呼和浩特专版2020中考数学复习方案第五单元四边形第25课时正方形及中点四边形课件 43页

第 25 课时　 正方形及中点四边形 第五单元　四边形 定义 　 四条边都相等 , 四个角都是直角的四边形叫做正方形 性质 (1) 正方形四条边 ① 　　　　 ;  (2) 正方形四个角都是 ② 　　　　 ;  (3) 正方形的对角线相等且互相 ③ 　　 　 , 每条对角线平分一组对角 ;  (4) 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 , 对称轴有四条 , 对称中心是对角线的交点 考点一　正方形 考点聚焦 相等 直角 垂直平分 判定 (1) 有一组邻边相等的 ④ 　　　 是正方形 ;  (2) 有一个角是直角的 ⑤ 　　　 是正方形 ;  (3) 对角线相等的 ⑥ 　　　 是正方形 ;  (4) 对角线 ⑦ 　 　　　 的矩形是正方形   （续表） 矩形 菱形 菱形 互相垂直 考点二　平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 1 . 包含关系 2 . 特殊关系 考点三　中点四边形 顺次连接四边形各边中点所得的四边形 , 我们称之为中点四边形 . 中点四边形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理 . 常见结论如下 : 原四边形的形状 中点四边形的形状 任意四边形 ⑧ 　　 　   平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 ⑨ 　 　　   正方形 ⑩ 　 　　   平行四边形 矩形 正方形 题组一　必会题 对点演练 1 . [2019· 雅安 ] 如图 25-1, 在四边形 ABCD 中 , AB=CD , AC , BD 是对角线 , E , F , G , H 分别是 AD , BD , BC , AC 的中点 , 连接 EF , FG , GH , HE , 则四边形 EFGH 的形状是 ( 　　 ) A . 平行四边形 B . 矩形 C . 菱形 D . 正方形 图 25-1 [ 答案 ] C 2 . 如图 25-2, 四边形 AFDC 是正方形 , ∠ CEA 和∠ ABF 都是直角且 E , A , B 三点共线 , AB= 4, 则阴影部分的面积是 　　　　 .  8 图 25-2 3 . 如图 25-3, 在正方形 ABCD 中 , M 是 BC 上一点 , 连接 AM , 作 AM 的垂直平分线 GH 交 AB 于 G 点 , 交 CD 于 H 点 , 已知 GH= 12 cm, 则 AM 的长是 　　　　 .  图 25-3 [ 答案 ] 12 cm 4 . [ 八下 P63 实验与探究 ] 如图 25-4, 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O , 点 O 又是正方形 A 1 B 1 C 1 O 的一个顶点 , 而且这两个正方形的边长相等 . 无论正方形 A 1 B 1 C 1 O 绕点 O 怎样转动 , 两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的 　　　　 .  图 25-4 题组二　易错题 【 失分点 】 在四边形的基础上增加条件判定其为正方形时出错 ; 对各类四边形各自的中点四边形的判定出现错误 . 5 . [2018· 湘潭 ] 如图 25-5, 已知点 E , F , G , H 分别是菱形 ABCD 各边的中点 , 则四边形 EFGH 是 ( 　　 )  A . 正方形 B . 矩形 C . 菱形 D . 平行四边形 B 图 25-5 6 . 四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , 能判定四边形是正方形的条件是 ( 　　 ) A .AC=BD , AB=CD , AB ∥ CD B .AO=BO=CO=DO , AC ⊥ BD C .AD ∥ BC , ∠ A= ∠ C D .AO=CO , BO=DO , AB=BC B 考向一　正方形的性质与判定 图 25-6 例 1 已知 : 如图 25-6, 在正方形 ABCD 中 , 点 E 在边 CD 上 , AQ ⊥ BE 于点 Q , DP ⊥ AQ 于点 P. (1) 求证 : AP=BQ ; (2) 在不添加任何辅助线的情况下 , 请直接写出图中四对线段 , 使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ 的长 . 