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  • 2021-06-09 发布

高中人教a版数学必修4:第8课时 诱导公式五、六 word版含解析

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第 8 课时 诱导公式五、六 课时目标 1.理解公式五、六的推导. 2.运用所学的四组公式正确进行求值化简、证明. 识记强化 公式五:sin π 2 -α =cosα,cos π 2 -α =sinα; 公式六:sin π 2 +α =cosα,cos π 2 +α =-sinα. 课时作业 一、选择题 1.已知 cosx=1 5 ,且 x 是第四象限角,那么 cos 3π 2 -x =( ) A. 5 5 B.-1 5 C.-4 5 D.2 6 5 答案:D 解析:∵x 是第四象限角,cosx=1 5 ,∴sinx=- 1-cos2x=-2 6 5 .∴cos 3π 2 -x =-sinx =2 6 5 . 2.已知 sin40°=a,则 cos50°等于( ) A.±a B.-a C.a D. 1-a2 答案:C 3.下面诱导公式使用正确的是( ) A.sin θ-π 2 =cosθ B.cos 3π 2 +θ =-sinθ C.sin 3π 2 -θ =-cosθ D.cos θ-π 2 =-sinθ 答案:C 4.若 sin(π 2 +α)+cos α-π 2 =7 5 ,则 sin 3π 2 +α +cos α-3π 2 等于( ) A.-3 5 B.4 5 C.-7 5 D.7 5 答案:C 解析:由已知得 cosα+sinα=7 5 ,∴sin 3π 2 +α +cos α-3π 2 =-cosα-sinα=-7 5. 5.若sinθ+cosθ sinθ-cosθ =2,则 sin(θ-5π)sin 3π 2 -θ 等于( ) A.4 3 B.± 3 10 C. 3 10 D.- 3 10 答案:C 解析:由sinθ+cosθ sinθ-cosθ =2,可得 tanθ=3,∴sin(θ-5π)sin 3π 2 -θ =(-sinθ)(-cosθ) = sinθcosθ sin2θ+cos2θ = tanθ tan2θ+1 = 3 10. 6.已知 cos π 2 +φ = 3 2 ,且|φ|<π 2 ,则 tanφ等于( ) A.- 3 3 B. 3 3 C.- 3 D. 3 答案:C 解析:由 cos π 2 +φ =-sinφ= 3 2 ,得 sinφ=- 3 2 .又|φ|<π 2 ,∴φ=-π 3 ,∴tanφ=- 3. 二、填空题 7.sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)sin(-1050°)+tan945°=________. 答案:2 解析:原式=-sin1200°cos(210°+3×360°)-cos1020°sin1050°+tan(225°+2×360°) =-sin(120°+3×360°)cos210°-cos(-60°+3×360°) sin(-30°+3×360°)+tan225° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(-60°) sin(-30°)+tan(180°+45°) =- 3 2 - 3 2 -1 2 -1 2 +1=2. 8.已知 tan(3π+α)=2,则 sinα-3π+cosπ-α+sin π 2 -α -2cos π 2 +α -sin-α+cosπ+α =________. 答案:2 解析:由 tan(3π+α)=2,得 tanα=2,所以原式=-sinα+-cosα+cosα-2-sinα sinα-cosα = sinα sinα-cosα = tanα tanα-1 = 2 2-1 =2. 9.已知函数 f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=x2-2asinπx 2 ,若 f(3)=6,则 a=________. 答案:15 2 解析:f(x)为奇函数,所以 f(-3)=-6,即 f(-3)=9-2asin-3π 2 =9+2asin3π 2 =9-2a =-6,∴a=15 2 . 三、解答题 10.已知 f(α)=sinπ-αcos2π-αtan-α+π -tan-α-πsin-π-α . (1)化简 f(α); (2)若α是第三象限角,且 cos α-3π 2 =1 5 ,求 f(α)的值. 解:(1)f(α)=sinαcosα-tanα tanαsinα =-cosα. (2)∵cos α-3π 2 =-sinα,∴sinα=-1 5. 又α是第三象限角,∴cosα=- 52-12 5 =-2 6 5 , ∴f(α)=2 6 5 . 11.(1)设 f(α) = 2sinπ+αcosπ-α-cosπ+α 1+sin2α+cos 3π 2 +α -sin2 π 2 +α , 求 f -23π 6 的值. (2)化简:sin nπ+2 3π ·cos nπ+4 3π (n∈Z). 解:(1)∵f(α)=-2sinα-cosα+cosα 1+sin2α+sinα-cos2α =2sinαcosα+cosα 2sin2α+sinα =cosα1+2sinα sinα1+2sinα = 1 tanα , ∴f -23π 6 = 1 tan -23π 6 = 1 tan -4π+π 6 = 1 tanπ 6 = 3. (2)当 n=2k(k∈Z)时, 原式=sin 2kπ+2 3π ·cos 2kπ+4 3π =sin2 3π·cos4 3π =sinπ 3· -cosπ 3 = 3 2 × -1 2 =- 3 4 . 当 n=2k+1(k∈Z)时, 原式=sin 2k+1π+2 3π · cos 2k+1π+4 3π =sin π+2 3π ·cos π+4 3π =-sin2 3π·cosπ 3 =-sinπ 3·cosπ 3 =- 3 2 ×1 2 =- 3 4 . 综上,原式=- 3 4 . 能力提升 12.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)等于( ) A.3-cos2x B.3-sin2x C.3+cos2x D.3+sin2x 答案:C 解析:f(cosx)=f sin π 2 -x =3-cos2 π 2 -x =3-cos(π-2x)=3+cos2x. 13.已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角,求证:cos π 4 -A 2 =sin π 4 +A 2 =cosπ 4 -B+C 2 . 证明:cos π 4 -A 2 =sin π 2 - π 4 -A 2 =sin π 4 +A 2 . 又因为在△ABC 中,A+B+C=π, 所以A 2 =π 2 -B+C 2 ,所以B+C 2 =π 2 -A 2. 所以 cos π 4 -B+C 2 =cos π 4 - π 2 -A 2 =cos -π 4 +A 2 =cos π 4 -A 2 . 所以 cos π 4 -A 2 =sin π 4 +A 2 =cos π 4 -B+C 2 .