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- 2021-06-10 发布
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第49课 双曲线
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
中心在坐标原点的双曲线
的标准方程与几何性质
√
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(F1F2＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|MF1－MF2＝2a}，F1F2＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2aF1F2时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝________.
1 [依题意，e＝＝＝2，
∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]
3．(2017·泰州中学高三摸底考试)若双曲线x2－＝1的焦点到渐近线的距离为2，则实数k的值是________．
8 [由题意得b＝2⇒k＝b2＝8.]
4．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
2 [由双曲线的标准方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，从而焦距2c＝2.]
5．(2016·北京高考改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为__________．
x2－＝1 [由于2x＋y＝0是－＝1的一条渐近线，
∴＝2，即b＝2a.①
又∵双曲线的一个焦点为(，0)，则c＝，
由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5，②
联立①②得a2＝1，b2＝4.
∴所求双曲线的方程为x2－＝1.]
双曲线的定义及应用
已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．则△APF周长的最小值为__________. 【导学号：62172269】
32 [由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，
故F(3,0)，F1(－3,0)，
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知PF－PF1＝2.所以PF＝PF1＋2，
从而△APF的周长＝AP＋PF＋AF＝AP＋PF1＋2＋AF.
因为AF＝＝15为定值，
所以当(AP＋PF1)最小时，△APF的周长最小，A，F1，P三点共线．
又因为AP＋PF1≥AF1＝AF＝15.
所以△APF周长的最小值为15＋15＋2＝32.]
[规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．
2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将PF1－PF2＝2a平方，建立PF1·PF2间的联系．
[变式训练1] (1)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若F1A＝2F2A，则cos∠AF2F1＝________.
(2)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若PF1＝PF2，则△F1PF2的面积为________．
(1) (2)24 [(1)由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得F1A－F2A＝2a.
又F1A＝2F2A，故F1A＝4a，
F2A＝2a，
∴cos∠AF2F1＝＝.
(2)由双曲线的定义可得
PF1－PF2＝PF2＝2a＝2，
解得PF2＝6，故PF1＝8，又F1F2＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝PF1×PF2＝24.]
双曲线的标准方程
(1)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．
(2)(2016·天津高考改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．
(1)－＝1 (2)－y2＝1 [(1)由焦点F2(5,0)知c＝5.
又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.
∴双曲线C的标准方程为－＝1.
(2)由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.
又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线的方程为－y2＝1.]
[规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2
＝1(AB<0)．
2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
[变式训练2] (1)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________________．
(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．
(1)－y2＝1 (2)－＝1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则PF1－PF2＝8.
由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1.]
双曲线的简单几何性质
(1)(2016·全国卷Ⅱ改编)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为________．
(2)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线为__________. 【导学号：62172270】
(1) (2)x±y＝0 [(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以MF1＝.
在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得
tan∠MF2F1＝.
所以＝，即＝，即＝，
整理得c2－ac－a2＝0，
两边同除以a2得e2－e－1＝0.
解得e＝(负值舍去)．
(2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.
因为A1B⊥A2C，
所以·＝－1，整理得a＝b.
因此该双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0.]
[规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件．
2．双曲线中c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．
[变式训练3] (1)(2017·无锡期末)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．
(2)双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为________．
(1) (2)x±2y＝0 [(1)设AB＝x，则BC＝x，AC＝x，
∴2a＝x－x,2c＝x，
∴e＝＝＝＝.
(2)由题意可知a2＝1，b2＝－m，由于b＝2a，故－m＝4，∴m＝－4.
由x2－4y2＝0得x＝±2y，即x±2y＝0.
∴双曲线的渐近线方程为x±2y＝0.]
[思想与方法]
1．求双曲线标准方程的主要方法：
(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．
(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．
①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．
③与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中“1”改为“0”即可．
[易错与防范]
1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0,1)．求它们的离心率，不要忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围．
3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行．
课时分层训练(四十九)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．双曲线x2－＝1的两条渐近线方程为________．
y＝±2x [由x2－＝0得y＝±2x，即双曲线的两条渐进线方程为y＝±2x.]
2．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝__________.
【导学号：62172271】
[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－
x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]
3．双曲线－＝1的离心率为________．
[∵a2＝4，b2＝5，
∴c2＝9，∴e＝＝.]
4．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________. 【导学号：62172272】
[由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]
5．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为________．
－＝1(x>0) [由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.
所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]
6．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为________．
[由双曲线方程知a2＝3m，b2＝3，
∴c＝＝.
不妨设点F为右焦点，则F(，0)．
又双曲线的一条渐近线为x－y＝0，
∴d＝＝.]
7．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．
(－1,3) [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.
∴则
因此－10，即－20，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________．
2 [如图，由题意知AB＝，BC＝2c.
又2AB＝3BC，
∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．]
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
44 [由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，
且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，
由双曲线定义，得PF－PA＝6，
QF－QA＝6.
∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，
因此△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.]
2．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
(1,2) [由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)，∵△
ABE是锐角三角形，∴·>0，
即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4，
∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，
解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)．]
3．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝__________.
2 [双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，易得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性知＝1.
又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，
所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.]
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．
x2－＝1 [由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，
∴＝，则b2＝3a2.①
又双曲线的一个焦点为F(2,0)，
∴a2＋b2＝4，②
联立①②，解得a2＝1，b2＝3.
故所求双曲线的方程为x2－＝1.]
5．(2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．
y＝±x [抛物线y2＝－12x的焦点为(－3,0)，∴a2＋1＝9，∴a＝±2.
∴双曲线的两条渐近线方程为y＝±＝±x.]
6．(2016·天津高考改编)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为________．
－＝1 [由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立
解得或
即第一象限的交点为.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.]
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