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  • 2021-05-10 发布

中考数学一轮复习 图形的变化 图形的相似

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图形的相似 第三十一讲 第六章 图形的变化 知识盘点 1 、比和比例的有关概念 2 .比例的基本性质及定理 3 .平行线分线段成比例定理 4 .相似三角形的定义、判定及性质 5 、 相似多边形的性质 6 、位似图形 难点与易错点 (3) 由于运用三点定形法 时 常会碰到三点共 线 或四点中没有相同点的情况 , 此 时 可考 虑 运用等 线 、等比或等 积进 行 变换 后 , 再考 虑 运用三点定形法 寻 找相似三角形 , 这 种方法就是等量代 换 法. 在 证 明比例式 时 , 常常要用到中 间 比. 3 . 判定两个三角形相似的技巧: (1) 先找两 对对应 角相等 , 一般 这 个条件比 较简单 ; (2) 若只能找到一 对对应 角相等 , 则 判断相等角的两 夹边 是否 对应 成比例; (3) 若找不到角相等 , 就判断三 边 是否 对应 成比例; (4) 若 题 目出 现 平行 线 , 则 直接运用基本定理得出相似的三角形. 4 . 五种基本思路 (1) 条件中若有平行 线 , 可采用相似三角形的基本定理; (2) 条件中若有一 对 等角 , 可再找一 对 等角或再找 夹边 成比例; (3) 条件中若有两 边对应 成比例 , 可找 夹 角相 等; (4) 条件中若有一 对 直角 , 可考 虑 再找一 对 等角或 证 明斜 边 、直角 边对应 成比例; (5) 条件中若有等腰三角形 , 可找 顶 角相等 , 或找一 对 底角相等 , 或找底和腰 对应 成比例. C 1 . ( 2015 · 眉山 ) 如图 , AD∥BE∥CF , 直线 l 1 、 l 2 与这三条平行线分别交于点 A , B , C 和点 D , E , F. 已知 AB = 1 , BC = 3 , DE = 2 , 则 EF 的长为 ( ) A . 4 B . 5 C . 6 D . 8 D 夯实基础 B 3 . ( 2015 · 铜仁 ) 如图 , 在平行四边形 ABCD 中 , 点 E 在边 DC 上 , DE∶EC = 3∶1 , 连接 AE 交 BD 于点 F , 则△ DEF 的面积与△ BAF 的面积之比为 ( ) A . 3∶4 B . 9∶16 C . 9∶1 D . 3∶1 4 . ( 2015 · 营口 ) 如图 , △ ABE 和△ CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形 , 已知点 A(3 , 4) , 点 C(2 , 2) , 点 D(3 , 1) , 则点 D 的对应点 B 的坐标是 ( ) A . (4 , 2) B . (4 , 1) C . (5 , 2) D . (5 , 1) C B 5 . ( 2015 · 南通 ) 如图 , AB 为⊙ O 的直径 , C 为⊙ O 上一点 , 弦 AD 平分∠ BAC , 交 BC 于点 E , AB = 6 , AD = 5 , 则 AE 的长为 ( ) A . 2.5 B . 2.8 C . 3 D . 3.2 类型一:比例的基本性质、黄金分割 D 【 点评 】  此 题 考 查 了比例的性 质. 此 题 比 较简单 , 解 题 的关 键 是注意掌握比例的性 质 与比例 变 形. 典例探究 A 类型二:三角形相似的性质及判定 【 例 2 】   ( 2015 · 湘潭 ) 如图 , 在 Rt △ABC 中 , ∠ C = 90° , △ ACD 沿 AD 折叠 , 使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处. (1) 求证:△ BDE∽△BAC ; (2) 已知 AC = 6 , BC = 8 , 求线段 AD 的长度. 解:证明: ( 1 ) ∵∠C = 90° , △ ACD 沿 AD 折叠 , ∴∠ C = ∠ AED = 90 ° , ∴∠ DEB = ∠ C = 90 ° , ∵∠ B = ∠ B , ∴△ BDE ∽△ BAC   【 点评 】  本 题 考 查 了相似三角形的判定和性 质 , 关 键 是根据 ( 1) 、折叠的性 质 :折叠是一种 对 称 变换 , 它属于 轴对 称 , 根据 轴对 称的性 质 , 折叠前后 图 形的形状和大小不 变 , 位置 变 化 , 对应边 和 对应 角相等; (2) 、勾股定理求解. 