2017 年芜湖市高中毕业班教学质量检测高考模拟 数学（文科） 9页

2017 年芜湖市高中毕业班教学质量检测高考模拟 数学（文科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足  1 1 3i z i   （i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知全集    2, 2 0 , 1,0,1,2U Z A x Z x x B        ，则  UC A B  （ ） A． 1,2 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,2 3.若 1 sin cos 0     ，则（ ） A．sin 0  B． os 0 c C． tan 0  D． cos2 0  4.已知点  2, 3 在双曲线   2 2 1 04 x y aa    的一条浙近线上，则 a （ ） A． 3 B．3 C. 2 D． 2 3 5.“ 2 1a  ”是“函数   2lg 1f x ax      为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分 也不必要条件 6.执行所级的程序框输送，则输出 A 的值是（ ） A． 1 55 B． 1 58 C. 1 61 D． 1 64 7.边长为 4 的正三角形 ABC 中，点 D 在边 AB 上， 1 2AD DB  ， M 是 BC 的中点，则 AM CD   （ ） A．16 B．12 3 C. 8 3 D． 8 8.等比数列 na 共有 12 n 项，其中 1 1a  ，偶数项和为170 ，奇数项和为341，则 n （ ） A．3 B．4 4 C. 7 D．9 9.函数   2 cosf x x x  在 ,2 2      的图象大致是（ ） A． B． C. D． 10.抛物线 2 4x y 的焦点为 F ，过 F 作斜率为 3 3 的直线l 与抛物线在 y 轴右侧的部分相交 于点 A ，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H ，则 AHF 的面积是（ ） A． 4 B． 3 3 C. 4 3 D．8 11.将函数    sin 0f x x   的图象向左平移 4   个单位得到函数  g x 的图象，若函数  g x 的图象关于直线 x  对称且在区间  ,  内单调递增，则 的值为（ ） A． 3 2  B． 4  C. 2  D． 3 2  12.若函数    1 , 2 1, xx e x af x x x a        有最大值，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 2 1 1 ,2 2e       B． 2 1 ,2e     C. 2   D． 2 1 12, 2 2e       第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.以下茎叶图记录了某学习小组六名同学在一次数学测试中的成绩（单位：分），已知该组 数据的中位数为85 ，则 x 的值为 ． 14.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外 接球的体积为 ． 15.已知点  ,P x y 在不等式组 2 0 3 3 0 x y a x y        （ a 为常数）表示的平面区域上运动，若 4 3z x  的最大值为8 ，则 a ． 16.在 ABC 中，角 CBA 、、 所对的边分别为 cba 、、 ，且  cos 3 cosb C a c B  ． D 为 AC 边的中点，且 1BD ，则 ABD 面积的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 9 3 581,a 14S a   ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 1 n n n b a a   ，若 nb 的前 n 项和为 nT ，证明： 1 2nT  ． 18.2017 年 3 月 14 日，“ ofo 共享单车”终于来到芜湖，ofo 共享单车又被亲切称作“小黄车” 是全球第一个无桩共享单车平台，开创了首个“单车共享”模式．相关部门准备对该项目进 行考核，考核的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于 8.0 ，否则该项目需进行整改， 该部门为了了解市民对该项目的满意程度，随机访问了使用共享单车的100 名市民，并根据 这100 名市民对该项目满意程度的评分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： （I）为了了解部分市民对“共享单车”评分较低的原因，该部门从评分低于 60 分的市民中 随机抽取 2 人进行座谈，求这 2 人评分恰好都在 50,60 的概率； （II）根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过考核，并说明理由． （注：满意指数= 100 意程度的平均得分满 ） 19.如图所示，在直角梯形 ABCD 中， , , 2 2AD BC AD DC BC AD DC   ，四边形 ABEF 是正方形，且平面 ABEF  平面 ABCD ， M 为 AF 的中点， （I）求证： BMAC  ； （2）求异面直线CE 与 BM 所成角的余弦值． 20.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 2 2 ， M 为C 上除长轴顶点外的一动点， 以 M 为圆心， 2 2 为半径作圆，过原点O 作圆 M 的两条切线， BA， 为切点，当 M 为短 轴顶点时 2AOB   . （I）求椭圆的方程； （II）设椭圆的右焦点为 F ，过点 F 作 MF 的垂线交直线 2x a 于 N 点，判断直线 MN 与椭圆的位置关系． 21.已知函数     2 1 ln 2 xf x ax x   ． （I）若 2a ，求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线l 的方程； （II）设函数    'g x f x 有两个极值点 1 2,x x ，其中  1 0,x e ，求    1 2g x g x 的最小值． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 2 2 x m t y t     （t 为参数）．以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 4 1 sin    ，且直线l 经 过曲线C 的左焦点 F ． （I）求直线l 的普通方程； （II）设曲线C 的内接矩形的周长为 L ，求 L 的最大值． 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数    2 2 5f x x a x a R      ． （I）试比较  1f  与  f a 的大小； （II）当 1a   时，若函数  f x 的图象和 x 轴围成一个三角形，则实数 a 的取值范围． 试卷答案 一、选择题 1-5: DCCBB 6-10:CDBBC 11、12：CA 二、填空题 13.8 14.8 6 15. 2 16. 2 4 三、解答题 17.解：（I）  na 等差数列， 由 9 59 81S a  ，得 5 9a  ． 又由 3 5 14a a  ，得 3 5a  ． 由上可得等差数列 na 的公差 2d .  3 3 2 1na a n d n      . （II）由       1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n            ． 