高考数学难点突破09__指数、对数函数 6页

高中数学难点 9 指数函数、对数函数问题 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概 念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场 (★★★★★)设 f(x)=log2 x x   1 1 ,F(x)= x2 1 +f(x). (1)试判断函数 f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若 f(x)的反函数为 f－1(x),证明：对任意的自然数 n(n≥3),都有 f－1(n)> 1n n ; (3)若 F(x)的反函数 F－1(x),证明：方程 F－1(x)=0 有惟一解. ●案例探究 ［例 1］已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、 B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上； (2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知 识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得 A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点 A 的坐标. (1)证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 2 28 1 18 loglog x x x x  ,点 C、D 坐标分别为 (x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1= 2log log 8 18 x =  2log loglog,log3 8 28 2218 xxx 3log8x2,所以 OC 的斜 率：k1= 1 18 2 12 log3log x x x x  , OD 的斜率：k2= 2 28 2 22 log3log x x x x  ，由此可知：k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上. (2)解：由 BC 平行于 x 轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= 3 1 log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 得：x1 3log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x1 3=3x1.又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为 ( 3 ，log8 ). ［例 2］在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000( 10 a )x(0bn+1>bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1>bn,即( )2+( )－1>0,解得 a<－5(1+ 2 ) 或 a>5( 5 －1).∴5( 5 －1)1 时，函数 y=logax 和 y=(1－a)x 的图象只可能是( ) 二、填空题 3.( ★★★★★) 已知函数 f(x)=      )02( )(log )0( 2 2 xx xx .则 f-－1(x－1)=_________. 4.(★★★★★)如图，开始时，桶 1 中有 a L 水，t 分 钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y= ae－nt,那么桶 2 中水就是 y2=a－ae－nt,假设过 5 分钟时，桶 1 和桶 2 的水相等，则再过_________分钟桶 1 中的水只有 8 a . 三、解答题 5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时， 点 Q(x－2a,－y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1)写出函数 y=g(x)的解析式； (2)若当 x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围. 6.(★★★★)已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),(x∈(0,+∞)),若 x1,x2∈(0,+∞),判断 2 1 ［f(x1)+f(x2)］与 f( 2 21 xx  )的大小，并加以证明. 7.(★★★★★)已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1.loga 2x+loga 2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠ 1),求 loga(xy)的取值范围. 8.(★★★★)设不等式 2(log 2 1 x)2+9(log x)+9≤0 的解集为 M，求当 x∈M 时函数 f(x)=(log2 2 x )(log2 8 x )的最大、最小值. 参考答案 难点磁场 解：(1)由 x x   1 1 >0,且 2－x≠0 得 F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则 F(x2)－F(x1)=( 12 2 1 2 1 xx  )+( 1 1 2 2 2 2 1 1log1 1log x x x x    ) )1)(1( )1)(1(log)2)(2( 21 21 2 21 12 xx xx xx xx    , ∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第 2 项中对数的真数大于 1. 因此 F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数. (2)证明：由 y=f(x)= x x   1 1log2 得：2y= 12 12,1 1    y y xx x , ∴f－1(x)= 12 12   x x ,∵f(x)的值域为 R，∴f-－1(x)的定义域为 R. 当 n≥3 时，f-1(n)> 1221 11 12 21112 12 1      nnn n n n n nn n . 用数学归纳法易证 2n>2n+1(n≥3),证略. (3)证明：∵F(0)= 2 1 ,∴F－1( 2 1 )=0,∴x= 是 F－1(x)=0 的一个根.假设 F－1(x)=0 还有一个解 x0(x0≠ ),则 F-1(x0)=0,于是 F(0)=x0(x0≠ ).这是不可能的，故 F-1(x)=0 有惟一解. 歼灭难点训练 一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ① 又 g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ② 由①②得：g(x)= 2 x ,h(x)=lg(10x+1)－ 2 x . 答案：C 2.解析：当 a>1 时，函数 y=logax 的图象只能在 A 和 C 中选，又 a>1 时，y=(1－a)x 为 减函数. 答案：B 二、3.解析：容易求得 f- －1(x)=      )1( 2 )1( log2 x xx x ,从而： f－1(x－1)=       ).2( ,2 )2(),1(log 1 2 x xx x 答案：       )2( ,2 )2(),1(log 1 2 x xx x 4.解析：由题意，5 分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n= 5 1 ln2.设再过 t 分钟桶 1 中的 水只有 8 a ,则 y1=ae－n(5+t)= ,解得 t=10. 答案：10 三、5.解：(1)设点 Q 的坐标为(x′,y′),则 x′=x－2a,y′=－y.即 x=x′+2a,y=－y′. ∵点 P(x,y)在函数 y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即 y′=loga ax 2 1 , ∴g(x)=loga ax  1 . (2)由题意得 x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0; = aa  )3( 1 >0,又 a>0 且 a≠1,∴0＜a＜ 1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga |=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2 －4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2 在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ (x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ (x)］max=μ (a+2)=loga(4－4a),［μ (x)］min=μ (a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组       1)44(log 1)69(log 10 a a a a a 的解. 由 loga(9－6a)≥－1 解得 0＜a≤ 12 579  ,由 loga(4－4a)≤1 解得 0＜a≤ 5 4 , ∴所求 a 的取值范围是 0＜a≤ . 6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, ∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( 2 21 xx  )2(当且仅当 x1=x2 时取“=”号)， 当 a>1 时，有 logax1x2≤loga( )2, ∴ 2 1 logax1x2≤loga( )， 2 1 (logax1+logax2)≤loga , 即 [ f(x1)+f(x2)］≤f( )(当且仅当 x1=x2 时取“=”号) 当 0＜a＜1 时，有 logax1x2≥loga( )2, ∴ (logax1+logax2)≥loga ,即 ［f(x1)+f(x2)］≥ f( )(当且仅当 x1=x2 时取“=” 号）. 7.解：由已知等式得：loga 2x+loga 2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4, 令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系 uOv 内，圆弧(u －1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系 v=－u+k 有公共点，分两类讨论. (1)当 u≥0,v≥0 时，即 a>1 时，结合判别式法与代点法得 1+ 3 ≤k≤2(1+ 2 ); (2)当 u≤0,v≤0,即 0＜a＜1 时，同理得到 2(1－ )≤k≤1－ 3 .x 综上，当 a>1 时，logaxy 的最大值为 2+2 2 ，最小值为 1+ 3 ；当 0＜a＜1 时，logaxy 的最大值为 1－ ，最小值 为 2－2 . 8.解：∵2( 2 1log x)2+9( 2 1log x)+9≤0 ∴(2 x+3)( x+3)≤0. ∴－3≤ x≤－ 2 3 . 即 ( 2 1 )－3≤ x≤ ( ) 2 3 ∴( ) ≤x≤( )－3,∴2 2 ≤x≤8 即 M={x|x∈［2 2 ,8］} 又 f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log2 2x－4log2x+3=(log2x－2)2－1. ∵2 ≤x≤8,∴ 2 3 ≤log2x≤3 ∴当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=－1;当 log2x=3,即 x=8 时，ymax=0.