类型三:相似三角形综合问题 【 点评 】  本 题 考 查 的是相似三角 形的判定与性 质 、 圆 内 接四 边 形的性 质 以及垂径定理 , 根据 题 意判断出 △ PAD ∽△ PCB 是解答此 题 的关 键. 类型四:相似多边形与位似图形 【 例 4 】   ( 2015 · 漳州 ) 如图 , 在 10×10 的正方形网格中 , 点 A , B , C , D 均在格点上 , 以点 A 为位似中心画四边形 AB′C′D′ , 使它与四边形 ABCD 位似 , 且位似比为 2. (1) 在图中画出四边形 AB′C′D′ ; (2) 填空:△ AC′D′ 是 ___________ 三角形. 解: ( 1 ) 如图所示  ( 2 ) ∵AC′ 2 = 4 2 + 8 2 = 16 + 64 = 80 , AD ′ 2 = 6 2 + 2 2 = 36 + 4 = 40 , C ′ D ′ 2 = 6 2 + 2 2 = 36 + 4 = 40 , ∴ AD ′ = C′D′ , AD ′ 2 + C ′ D ′ 2 = AC′ 2 , ∴△ AC ′ D ′ 是等腰直角三角形.故答案为等腰直角 等腰直角 【 点评 】  画位似 图 形的一般步 骤为 : ①确定位似中心 , ② 分 别连 接并延 长 位似中心和能代表原 图 的关 键 点; ③根据相似比 , 确定能代表所作的位似 图 形的关 键 点; 顺 次 连 接上述各点 , 得到放大或 缩 小的 图 形. 同 时 考 查 了勾股定理及其逆定理等知 识. 熟 练 掌握网格 结 构以及位似 变换 的定 义 是解 题 的关 键. 解: ( 1 ) 证明: ∵ 菱形 AEFG∽ 菱形 ABCD , ∴∠ EAG = ∠ BAD , ∴∠ EAG + ∠ GAB = ∠ BAD + ∠ GAB , ∴∠ EAB = ∠ GAD , ∵ AE = AG , AB = AD , ∴△ AEB ≌△ AGD , ∴ EB = GD 审题视角 三角形内从两个 顶 点出 发 , 分 别 与其 对边 相交的 线 段 , 它 们 又相交于一点. 这时 , 三角形的两 边 、上述两条相交 线 段均被有关分点分成不同的 线 段比 , 这 些 线 段的比之 间 存在相互依存和制 约 的关系 , 知道其中任意两条 线 段被分点分成的比 , 就可以求出其他任一 线 段被分点所分成的比. 这一 问题 的解决 办 法 , 主要是利用平行 线 ( 作 辅 助 线 ) . 辅 助 线 的作法:主要是 过 三角形 边 上的点作欲求分比 线 段的平行 线 , 构成两 对 相似三角形. 本 题 可以 过 点 E 作 EG ∥ CD 交 AB 于点 G , 则 有 △ BEG ∽△ BCD , △ ADO ∽△ AGE . 本 题 也可 过 点 D 作 AE 的平行 线 , 同 样 也可以求得相关的比 值. 答题思路 第一步: 审题 , 理解 问题 , 清楚 问题 中的已知条件与未知 结论 ; 第二步: 过 三角形 边 上的点作欲求分比 线 段的平行 线 , 构成两 对 相似三角形; 第三步:根据相似三角形的性 质 , 得出与欲求分比 线 段相关 联 的 两 线 段的比 值 ; 第四步:根据比例的性 质 逐步求得欲求分比 线 段的比 值 ; 第五步:反思回 顾 , 查 看关 键 点、易 错 点 , 完善解 题 步 骤. 易错: 剖析   (1) 此 题 中 , Rt △ ABC 与 Rt △ ADC 中 , ∠ ACB = ∠ ADC = 90° , ∠ B 可能与 ∠ ACD 相等 , 也可能与 ∠ CAD 相等 , 三角形 △ ABC 与 △ ADC 相似可能是 △ ABC ∽△ ACD 或 △ ABC ∽△ CAD . 根据 对应边 成比例 , 有两种情况需要分 类讨论. (2) 分 类讨论 在几何中的 应 用也很广泛 , 可以 说 整个平面几何的知 识结 构 贯 穿了分 类讨论 的思想方法. (3) 在解 题过 程中 , 不 仅 要掌握 问题 中的条件与 结论 , 还 要在推理的 过 程中不断地 发现题 目中的 隐 含条件 , 以便全面、正确、迅速地解决 问题. 忽 视 已知条件 , 实质 上是 对 概念理解不 详 、把握不准的表 现.