得 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2nT n n n                      ． 18.解：（I）依题意得：评分在 40,50 、 50,60 的频率分别为 02.0 和 03.0 , 所以评分在 40,50 、 50,60 的市民分别有 2 个和3 个，记为 1 2 1 2 3, , , ,A A B B B 从评分低于 60 分的市民中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有10种， 它们是                   1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B ． 其中 2 人评分都在 50,60 的有三种，即     1 2 1 3 2 3, , , , ,B B B B B B ． 故所求的概率为 3 10 ． （II）由样本的频率分布直方图可得满意程度的平均得分为 5.8026.0953.08524.07515.06503.05502.045  。 可估计市民的满意指数为 80.5 0.805 0.8100   ， 所以该项目能通过验收． 19.解：（I）证明：因为四边形 ABEF 为正方形，所以 ABBE  ． 因为平面 ABCD  平面 ABEF ，平面 ABCD  平面 ABABEF  ， BE 平面 ABEF ． 所以 BE  平面 ABCD ．因为 AC 平面 ABCD ，所以 BE AC ． 设 1AD ，则 2AC AB  ， AC AB  且 AB BE B  ， AC  平面 ABEF ，又 BM 平面 ABEF ． AC BM  ． （II）取 BC 的中点记为Q ， BE 的中点记为 N ，连接 DQQNMN ，， ， 易得 ,CE QN AB MN  ． 在直角梯形 ABCD 中，由 DCADBC 22  可得 DQ AB ， 所以四边形 DMNQ 为平行四边形，可得 DM QN ． 故 DM CE ， DMB 即为异面直线CE 与 BM 所成的角（或其补角） 设 aBC 2 ,则 aDCAD  ， 可得 6 10, 5 ,2 2DM a BD a BM a   ．   2 210 6 52 2 15cos 1510 62 2 2 a a a DMB a a                   ． 得异面直线CE 与 BM 所成角的余弦值为 15 15 ． 20.解：（I）由题意， )( OMBOMA  为等腰直角三角形，因为圆 M 的半径为 2 2 ，所以 1b ， 又因为 2 2 c a  ，所以 2a  ，此时椭圆的方程为 2 2 12 x y  ； （II）（i） MF 垂直于 x 轴，则  2 21, , 2,0 ,2 2MNM N k        ， 此时直线 MN 的方程为  2 22y x   ，代入椭圆方程得： 2 2 1 0x    ， 所以直线 MN 与椭圆相切； （ii） MF 不垂直于 x 轴，设  0 0,M x y ，则 0 0 0 0 1,1MF NF y xk kx y   ， 直线 NF 的方程  0 0 1 1xy xy   ，令 2x ，解得 0 0 1 xy y  ，即得 0 0 12, xN y       ．   0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2MN x yy x yk x x y       ，由  0 0,M x y 在椭圆上，得 2 2 0 0 1 2 xy   ， 代入     2 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 21 2 2 2MN xx x y xk x y x y y             ． 得直线 MN 方程为  0 0 0 02 xy y x xy     ， 与椭圆方程联立得：  0 0 0 2 20 0 0 2 2 22 0 0 02 2 21 2 2 02 12 xy y x xy x xx xy y yx y                    ， 化简得： 2 0 0 0 1 0xxy y       ，所以此时直线 MN 与椭圆相切， 综合（i）（ii），直线 MN 与椭圆相切． 21.解：（I）当 2a 时，      1 1' 2ln 2, ' 1 2, 1 2f x x x f fx       ， 得切线l 的方程为  1 2 12y x   即 4 2 3 0x y   ． （II）   1lng x a x x ax     ，定义域为  0, ．   2 2 2 1 1' 1 a x axg x x x x      ，令  ' 0g x  得 2 1 0x ax   ，其两根为 1 2,x x ， 且 1 2 1 2, 1x x a x x    ．所以， 2 1 1 1 1 1,x a xx x         ．      1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln lng x g x g x g x a x x ax x x x                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 ln 2 2 lnx a x x x xx x x                        ，    1 12 2 ln , 0,h x x x x x ex x               ． 则       1 2 minming x g x h x  ,      2 2 1 1 ln' x x xh x x   , 当  0,1x 时，恒有    ' 0, 1,h x x e  时，恒有  ' 0h x  ， 总之当  1,x e 时，  h x 在  0,x e 上单调递减，所以    min 4h x h e e    ，     1 2 min 4g x g x e     ． 22.解（I）因为曲线C 的极坐标方向为 2 2 4 1 sin    ，即 2 2 2sin 4    ， 将 2 2 2 , sinx y y     代入上述并化简得 2 2 14 2 x y  ， 所以曲线C 的直角坐标方程为 2 2 14 2 x y  ，于是  2 2 2 2, 2,0c a b F    ， 直线l 的普通方程为 x y m  ，将  2,0F  代入直线方程得 2m   ， 所以直线的普通方程为 2 0x y   ． （II）设椭圆C 的内接矩形在第一象限的顶点为  2cos , 2 sin 0 2        ， 所 以 椭 圆 C 的 内 接 矩 形 的 周 长 为    2 4cos 2 2 sin 4 6 sinL        ，（ 其 中 tan 2  ） 此时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值 4 6 ． 23.解：（I）因为      1 2 2 5 1 5 1 0f a f a a a           ，于是    1f a f  ． 当且仅当 1a   时时等号成立； （II）① 1a   时，   3 1 5f x x   满足题意， ③当 1a   时，   3 3, , 2 2 5 3, 1 , 3 7, 1, x a x a f x x a x x a x a x a x                    由（I）可知    1f a f  ，此时函数  f x 的图象和 x 轴围成一个三角形等价于     2 3 0 1 4 0 f a a f a         ，解得 3 ,42a     ， 综上知 a 的取值范围是  3 ,4 12a      ．