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- 2021-05-13 发布
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第05节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 【山东省2018年普通高校招生(春季)】若由函数的图像变换得到的图像,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变:第二步,可以把所得图像沿轴( )
A. 向右移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 同左平移个单位
【答案】A
【解析】分析:根据图像平移“左正右负”以及平移量为确定结果.
详解:因为,所以所得图像沿轴向右平移个单位,
选A.
2.【2018届湖北省5月冲刺】已知函数(,)的部分如图所示,将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像,则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
15
3.【2018届广东省东莞市考前冲刺演练】将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象过点,则的最小值是( )
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】分析:首先利用三角函数关系式的平移变换,进一步利用正弦型函数的性质的应用,即可求出结果.
详解:函数的图象向左平移个单位长度,
得到,
由于函数的图象经过点,所以,
所以或,
解得或,
当时,或,由于,所以,故选B.
4.【2018届河南省安阳35中核心押题卷一】要得到函数的图像,只需将函数的图像( )
A. 向左平移个周期 B. 向右平移个周期
C. 向左平移个周期 D. 向右平移个周期
【答案】D
【解析】分析:将两个函数的函数名变为同名,故由诱导公式可得函数,再由,进而可得要得到函数的图像,只需将
15
的图像向右移个单位.再结合的周期为,可得只需将函数的图像向右平移个周期,就可得函数的图像.
详解:由诱导公式可得函数, ,所以要得到函数的图像,只需将的图像向右移个单位.
因为函数的周期为.
所以只需将函数的图像向右平移个周期.
故选D.
5.将函数的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数 g( x) 的图象,则 g( x) 的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
6.【2018届四川省成都市第七中学三诊】将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移个单位长度得到的图象,则函数的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
15
分析:根据函数的图象变换规律,求得解析式,再利用正弦函数的单调性列不等式可得的单调递增区间.
7.【2018届四川省成都市高考模拟试卷(一)】已知函数,函数的最大值是2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且的图象关于直线对称,则下列判断正确的是( )
A. 要得到函数的图象,只需将的图像向左平移个单位
B. 时,函数的最小值是-2
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递增
【答案】D
【解析】分析:由题意, 可求的周期,利用周期公式可求,且的图象关于直线对称,,可得,,又,解得,可得解析式 利用正弦函数的图象和性质即可判断求解.
详解:由题,函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,
∴函数的周期 ,
又的图象关于直线对称,可得,,解得
A.将的图像向左平移个单位,得到 ,故A错;
B. 时,,函数的最小值不等于-2,故B错;
C. 函数的图象关于直线 即对称,故C错误;
15
故选D.
8.【2018届山西省太原市三模】已知函数的一个对称中心是,且,要得到函数的图象,可将函数的图像( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】分析:结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值,可得函数的解析式,再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
详解:∵函数f(x)=2cos(x+φ)图象的一个对称中心为(2,0),∴+φ=kπ+,k∈Z,
故可取φ=﹣,f(x)=2cos(x﹣),满足f(1)>f(3),
故可将函数y=2cosx的图象向右平移个单位,得到f(x)=2cos(x﹣)的图象,
故选:A.
9.【2018湖北省部分重点中学高三起点】如图是函数y=Asin(ωx+φ) 在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y=sin x(x∈R)的图象上所有的点
A. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D. 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
【答案】D
【解析】由图可知,又,,又,,
15
,所以为了得到这个函数的图象,只需将 的图象上的所有向左平移个长度单位,得到的图象,再将的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变) 即可. 故选D.
10.已知函数(,,)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
(A)的图象关于直线对称
(B)的图象关于点对称
(C)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
(D)若方程在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是
【答案】D
【解析】.又.显然,所以.
对(A),的图象的对称轴方程为,故不关于直线对称,错.
对(B),由得,所以的图象的对称中心为,所以不关于点对称,错.
对(C),函数,将它的图象向左平移个单位得,故错.
对(D),由得,结合函数的图象可知,时,方程在上有两个不相等的实数根,故正确.
二、填空题:本大题共7小题,共36分.
11.【2018届重庆市西南大学附中第四次月考】已知的部分图象如图所示,则__________.
15
【答案】
【解析】分析:根据已知条件求出函数的解析式后,再求值.
详解:由题意,,
(),∵,∴,
,,∴,
∴.
故答案为.
12.【2018届北京市人大附中二模】将函数的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,若最小正周期为,则__________.
【答案】
【解析】,右移得到,最小正周期为,故.
13.【2018届北京市海淀区二模】将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图像,则__________,__________.
【答案】
15
14.【2018届湖南省永州市三模】 函数的部分图象如图所示,将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若函数在区间上的值域为,则θ=_______.
