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- 2021-05-10 发布
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图形的相似
第三十一讲
第六章 图形的变化
知识盘点
1
、比和比例的有关概念
2
.比例的基本性质及定理
3
.平行线分线段成比例定理
4
.相似三角形的定义、判定及性质
5
、
相似多边形的性质
6
、位似图形
难点与易错点
(3)
由于运用三点定形法
时
常会碰到三点共
线
或四点中没有相同点的情况
,
此
时
可考
虑
运用等
线
、等比或等
积进
行
变换
后
,
再考
虑
运用三点定形法
寻
找相似三角形
,
这
种方法就是等量代
换
法.
在
证
明比例式
时
,
常常要用到中
间
比.
3
.
判定两个三角形相似的技巧:
(1)
先找两
对对应
角相等
,
一般
这
个条件比
较简单
;
(2)
若只能找到一
对对应
角相等
,
则
判断相等角的两
夹边
是否
对应
成比例;
(3)
若找不到角相等
,
就判断三
边
是否
对应
成比例;
(4)
若
题
目出
现
平行
线
,
则
直接运用基本定理得出相似的三角形.
4
.
五种基本思路
(1)
条件中若有平行
线
,
可采用相似三角形的基本定理;
(2)
条件中若有一
对
等角
,
可再找一
对
等角或再找
夹边
成比例;
(3)
条件中若有两
边对应
成比例
,
可找
夹
角相
等;
(4)
条件中若有一
对
直角
,
可考
虑
再找一
对
等角或
证
明斜
边
、直角
边对应
成比例;
(5)
条件中若有等腰三角形
,
可找
顶
角相等
,
或找一
对
底角相等
,
或找底和腰
对应
成比例.
C
1
.
(
2015
·
眉山
)
如图
,
AD∥BE∥CF
,
直线
l
1
、
l
2
与这三条平行线分别交于点
A
,
B
,
C
和点
D
,
E
,
F.
已知
AB
=
1
,
BC
=
3
,
DE
=
2
,
则
EF
的长为
(
)
A
.
4 B
.
5 C
.
6 D
.
8
D
夯实基础
B
3
.
(
2015
·
铜仁
)
如图
,
在平行四边形
ABCD
中
,
点
E
在边
DC
上
,
DE∶EC
=
3∶1
,
连接
AE
交
BD
于点
F
,
则△
DEF
的面积与△
BAF
的面积之比为
( )
A
.
3∶4 B
.
9∶16
C
.
9∶1 D
.
3∶1
4
.
(
2015
·
营口
)
如图
,
△
ABE
和△
CDE
是以点
E
为位似中心的位似图形
,
已知点
A(3
,
4)
,
点
C(2
,
2)
,
点
D(3
,
1)
,
则点
D
的对应点
B
的坐标是
( )
A
.
(4
,
2) B
.
(4
,
1) C
.
(5
,
2) D
.
(5
,
1)
C
B
5
.
(
2015
·
南通
)
如图
,
AB
为⊙
O
的直径
,
C
为⊙
O
上一点
,
弦
AD
平分∠
BAC
,
交
BC
于点
E
,
AB
=
6
,
AD
=
5
,
则
AE
的长为
(
)
A
.
2.5 B
.
2.8
C
.
3 D
.
3.2
类型一:比例的基本性质、黄金分割
D
【
点评
】
此
题
考
查
了比例的性
质.
此
题
比
较简单
,
解
题
的关
键
是注意掌握比例的性
质
与比例
变
形.
典例探究
A
类型二:三角形相似的性质及判定
【
例
2
】
(
2015
·
湘潭
)
如图
,
在
Rt
△ABC
中
,
∠
C
=
90°
,
△
ACD
沿
AD
折叠
,
使得点
C
落在斜边
AB
上的点
E
处.
(1)
求证:△
BDE∽△BAC
;
(2)
已知
AC
=
6
,
BC
=
8
,
求线段
AD
的长度.
解:证明:
(
1
)
∵∠C
=
90°
,
△
ACD
沿
AD
折叠
,
∴∠
C
=
∠
AED
=
90
°
,
∴∠
DEB
=
∠
C
=
90
°
,
∵∠
B
=
∠
B
,
∴△
BDE
∽△
BAC
【
点评
】
本
题
考
查
了相似三角形的判定和性
质
,
关
键
是根据
(
1)
、折叠的性
质
:折叠是一种
对
称
变换
,
它属于
轴对
称
,
根据
轴对
称的性
质
,
折叠前后
图
形的形状和大小不
变
,
位置
变
化
,
对应边
和
对应
角相等;
(2)
、勾股定理求解.
