浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第7节空间向量与线面位置关系课件 30页

第 7 节　空间向量与线面位置关系 考试要求　 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量，会用向量方法证明直线、平面的位置关系； 2. 了解向量法求点到面的距离 . 知 识 梳 理 1 . 直线的方向向量与平面的法向量的确定 2 . 用向量证明空间中的平行关系 (1) 设直线 l 1 和 l 2 的方向向量分别为 v 1 和 v 2 ，则 l 1 ∥ l 2 ( 或 l 1 与 l 2 重合 ) ⇔ . (2) 设直线 l 的方向向量为 v ，与平面 α 共面的两个不共线向量 v 1 和 v 2 ，则 l ∥ α 或 l ⊂ α ⇔ . (3) 设直线 l 的方向向量为 v ，平面 α 的法向量为 u ，则 l ∥ α 或 l ⊂ α ⇔ . (4) 设平面 α 和 β 的法向量分别为 u 1 ， u 2 ，则 α ∥ β ⇔ . v 1 ∥ v 2 存在两个实数 x ， y ，使 v ＝ x v 1 ＋ y v 2 v ⊥ u u 1 ∥ u 2 3 . 用向量证明空间中的垂直关系 (1) 设直线 l 1 和 l 2 的方向向量分别为 v 1 和 v 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔ v 1 ⊥ v 2 ⇔ v 1 · v 2 ＝ 0. (2) 设直线 l 的方向向量为 v ，平面 α 的法向量为 u ，则 l ⊥ α ⇔ v ∥ u . (3) 设平面 α 和 β 的法向量分别为 u 1 和 u 2 ，则 α ⊥ β ⇔ . u 1 ⊥ u 2 　 u 1 · u 2 ＝ 0 如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段， n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离 d ＝ . 4 . 点面距的求法 [ 常用结论与易错提醒 ] 1. 直线 l 1 ， l 2 的方向向量分别为 v 1 ， v 2 ，且 v 1 ∥ v 2 ，若 l 1 ， l 2 有公共点，则 l 1 ， l 2 重合；若 l 1 ， l 2 没有公共点，则 l 1 ∥ l 2 . 2. 直线 l 的方向向量 v 与平面 α 内不共线的向量 a ， b 满足 v ＝ λ a ＋ μ b ，若直线 l 与 α 无公共点，则 l ∥ α ，若直线 l 与 α 有公共点，则 l ⊂ α . 3. 直线 l 的方向向量 v 与平面 α 的法向量 u 垂直，若直线 l 与平面 α 有公共点，则 l ⊂ α ，若直线 l 与平面 α 无公共点，则 l ∥ α . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 两直线的方向向量平行，则两直线平行 .( 　　 ) (2) 如果一条直线的方向向量与平面内一直线的方向向量共线，则这条直线与该平面平行 .( 　　 ) (3) 如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与该平面平行 .( 　　 ) (4) 一条直线的方向向量有无穷多个，平面的法向量也有无穷多个 .( 　　 ) 解析　 (1) 不正确，两直线也可能重合； (2) 不正确，直线也可能在平面内； (3) 不正确，直线也可能在平面内 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 答案　 C 答案　 A 4. 平面 α 的法向量 u ＝ (2 ，－ 2 ， 2) ，平面 β 的法向量 v ＝ (1 ， 2 ， 1) ，则下列命题正确的是 ( 　　 ) A. α ， β 平行 B . α ， β 垂直 C. α ， β 重合 D . α ， β 不垂直 解析　 ∵ 平面 α 的法向量与平面 β 的法向量的数量积为 u · v ＝ 2 × 1 ＋ ( － 2) × 2 ＋ 2 × 1 ＝ 0 ， ∴ 平面 α ， β 垂直，故选 B. 答案　 B 5. 设 u ， v 分别是平面 α ， β 的法向量， u ＝ ( － 2 ， 2 ， 5) ，当 v ＝ (3 ，－ 2 ， 2) 时， α 与 β 的位置关系为 ________ ；当 v ＝ (4 ，－ 4 ，－ 10) 时， α 与 β 的位置关系为 ________. 解析　 当 v ＝ (3 ，－ 2 ， 2) 时，由于 u · v ＝ 0 ，即 u ⊥ v ， ∴ α ⊥ β ；当 v ＝ (4 ，－ 4 ，－ 10) 时，由于 v ＝－ 2 u ≠ 0 ， ∴ α ∥ β . 答案　 α ⊥ β 　 α ∥ β 6. 设直线 l 的方向向量为 a ，平面 α 的法向量为 n ＝ (2 ， 2 ， 4) ，若 a ＝ (1 ， 1 ， 2) ，则直线 l 与平面 α 的位置关系为 ________ ； 若 a ＝ ( － 1 ，－ 1 ， 1) ，则直线 l 与平面 α 的位置关系为 ________. 