【答案】
【解析】 函数的部分图象如图所示,
则,解得,所以,即,
当时, ,解得,
所以,
所以函数向右平移个单位后得到函数的通项,
即,
若函数在区间上的值域为,则,所以.
15
15.【2018届安徽省芜湖市一模】将函数图像上所有点向左平移个单位,再将横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数图像.若,且在上单调递减,则__________.
【答案】3
【解析】函数图像上所有点向左平移个单位得,再将横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到,因为,所以为一个对称中心,即 = ,因为在上单调递减,所以即
16.【2018届北京市朝阳区3月一模】函数()的部分图象如图所示,则__________;函数在区间上的零点为_________.
【答案】 2
17.设函数,给出以下四个论断:
15
①它的图象关于直线 对称; ②它的图象关于点 对称;
③它的周期是 ; ④它在区间 上是增函数.
以其中两个论断作为条件,余下论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________________.
【答案】两个正确的命题为(1)①③②④;(2)②③①④.
【解析】(1)的证明如下:由③,的周期为 ,则
由①,的图象关于直线 对称,则
由于,所以的图象关于点对称,即②成立.
由于 在上为增函数,即④成立.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.一半径为4m的水轮(如图),水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时.
15
(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;
(2)在水轮转动的一圈内,有多长时间点P距水面的高度超过4m.
【答案】(1);(2)在水轮转动的一圈内,有5s的时间点P距水面的高度超过4m.
【解析】试题分析:(1)建立适当的平面直角坐标系,利用三角函数的定义得到函数关系式;(2)利用三角函数的性质进行求解.
试题解析:(1)建立如图所示的平面直角坐标系.
依题意,如图
易知在内所转过的角为,
故角是以为始边, 为终边的角,
故点的纵坐标为,
故所求函数关系式为;
(2)令
15
,
∴在水轮转动的一圈内,有5s的时间点P距水面的高度超过4m.
19.【2018届安徽省合肥市三模】已知函数.
(Ⅰ)求函数图象的对称轴方程;
(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位,所得图象对应的函数为.当时,求函数的值域.
【答案】(1);(2).
【解析】分析:(Ⅰ)利用二倍角的正弦公式、诱导公式以及两角差的正弦公式将函数化为,利用,可解得函数图象的对称轴方程;(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位,可得,因为,∴,利用正弦函数的性质结合正弦函数的图象可得函数的值域.
详解: (Ⅰ) .
令,解得.
∴函数图象的对称轴方程为.
(Ⅱ)易知.
∵,∴,∴,
∴,
即当时,函数的值域为.
20.【2018届四川省成都市第七中学模拟】已知函数的最大值为1.
(1)求函数的周期与单调递增区间;
(2)若将的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求函数在区间上的最大值和最小值.
15
【答案】(1)见解析;(2)最大值,最小值.
【解析】试题分析:(1)先根据诱导公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式,再根据正弦函数周期公式求周期,根据正弦函数单调性列不等式解单调递增区间;(2)先根据图像平移得解析式,再根据正弦函数图像求在区间上的最大值和最小值.
试题解析:(1)∵
∴,
∴
其周期为
(2)∵将的图象向左平移个单位,得到函数的图象,
∴
∵,∴
∴当时, , 取最大值
当时, , 取最小值.
21.【2018届山东省枣庄市第八中学东校区1月月考】已知函数在上具有单调性,且.
(1)求的最小正周期;
(2)将函数的图象向右平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数的图象,
求在上的最大值和最小值.
15
【答案】(1) (2) 时, 时,
【解析】试题分析:先化简(1)由f(x)在上具有单调性,可得,结合f,即可求得值,得到函数解析式,由周期公式求得周期;
(2)利用函数的图象平移求得函数的解析式,再由x的范围求得函数在上的最大值和最小值.
试题解析:
(1),
,∵,∴,∴,
∴∵,∴,∴在上单调,∴,即,∴, ,∴,又,∴, ,∴.
(2)由(1)知,将的图象向右平移个单位,再向下平移一个单位,得到的图象,所以,∵,∴,∴,∴当,即时, ,当,即时, .
22.【2018届黑龙江省大庆铁人中学高三期中】已知函数f(x)=sin 2x-cos2x.
(1)求f(x)的周期和最小值;
(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变),再把所得图像上的所有点向上平移个单位,得到函数g(x)的图像,当时,求g(x)的值域.
15
【答案】(1) f(x)的最小正周期为π,最小值为-. (2)
(2)由条件可知g(x)=sin(x-).
当时,有x-∈(, ),从而sin(x-)∈
故g(x)在区间上的值域是.
15
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