类型三:相似三角形综合问题
【
点评
】
本
题
考
查
的是相似三角
形的判定与性
质
、
圆
内
接四
边
形的性
质
以及垂径定理
,
根据
题
意判断出
△
PAD
∽△
PCB
是解答此
题
的关
键.
类型四:相似多边形与位似图形
【
例
4
】
(
2015
·
漳州
)
如图
,
在
10×10
的正方形网格中
,
点
A
,
B
,
C
,
D
均在格点上
,
以点
A
为位似中心画四边形
AB′C′D′
,
使它与四边形
ABCD
位似
,
且位似比为
2.
(1)
在图中画出四边形
AB′C′D′
;
(2)
填空:△
AC′D′
是
___________
三角形.
解:
(
1
)
如图所示
(
2
)
∵AC′
2
=
4
2
+
8
2
=
16
+
64
=
80
,
AD
′
2
=
6
2
+
2
2
=
36
+
4
=
40
,
C
′
D
′
2
=
6
2
+
2
2
=
36
+
4
=
40
,
∴
AD
′
=
C′D′
,
AD
′
2
+
C
′
D
′
2
=
AC′
2
,
∴△
AC
′
D
′
是等腰直角三角形.故答案为等腰直角
等腰直角
【
点评
】
画位似
图
形的一般步
骤为
:
①确定位似中心
,
②
分
别连
接并延
长
位似中心和能代表原
图
的关
键
点;
③根据相似比
,
确定能代表所作的位似
图
形的关
键
点;
顺
次
连
接上述各点
,
得到放大或
缩
小的
图
形.
同
时
考
查
了勾股定理及其逆定理等知
识.
熟
练
掌握网格
结
构以及位似
变换
的定
义
是解
题
的关
键.
解:
(
1
)
证明:
∵
菱形
AEFG∽
菱形
ABCD
,
∴∠
EAG
=
∠
BAD
,
∴∠
EAG
+
∠
GAB
=
∠
BAD
+
∠
GAB
,
∴∠
EAB
=
∠
GAD
,
∵
AE
=
AG
,
AB
=
AD
,
∴△
AEB
≌△
AGD
,
∴
EB
=
GD
审题视角
三角形内从两个
顶
点出
发
,
分
别
与其
对边
相交的
线
段
,
它
们
又相交于一点.
这时
,
三角形的两
边
、上述两条相交
线
段均被有关分点分成不同的
线
段比
,
这
些
线
段的比之
间
存在相互依存和制
约
的关系
,
知道其中任意两条
线
段被分点分成的比
,
就可以求出其他任一
线
段被分点所分成的比.
这一
问题
的解决
办
法
,
主要是利用平行
线
(
作
辅
助
线
)
.
辅
助
线
的作法:主要是
过
三角形
边
上的点作欲求分比
线
段的平行
线
,
构成两
对
相似三角形.
本
题
可以
过
点
E
作
EG
∥
CD
交
AB
于点
G
,
则
有
△
BEG
∽△
BCD
,
△
ADO
∽△
AGE
.
本
题
也可
过
点
D
作
AE
的平行
线
,
同
样
也可以求得相关的比
值.
答题思路
第一步:
审题
,
理解
问题
,
清楚
问题
中的已知条件与未知
结论
;
第二步:
过
三角形
边
上的点作欲求分比
线
段的平行
线
,
构成两
对
相似三角形;
第三步:根据相似三角形的性
质
,
得出与欲求分比
线
段相关
联
的
两
线
段的比
值
;
第四步:根据比例的性
质
逐步求得欲求分比
线
段的比
值
;
第五步:反思回
顾
,
查
看关
键
点、易
错
点
,
完善解
题
步
骤.
易错:
剖析
(1)
此
题
中
,
Rt
△
ABC
与
Rt
△
ADC
中
,
∠
ACB
=
∠
ADC
=
90°
,
∠
B
可能与
∠
ACD
相等
,
也可能与
∠
CAD
相等
,
三角形
△
ABC
与
△
ADC
相似可能是
△
ABC
∽△
ACD
或
△
ABC
∽△
CAD
.
根据
对应边
成比例
,
有两种情况需要分
类讨论.
(2)
分
类讨论
在几何中的
应
用也很广泛
,
可以
说
整个平面几何的知
识结
构
贯
穿了分
类讨论
的思想方法.
(3)
在解
题过
程中
,
不
仅
要掌握
问题
中的条件与
结论
,
还
要在推理的
过
程中不断地
发现题
目中的
隐
含条件
,
以便全面、正确、迅速地解决
问题.
忽
视
已知条件
,
实质
上是
对
概念理解不
详
、把握不准的表
现.