江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com ‎2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科 数学月考试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知为虚数单位，若复数，在复平面内对应的点分别为，，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，，故，计算得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎2. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，，所以.故选C．‎ ‎3. 设为等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 化简得到，代入公式计算得到答案.‎ ‎【详解】，故，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列求和，确定是解题的关键.‎ ‎4. 已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，，，根据函数单调性得到答案.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 函数在区间上是减函数，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和对于函数性质的灵活运用.‎ ‎5. 若点在直线上，则的值等于（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到，再利用齐次式计算得到答案.‎ ‎【详解】点在直线上，故，‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数定义，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎6. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )‎ A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌 B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高 C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增 D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.‎ - 23 -‎ ‎【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A不正确；‎ ‎2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B不正确；‎ ‎2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；‎ ‎2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.‎ ‎7. 已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据计算公式：计算数据正负交替，分母为首项是1，公差为2的等差数列，得到答案.‎ ‎【详解】根据计算公式：计算数据正负交替，分母为首项是1，公差为2的等差数列，故填写 - 23 -‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.‎ ‎8. 已知实数满足约束条件，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设，则，平移该直线，当直线经过点时，z取到最大值，由得，即，则；当直线经过点时，z取到最小值，易得，则，所以的取值范围是.故选B．‎ ‎9. 函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断出函数为奇函数,即排除B;代入特殊点后又能排除两个选项,即可得到正确答案.‎ ‎【详解】由题可得函数的定义域为.因为 所以函数为奇函数,排除选项B;又,，所以排除选项A、C 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图像,考查了对数的运算.在选择正确的函数图像时,一般都不是直接画函数图像,而是运用排除法.首先判断函数的定义域、奇偶性、单调性进行排除,然后代入特殊点,进行排除.‎ ‎10. 2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ）‎ A. 72 B. 84 C. 96 D. 120‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，共有种，得到答案.‎ ‎【详解】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，‎ 其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，‎ 考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法，‎ 其中一半是重复的，故此时有12种重复.‎ 故共有种.‎ 故选：B.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎11. 已知，是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设依次构成等差数列，其公差为，可得，及，进而可求得的表达式，然后在和中，利用余弦定理得到的表达式，进而可求出离心率的值.‎ ‎【详解】如图所示，设依次构成等差数列，其公差为.‎ 根据椭圆定义得，又，则，解得，.‎ 所以，，，.‎ 在和中，由余弦定理得，‎ 整理得,则.‎ - 23 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆定义的应用，考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎12. 已知是函数的极大值点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到，导函数为奇函数，根据题意得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】，则，‎ 易知为奇函数，又是函数的极大值点，‎ 故，，代入计算得到.‎ 易知为偶函数，‎ 当时，取，，‎ 故函数在上单调递减，，满足条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据极值点求参数，确定是解题的关键.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模.若，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 计算得到，代入公式得到答案.‎ ‎【详解】，，则，‎ ‎，故，故.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的新定义，意在考查学生的计算能力和理解能力.‎ ‎14. 若，则的展开式中的系数为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，的展开式的通项为：，‎ 的展开式的通项为：，计算得到答案.‎ ‎【详解】，故的展开式的通项为：.‎ 的展开式的通项为：，‎ 取，得到系数为：.‎ 故答案为：-120.‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的计算，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎15. 在棱长为4的正方体中，为线段的中点，若三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中点为外心，故球心在平面的投影为，为中点，‎ - 23 -‎ 于，连接，设，则，，解得答案.‎ ‎【详解】如图所示：中点为外心，故球心在平面的投影为，‎ 中点，于，连接，，则，，‎ 设，则，，解得，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎16. 已知，为双曲线的左、右顶点，双曲线的渐近线上存在一点满足，则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知：，根据对称性不妨设渐近线为，设，代入计算得到，根据得到答案.‎ ‎【详解】根据题意知：，根据对称性不妨设渐近线为，设，‎ ‎，则，‎ - 23 -‎ 整理得到：，，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线中参数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 如图，在平面四边形中，，，且.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得到，，计算得到答案.