答案　 l ⊥ α 　 l ∥ α 或 l ⊂ α 【例 1 】 如图所示，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为正方形， △ PAD 是直角三角形，且 PA ＝ AD ＝ 2 ， E ， F ， G 分别是线段 PA ， PD ， CD 的中点 . 求证： PB ∥ 平面 EFG . 考点一　用空间向量证平行问题 证明　 因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为正方形， △ PAD 是直角三角形，且 PA ＝ AD ，所以 AB ， AP ， AD 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A － xyz ，则 A (0 ， 0 ， 0) ， B (2 ， 0 ， 0) ， C (2 ， 2 ， 0) ， D (0 ， 2 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 2) ， E (0 ， 0 ， 1) ， F (0 ， 1 ， 1) ， G (1 ， 2 ， 0). 因为 PB ⊄ 平面 EFG ，所以 PB ∥ 平面 EFG . 规律方法　 (1) 证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可 . 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 . (2) 能建坐标系时，尽量建立坐标系 . 【训练 1 】 已知 E ， F ， G ， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，用向量方法求证： (1) E ， F ， G ， H 四点共面； (2) BD ∥ 平面 EFGH . 又 EH ⊂ 平面 EFGH ， BD ⊄ 平面 EFGH ， 所以 BD ∥ 平面 EFGH . 考点二　用空间向量证垂直问题 【例 2 】 如图所示，已知四棱锥 P － ABCD 的底面是直角梯形， ∠ ABC ＝ ∠ BCD ＝ 90° ， AB ＝ BC ＝ PB ＝ PC ＝ 2 CD ，侧面 PBC ⊥ 底面 ABCD . 证明： (1) PA ⊥ BD ； (2) 平面 PAD ⊥ 平面 PAB . 证明 　 (1) 取 BC 的中点 O ，连接 PO ， ∵ 平面 PBC ⊥ 底面 ABCD ， △ PBC 为等边三角形， ∴ PO ⊥ 底面 ABCD . 以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 . 又 ∵ PA ∩ PB ＝ P ， ∴ DM ⊥ 平面 PAB . ∵ DM ⊂ 平面 PAD ， ∴ 平面 PAD ⊥ 平面 PAB . 规律方法　 用向量证明垂直的方法 (1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 . (2) 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 . (3) 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 . 【训练 2 】 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a ，点 M ， N 分别是 AB ， CD 的中点 . (1) 求证： MN ⊥ AB ， MN ⊥ CD ； (2) 求 MN 的长 . 考点三　利用空间向量求解探索性问题 设平面 FBD 的法向量为 v ＝ ( a ， b ， c ) ， 取 a ＝ 1 ，得 v ＝ (1 ， 1 ， 2) ， 规律方法　 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断 . 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把 “ 是否存在 ” 问题转化为 “ 点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解 ” 等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法 . 【训练 3 】 在四棱锥 P － ABCD 中， △ ABP 是等边三角形，底面 ABCD 是直角梯形， ∠ DAB ＝ 90° ， AD ∥ BC ， E 是线段 AB 的中点， PE ⊥ 底面 ABCD ，已知 DA ＝ AB ＝ 2 BC ＝ 2. 试在平面 PCD 上找一点 M ，使得 EM ⊥ 平面 PCD . 解　 因为 PE ⊥ 底面 ABCD ，过 E 作 ES ∥ BC ，则 ES ⊥ AB ，以 E 为坐标原点， EB 方向为 x 轴的正半轴， ES 方向为 y 轴的正半轴， EP 方向为 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 设 M 点的坐标为 ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ，平面 PCD 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ，