的点到轴的距离.‎ ‎【详解】（l）因为抛物线过点，∴，‎ 又因为抛物线过点， ‎ ‎∴ ‎ 解，得 ‎ 所以，抛物线表达式为 ‎ ‎（2）连接，设点.‎ 则 ‎ 由题意得 ‎ ‎∴或（舍）‎ ‎∴ ‎ ‎∴点的坐标为.‎ ‎（3）设直线的表达式为，因直线过点、‎ ‎，‎ ‎∴‎ 解，得 ‎ 所以的表达式为 ‎ 设存在点满足题意，点的坐标为，过点作轴，垂足为，作轴交于点，则的坐标为，，.‎ 又轴 ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴.‎ 在中 解得： ‎ 所以点到轴的距离为 ‎【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合性问题，难度系数高,但是是中考的必考知识点,应当熟练地掌握.‎