‎ ‎（2）根据余弦定理得到，计算，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理得，‎ ‎∴，∵，∴或，‎ 当时，此时三点共线，矛盾 ∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）设，在中，由余弦定理得，‎ - 23 -‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当时，四边形面积的最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.‎ ‎（1）若，求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作，交于，连接，分别证明平面，平面，进而可证明平面平面，可得平面；‎ ‎（2）计算可知，所以，结合，可知平面，从而可知平面平面，在平面内作平面，以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，再结合，可求出.‎ - 23 -‎ ‎【详解】（1）如图，作，交于，连接.‎ 因为，所以是的三等分点，可得.‎ 因为，，，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ 又，平面，平面，所以平面.‎ 因为，、平面，所以平面平面，所以平面.‎ ‎（2）因为是等边三角形，，所以.‎ 又因为，，所以，所以.‎ 又，平面，，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ 在平面内作平面，以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ - 23 -‎ 所以，，，.‎ 设为平面的法向量，则，即，‎ 令，可得.‎ 设为平面的法向量，则，即，‎ 令，可得.‎ 所以，则，‎ 所以二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查利用空间向量求二面角，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.‎ ‎19. 2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：‎ 研发费用（百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ 销量（万盒）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3.5‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）根据数据用最小二乘法求出与的线性回归方程（系数用分数表示，不能用小数）；‎ ‎（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测.第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，.两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的分布列与数学期望.‎ - 23 -‎ 附：（1）（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.‎ ‎（2）可取，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由公式， ，‎ ‎∴.‎ ‎（2）药品的三类剂型经过两次检测后合格分别为事件，‎ 则，‎ 由题意，可取，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎.‎ 的分布列为：‎ - 23 -‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20. 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；‎ ‎（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.‎ ‎①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；‎ ‎②求证：线段的长为定值.‎ ‎【答案】（1）椭圆方程为，准圆方程为；（2）①，证明见解析；②证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，得到椭圆方程和准圆方程.‎ - 23 -‎ ‎（2）（ⅰ）设直线为，联立方程计算得到，得到答案.‎ ‎（ⅱ）考虑斜率存在和不存在两种情况，设点，切线为，联立方程得到，，得到直线垂直，得到线段为准圆的直径，得到答案.‎ ‎【详解】（1），椭圆方程为，准圆方程为.‎ ‎（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，‎ 设过点且与椭圆相切的直线为，‎ 所以由得.‎ 因为直线与椭圆相切，所以，解得，‎ 所以方程为，，.‎ ‎（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，‎ 则：，当：时，与准圆交于点，‎ 此时为（或），显然直线垂直；‎ 同理可证当：时，直线垂直 ‎②当斜率存在时，设点，其中.‎ 设经过点与椭圆相切的直线为，‎ 所以由得.‎ 由化简整理得，‎ - 23 -‎ 因为，所以有.‎ 设的斜率分别为，因为与椭圆相切，‎ 所以满足上述方程，‎ 所以，即垂直.‎ 综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.‎ 所以线段为准圆的直径，，‎ 所以线段的长为定值6.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，证明直线垂直，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，若，恒有成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，根据题意得到在上有解，则，计算得到答案.‎ ‎（2）设，，计算得到单调递增，故，讨论，，三种情况，得到 - 23 -‎ 的取值范围为，设，根据函数的单调性得到答案.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 由在上存在单调递增区间，可得在上有解，‎ 即在上有解，则，∴，‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎（2）设，，‎ 则.‎ 设，则，‎ ‎∴单调递增，即在上单调递增 ∴.‎ 当时，，在上单调递增，∴，不符合题意；‎ 当时，，上单调递减，，符合题意；‎ 当时，由于为一个单调递增的函数，‎ 而，，‎ 由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，‎ 从而在上单调递减，在上单调递增，‎ 因此只需，∴，∴，从而，‎ 综上，的取值范围为，‎ - 23 -‎ 因此.设，则，‎ 令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，‎ 从而，∴最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了根据单调区间求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线（）与直线和曲线分别交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）（），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线的参数方程消参，即可得直线的普通方程，要注意；将曲线的极坐标方程两边同乘，再将，代入，即可得曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）先将直线的直角坐标方程化为极坐标方程，再将（）代入直线和曲线的极坐标方程中，可得点，对应的极径，利用计算，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由得，‎ 将（为参数）消去参数，‎ 得直线的普通方程为（）.‎ - 23 -‎ 由得，‎ 将，代入上式，‎ 得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）可知直线的普通方程为（），‎ 化为极坐标方程得（），‎ 当（）时，设，两点的极坐标分别为，，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题.‎ ‎23. 已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为M，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分、和三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；‎ ‎（2）先求出的最小值，可求出的M的值，再结合柯西不等式，可证明结论.‎ ‎【详解】（1）当时，等价于，该不等式恒成立；‎ 当时，，则等价于，该不等式不成立；‎ 当时，，则等价于，解得，‎ - 23 -‎ 所以不等式的解集为：.‎ ‎（2）因为，当时取等号，所以，，‎ 由柯西不等式可得，‎ 当且仅当时等号成立，所以.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