2010年普通高等学校招生全国统一考试 理数（北京卷) 12页

绝密«使用完毕前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1） 集合，则=‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（2）在等比数列中，，公比.若，则m=‎ ‎（A）9 （B）10 （C）11 （D）12[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 ‎ ‎ ‎ ‎（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（5）极坐标方程表示的图形是 ‎（A）两个圆 （B）两条直线 ‎（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 ‎（6）为非零向量.“”是“函数为一次函数”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数的图像上存在区域D上的点，则的取值范围是 ‎ （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]‎ ‎(8)如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=，DQ=，DＰ＝（大于零），则四面体的体积　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　（Ａ）与都有关 ‎　　　（Ｂ）与有关，与、无关 ‎　　　（Ｃ）与有关，与，无关 ‎　　　（Ｄ）与有关，与，无关 第II卷（共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。‎ ‎（10）在△ABC中，若b = 1，c =，，则a = 。‎ ‎（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。‎ ‎（12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,‎ 则DE＝ ；CE＝ 。‎ ‎（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。‎ ‎（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 。‎ ‎ ‎ 说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ ‎（16）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，正方形ABCD和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；‎ ‎（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。‎ ‎ ‎ ‎(17)(本小题共13分)‎ 某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎[‎ ‎(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；‎ ‎(Ⅱ)求，的值；‎ ‎(Ⅲ)求数学期望ξ。‎ ‎(18)(本小题共13分)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)求()的单调区间。‎ ‎（19）（本小题共14分）‎ 在平面直角坐标系中，点与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与 BP的斜率之积等于.‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎（20）（本小题共13分）‎ 已知集合 对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 ‎（Ⅰ）证明：，且;‎ ‎（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 ‎(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为.‎ ‎ 证明：‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ 因为,[‎ 所以，当时取最大值6；当时，取最小值 ‎（16）（共14分）‎ 证明：（Ⅰ）设AC与BD交于点G.‎ 因为EF∥AG,且EF=1，AG=AC=1‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形 ‎ 所以AF∥EG ‎ 因为EG平面BDE,AF平面BDE,‎ ‎ 所以AF∥平面BDE ‎（Ⅱ）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且 ‎ 所以 ‎ 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 所以 所以 所以 ‎（17）（共13分）‎ ‎ 解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，由题意知 ‎ ‎ ‎（Ⅰ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”‎ 是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 整理得 ‎ ‎ ‎ ‎(18)共13分 解：（Ⅰ）当时，‎ ‎ 由于 ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ 当时，‎ ‎ 所以，在区间上，；在区间上，‎ ‎ 故的单调递增区间是，单调递减区间是 ‎ 当时，由，得 ‎ 所以，在区间和上，，在区间上，‎ ‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎ 当时，‎ ‎ 故的单调递增区间是 ‎ 当时，由 ，得 ‎ 所以，在区间和上，；在区间上，‎ ‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎（19）（共14分）‎ ‎（Ⅱ）解法一：设点P的坐标为，点的坐标分别为 ‎ 则直线的方程式为，直线的方程式为 ‎ 令得 ‎ 于是的面积 ‎ ‎ ‎ 又直线AB的方程为 ‎ 点P到直线AB的距离 ‎ 于是的面积 ‎ ‎ ‎ 当时，得 ‎ 又 ‎ 所以，解得 ‎ 因为，所以 ‎ 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为 ‎ 解法二：若存在点使得与的面积相等，设点P的坐标为 ‎ 则 ‎ 因为 ‎ 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为 ‎（20）（共13分）‎ 证明：（Ⅰ）设 ‎ 因为 ‎ 从而 ‎ 又 ‎ 由题意知 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 所以中1的个数为，中1的个数为 ‎ 设是使成立的的个数，则 ‎ 由此可知，三个数不可能都是奇数 ‎ 即三个数中至少有一个是偶数 ‎ （Ⅲ）表示中所有两个元素间距离的综合 ‎ 设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0‎ ‎ 则 ‎ 由于 ‎ 所以[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ 从而 ‎ ‎