北师大版高三数学复习专题-三角函数、三角恒等变形、解三角形课件-第4章第7节 56页

走向高考 · 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 北师大版 · 高考总复习 三角函数、三角恒等变形、解三角形 第四章 第七节　 正弦定理、余弦定理的应用举例 第四章 课前自主导学2 课 时 作 业4 高考目标导航1 课堂典例讲练3 高考目标导航 考纲要求 命题分析 　　能够运用正弦 定理、余弦定理等 知识和方法解决一 些与测量和几何计 算有关的实际问题. 高考对正弦定理和余弦定理在 实际中的应用的考查，其常规考法 为：依据实际问题背景，直接给出 测量数据，通过考生作图分析，然 后选用恰当的公式直接计算． 预测2016年以实际问题为背景 构建三角形解决问题是一个可能的 发展方向. 课前自主导学 1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线_________叫仰角，目标视线在水平 视线__________叫俯角(如图①)． 上方的角 下方的角 2．方位角 指从____方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的 方位角为α(如图②)． 3．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东α°：指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. ③其他方向角类似． 正北 4．坡度与坡比 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为 坡角)． 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡 比)． 　 1.(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向 的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝(　　) A．10°　　　　 B．50° C．120°　 D．130° [答案]　D [解析]　如图，由已知∠BAD＝60°， ∠CAD＝70°， ∴∠BAC＝60°＋70°＝130°. 2．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的(　　) A．西偏北30°　　　 B．西偏北60° C．南偏东30°　 D．东偏南30° [答案]　C [解析]　如图可知B在A的南偏东30°. 3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所 在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝ 45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为(　　) 4．(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°， 现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　) A．1　 B．2sin10° C．2cos10°　 D．cos20° [答案]　C [解析]　如图，∵∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°， ∴∠ABD＝160°. 5．2014年9月16日，台风“海鸥”即将登陆海南文昌，如 图，位于港口O正东方向20海里的B处的渔船回港避风时出现故 障．位于港口南偏西30°方向，距港口10海里的C处的拖轮接 到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救 渔船，则拖轮到B处需要________小时． [分析]　求解本题的关键是把实际应用问题转化为数学问 题，然后再利用余弦定理解决． 6．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海 里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是 ________海里． 课堂典例讲练 如图所示，为了测量对岸A，B两点间的距离，在 这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝ 30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长． [思路分析]　在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出 AB． 测量距离问题 [方法总结]　求距离问题一般要注意： (1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要 适当确定的线段叫作基线，如例题中的CD)． (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的 三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放 在另一确定三角形中求解． (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更 便于计算的定理． 一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东 北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方 向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C 在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离． 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m以 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求 塔高． 测量高度问题 [方法总结]　(1)处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角 (视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关 键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究 的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图 形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 提醒：高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意 三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形 和平面图形的结合． 测量角度问题 [方法总结]　首先要理解题意，分清已知和未知，画出示 意图，据已知条件和求解目标，把已知量与求解量尽量集中在 有关三角形中，综合利用正、余弦定理有序地解三角形，逐步 求解问题的答案． 函数与方程思想在解三角形中的应用 从近两年高考试题看，高考对正、余弦定理的实际应用考 察较少，但此部分内容能较好地考察学生的阅读理解能力，分 析问题和解决问题的能力及函数与方程的思想，因此应积极备 考． 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行 方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时， 小艇能以最短时间与轮船相遇． [方法总结]　1.本题主要问题在于不会构建v与t的函数关系 式，难以利用条件解不等式． 2．解答本题利用了函数思想，求解时，把距离和速度分 别表示时间t的函数，利用函数的性质求其最值，第二问应注意 t的范围．关于三角形中的最值问题，有时把所求问题表示关于 角θ的三角函数，再利用三角函数的性质来求解。 [解析]　如图，设航行t小时后，甲船到达C点，乙船到达 D点，问题即求CD最小时t的值． [错因分析]　俯角的概念理解错误是导致解题错误的根本 原因．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫 俯角，而不是竖直线与视线的夹角． [误区警示]　在解实际问题时，应正确理解如下角的含 义． (1)方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角． (2)方位角：从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角． (3)坡度：坡面与水平面的二面角的度数. (4)仰角与俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线 和目标视的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标 视线在水平视线下方时称为俯角. 一个步骤 解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未 知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题 的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关 单位问题、近似计算的要求等． 两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或 两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三 角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个 三角形中列出方程(组)或解方程(组)得出所要求的解． 课 时 作 业 （点此链接）