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- 2021-06-09 发布
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第 8 课时 诱导公式五、六
课时目标
1.理解公式五、六的推导.
2.运用所学的四组公式正确进行求值化简、证明.
识记强化
公式五:sin
π
2
-α =cosα,cos
π
2
-α =sinα;
公式六:sin
π
2
+α =cosα,cos
π
2
+α =-sinα.
课时作业
一、选择题
1.已知 cosx=1
5
,且 x 是第四象限角,那么 cos
3π
2
-x =( )
A. 5
5 B.-1
5
C.-4
5 D.2 6
5
答案:D
解析:∵x 是第四象限角,cosx=1
5
,∴sinx=- 1-cos2x=-2 6
5 .∴cos
3π
2
-x =-sinx
=2 6
5 .
2.已知 sin40°=a,则 cos50°等于( )
A.±a B.-a
C.a D. 1-a2
答案:C
3.下面诱导公式使用正确的是( )
A.sin θ-π
2 =cosθ
B.cos
3π
2
+θ =-sinθ
C.sin
3π
2
-θ =-cosθ
D.cos θ-π
2 =-sinθ
答案:C
4.若 sin(π
2
+α)+cos α-π
2 =7
5
,则 sin
3π
2
+α +cos α-3π
2 等于( )
A.-3
5 B.4
5
C.-7
5 D.7
5
答案:C
解析:由已知得 cosα+sinα=7
5
,∴sin
3π
2
+α +cos α-3π
2 =-cosα-sinα=-7
5.
5.若sinθ+cosθ
sinθ-cosθ
=2,则 sin(θ-5π)sin
3π
2
-θ 等于( )
A.4
3 B.± 3
10
C. 3
10 D.- 3
10
答案:C
解析:由sinθ+cosθ
sinθ-cosθ
=2,可得 tanθ=3,∴sin(θ-5π)sin
3π
2
-θ =(-sinθ)(-cosθ)
= sinθcosθ
sin2θ+cos2θ
= tanθ
tan2θ+1
= 3
10.
6.已知 cos
π
2
+φ = 3
2
,且|φ|<π
2
,则 tanφ等于( )
A.- 3
3 B. 3
3
C.- 3 D. 3
答案:C
解析:由 cos
π
2
+φ =-sinφ= 3
2
,得 sinφ=- 3
2 .又|φ|<π
2
,∴φ=-π
3
,∴tanφ=- 3.
二、填空题
7.sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)sin(-1050°)+tan945°=________.
答案:2
解析:原式=-sin1200°cos(210°+3×360°)-cos1020°sin1050°+tan(225°+2×360°)
=-sin(120°+3×360°)cos210°-cos(-60°+3×360°)
sin(-30°+3×360°)+tan225°
=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(-60°)
sin(-30°)+tan(180°+45°)
=- 3
2
- 3
2 -1
2
-1
2 +1=2.
8.已知 tan(3π+α)=2,则
sinα-3π+cosπ-α+sin
π
2
-α -2cos
π
2
+α
-sin-α+cosπ+α
=________.
答案:2
解析:由 tan(3π+α)=2,得 tanα=2,所以原式=-sinα+-cosα+cosα-2-sinα
sinα-cosα
=
sinα
sinα-cosα
= tanα
tanα-1
= 2
2-1
=2.
9.已知函数 f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=x2-2asinπx
2
,若 f(3)=6,则 a=________.
答案:15
2
解析:f(x)为奇函数,所以 f(-3)=-6,即 f(-3)=9-2asin-3π
2
=9+2asin3π
2
=9-2a
=-6,∴a=15
2 .
三、解答题
10.已知 f(α)=sinπ-αcos2π-αtan-α+π
-tan-α-πsin-π-α .
(1)化简 f(α);
(2)若α是第三象限角,且 cos α-3π
2 =1
5
,求 f(α)的值.
解:(1)f(α)=sinαcosα-tanα
tanαsinα
=-cosα.
(2)∵cos α-3π
2 =-sinα,∴sinα=-1
5.
又α是第三象限角,∴cosα=- 52-12
5
=-2 6
5
,
∴f(α)=2 6
5 .
11.(1)设 f(α)
=
2sinπ+αcosπ-α-cosπ+α
1+sin2α+cos
3π
2
+α -sin2
π
2
+α
,
求 f
-23π
6 的值.
(2)化简:sin nπ+2
3π ·cos nπ+4
3π (n∈Z).
解:(1)∵f(α)=-2sinα-cosα+cosα
1+sin2α+sinα-cos2α
=2sinαcosα+cosα
2sin2α+sinα
=cosα1+2sinα
sinα1+2sinα
= 1
tanα
,
∴f
-23π
6 =
1
tan
-23π
6
=
1
tan
-4π+π
6
= 1
tanπ
6
= 3.
(2)当 n=2k(k∈Z)时,
原式=sin 2kπ+2
3π ·cos 2kπ+4
3π
=sin2
3π·cos4
3π
=sinπ
3·
-cosπ
3
= 3
2
× -1
2
=- 3
4 .
当 n=2k+1(k∈Z)时,
原式=sin
2k+1π+2
3π ·
cos
2k+1π+4
3π
=sin π+2
3π ·cos π+4
3π
=-sin2
3π·cosπ
3
=-sinπ
3·cosπ
3
=- 3
2
×1
2
=- 3
4 .
综上,原式=- 3
4 .
能力提升
12.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)等于( )
A.3-cos2x B.3-sin2x
C.3+cos2x D.3+sin2x
答案:C
解析:f(cosx)=f sin
π
2
-x
=3-cos2
π
2
-x =3-cos(π-2x)=3+cos2x.
13.已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,求证:cos
π
4
-A
2 =sin
π
4
+A
2 =cosπ
4
-B+C
2
.
证明:cos
π
4
-A
2 =sin
π
2
-
π
4
-A
2
=sin
π
4
+A
2 .
又因为在△ABC 中,A+B+C=π,
所以A
2
=π
2
-B+C
2
,所以B+C
2
=π
2
-A
2.
所以 cos
π
4
-B+C
2 =cos
π
4
-
π
2
-A
2
=cos
-π
4
+A
2 =cos
π
4
-A
2 .
所以 cos
π
4
-A
2 =sin
π
4
+A
2 =cos
π
4
-B+C
2 .
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