解 :(1) 证明 : ∵正方形 ABCD , ∴ AD=BA , ∠ BAD= 90°, 即∠ BAQ + ∠ DAP= 90° . ∵ DP ⊥ AQ , ∴∠ ADP + ∠ DAP= 90°, ∴∠ BAQ= ∠ ADP. ∵ AQ ⊥ BE 于点 Q , DP ⊥ AQ 于点 P , ∴∠ AQB= ∠ DPA= 90°, ∴ △ AQB ≌△ DPA (AAS), ∴ AP=BQ. (2) 四对线段分别为 AQ 与 AP , AQ 与 BQ , DP 与 AP , DP 与 BQ. 图 25-6 例 1 已知 : 如图 25-6, 在正方形 ABCD 中 , 点 E 在边 CD 上 , AQ ⊥ BE 于点 Q , DP ⊥ AQ 于点 P. (2) 在不添加任何辅助线的情况下 , 请直接写出图中四对线段 , 使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ 的长 . | 考向精练 | 图 25-7 [ 答案 ] C 图 25-8 C 4 . [2018· 呼和浩特 16 题 ] 如图 25-9, 已知正方形 ABCD 中 , 点 M 是边 BA 延长线上的动点 ( 不与点 A 重合 ), 且 AM ∠ CAD= 45°, ∴∠ CHM> 135°, ∴③正确 . 图 25-10 图 25-10 图 25-10 图 25-11 解 :(1) b= 3 . 图 25-11 图 25-11 考向二　中点四边形 例 2 [ 八下 P50 习题 18 . 1 第 5 题 ] 如图 25-12,▱ ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O , 且 E , F , G , H 分别是 AO , BO , CO , DO 的中点 . 求证 : 四边形 EFGH 是平行四边形 . 图 25-12 | 考向精练 | [2017· 呼和浩特实验教育集团启东校区 6 月份月考 ] 我们给出如下定义 : 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形 . (1) 如图 25-13 ① , 四边形 ABCD 中 , 点 E , F , G , H 分别为边 AB , BC , CD , DA 的中点 . 求证 : 中点四边形 EFGH 是平行四边形 ; (2) 如图② , 点 P 是四边形 ABCD 内一点 , 且满足 PA=PB , PC=PD , ∠ APB= ∠ CPD , 点 E , F , G , H 分别为边 AB , BC , CD , DA 的中点 , 猜想中点四边形 EFGH 的形状 , 并证明你的猜想 ; 图 25-13 (3) 若改变 (2) 中的条件 , 使∠ APB= ∠ CPD= 90°, 其他条件不变 , 直接写出中点四边形 EFGH 的形状 . ( 不必证明 ) 图 25-13 [2017· 呼和浩特实验教育集团启东校区 6 月份月考 ] 我们给出如下定义 : 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形 . (2) 如图② , 点 P 是四边形 ABCD 内一点 , 且满足 PA=PB , PC=PD , ∠ APB= ∠ CPD , 点 E , F , G , H 分别为边 AB , BC , CD , DA 的中点 , 猜想中点四边形 EFGH 的形状 , 并证明你的猜想 ; 图 25-13 [2017· 呼和浩特实验教育集团启东校区 6 月份月考 ] 我们给出如下定义 : 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形 . (3) 若改变 (2) 中的条件 , 使∠ APB= ∠ CPD= 90°, 其他条件不变 , 直接写出中点四边形 EFGH 的形状 . ( 不必证明 ) 图 25-13 [ 答案 ] (3) 四边形 EFGH 是正方形 . [ 解析 ] 如图②中 , 设 AC 与 BD 交于点 O , AC 与 PD 交于点 M , AC 与 EH 交于点 N. 易证 △ APC ≌△ BPD , ∴∠ ACP= ∠ BDP , ∵∠ DMO= ∠ CMP , ∴∠ COD= ∠ CPD= 90°, ∵ EH ∥ BD , AC ∥ HG , ∴∠ EHG= ∠ ENO= ∠ BOC= ∠ DOC= 90°, 易证四边形 EFGH 是菱形 , ∴四边形 EFGH 是正方形 .