大连海事大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习空间几何体 6页

大连海事大学附中2019三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：空间几何体 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若用一个平面去截一个正方体得到一个截面多边形,则该多边形不可能是( )‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．菱形 D．正六边形 ‎【答案】B ‎2．设A（3,3,1），B（1,0,5），C（0,1,0）则AB中点M到点C距离为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎3．在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球的半径为R) ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4．下列说法不正确的是( )‎ A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 ‎【答案】C ‎5．一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为( )‎ A． 长方形 B． 直角三角形 C． 圆 D． 椭圆 ‎【答案】C[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎6．下列命题正确的是( )‎ A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。‎ B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。‎ C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。‎ D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。‎ ‎【答案】C ‎7．如果内接于球的一个长方体的长、宽、高分别为2、1、1，则该球的体积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎8．下列命题中错误的是( )‎ A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆 D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 ‎【答案】B ‎9．以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是( )‎ A．球 B．圆台 C．圆锥 D．圆柱 ‎【答案】D ‎10．长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎11．下列说法正确的是( )‎ A． 直角梯形绕其一边旋转形成圆台 B． 直角三角形绕其一边旋转形成圆锥 C． 圆柱不是旋转体 D． 圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的 ‎【答案】D ‎12．在空间中，下列命题正确的是 A．与一平面成等角的两直线平行 B．垂直于同一平面的两平面平行 C．与一平面平行的两直线平行 D．垂直于同一直线的两平面平行 ‎【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．在二面角中，且已知 , , 则二面角的余弦值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎14．下面是关于四棱柱的四个命题（ ）‎ ‎①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱是直四棱柱 ‎②若四个过相对侧棱的截面则该四棱柱是直四棱柱都垂直于底面，‎ ‎③若四个侧面两两全等，则该四棱柱是直四棱柱 ‎④若四棱柱的两条对角线两两相等，则该四棱柱是直四棱柱 其中，真命题的编号为 ‎ ‎【答案】②④‎ ‎15．下列命题中正确的是 (填序号）‎ ‎① 棱柱被任一平面截成的两部分都是棱柱；　　‎ ‎② 棱台的所有侧面都是等腰梯形；‎ ‎③ 用一个平面去截圆锥，得到的几何体是一个圆锥和一个圆台；‎ ‎④ 用任一平面去截球得到的截面都是圆面；‎ ‎【答案】④‎ ‎16．一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角大小为 .‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．如图，直三棱柱，，AA′=1，点分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)求三棱锥的体积。‎ ‎【答案】（1）（法一）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱，‎ 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 ‎ 平面，因此 ‎(法二）取的中点为P，连结MP，NP，‎ ‎∵分别为和的中点， ‎ ‎∴MP∥,NP∥,‎ ‎∴MP∥面,NP∥面, ‎ ‎∵, ∴面MPN∥面，‎ ‎∵MN面， ∴MN∥面.‎ ‎(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=,‎ ‎∴⊥⊥面NBC， ∵==1, ‎ ‎(解法2) ‎ ‎18．已知正方体，是底对角线的交点．‎ 求证：（1）C1O∥面；‎ ‎ (2）面． ‎ ‎【答案】（1）连结，设 连结， 是正方体 是平行四边形 且 ‎ 又分别是的中点，且 是平行四边形 ‎ 面，面 ‎ C1O∥面 ‎ ‎(2）面 ‎ 又， ‎ 同理可证， ‎ 又 面 ‎ ‎19．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.‎ ‎(1）求的长；‎ ‎(2）求cos< >的值；‎ ‎(3）求证：A1B⊥C1M.‎ ‎【答案】如图，建立空间直角坐标系O—xyz.‎ ‎(1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）‎ ‎(2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2） ‎ ‎∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=‎ ‎∴cos<，>=.‎ ‎(3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.‎ ‎20．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、N分别是AF、BC的中点)．‎ ‎(1)求证：MN∥平面CDEF；‎ ‎(2)求多面体A－CDEF的体积．‎ ‎【答案】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，‎ 且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∴∠CBF＝．‎ ‎(1)证明：取BF的中点G，连结MG、NG，‎ 由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，‎ ‎∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，‎ ‎∴MN∥平面CDEF.‎ ‎(2)取DE的中点H.‎ ‎∵AD＝AE，∴AH⊥DE，‎ 在直三棱柱ADE－BCF中，‎ 平面ADE⊥平面CDEF，‎ 平面ADE∩平面CDEF＝DE.∴AH⊥平面CDEF.‎ ‎∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝．‎ S矩形CDEF＝DE·EF＝4，‎ ‎∴棱锥A－CDEF的体积为 V＝·S矩形CDEF·AH＝×4×＝．‎ ‎21．如图所示的空间几何体中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上。‎ ‎ (1) 求证：DE//平面ABC；‎ ‎(2) 求二面角E—BC—A的余弦值；‎ ‎【答案】方法一：（1）由题意知， 都是边长为2的等边三角形，‎ 取AC中点O，连接BO，DO，则 平面ACD平面ABC平面ABC，作EF平 面ABC，那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，‎ ‎，易求得所以四边形 DEFO是平行四边形，DE//OF；平面ABC，‎ 平面ABC，平面ABC ‎(2）作FGBC，垂足为G，连接EG；平面ABC， EGBC 就是二面角E—BC—A的平面角 即二面角E—BC—A的余弦值为 ‎ 方法二：（1）同方法一 ‎(2）建立如图所示的空间直角坐标系，[来源:1ZXXK]‎ 可求得平面ABC的一个法向量为，‎ 平面BCE的一个法向量为 所以 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E—BC—A的余弦值为； ‎ ‎22．如图，四棱锥的底面为矩形，且，‎ ‎ (Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由； ‎ ‎ (Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． ‎ ‎【答案】（I）平面平面；‎ 证明：由题意得且 ‎ ‎ 又，则 ‎ ‎ 则平面, ‎ ‎ 故平面平面 ‎ ‎(Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如下图示，‎ 则,, 可得,‎ 平面ABCD的单位法向量为，‎ 设直线PC与平面ABCD所成角为，则 [来源:学*科*网]‎ 则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ‎ 解法2：由（I）知平面，∵面 ‎∴平面ABCD⊥平面PAB, ‎ 在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，‎ ‎[来源:学|科|网]‎ 则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，‎ 在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,‎ 又 在Rt△PEC中.‎