2020高中数学 第一章 三角函数 1 8页

‎1.1.2　‎弧度制 学习目标：1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．度量角的两种单位制 ‎(1)角度制：‎ ‎①定义：用度作为单位来度量角的单位制．‎ ‎②1度的角：周角的.‎ ‎(2)弧度制：‎ ‎①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．‎ ‎②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．‎ ‎2．弧度数的计算 思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？‎ ‎[提示]　一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．‎ ‎3．角度制与弧度制的换算 ‎4．一些特殊角与弧度数的对应关系 度 ‎0°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ ‎120°‎ ‎135°‎ ‎150°‎ ‎180°‎ ‎270°‎ ‎360°‎ 弧度 ‎0‎ π ‎2π ‎5．扇形的弧长和面积公式 8‎ 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 ‎(1)弧长公式：l＝αR.‎ ‎(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)1弧度的角是周角的.(　　)‎ ‎(2)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．(　　)‎ ‎(3)1弧度的角大于1度的角．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误，1弧度的角是周角的.(2)(3)都正确．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√‎ ‎2．(1)化为角度是________．‎ ‎(2)105°的弧度数是________．‎ ‎(1)252°　(2)　[(1)＝°＝252°；‎ ‎(2)105°＝105× rad＝ rad.]‎ ‎3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．‎ 　[由已知得S扇＝××22＝.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 角度与弧度的互化与应用 ‎　(1)①将112°30′化为弧度为________．‎ ‎②将－rad化为角度为________．‎ ‎(2)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ的大小. ‎ ‎【导学号：84352012】‎ ‎(1)①rad　②－75°　　[(1)①因为1°＝rad，‎ 所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.‎ ‎②因为1 rad＝°，‎ 8‎ 所以－rad＝－°＝－75°.]‎ ‎(2)法一(化为弧度)：‎ α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.‎ 显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.‎ 法二(化为角度)：‎ β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，‎ φ＝×°＝105°.‎ 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.‎ 故α＜β＜γ＜θ＝φ.‎ ‎[规律方法]　角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；‎ (2)方法：度数×＝弧度数；弧度数×°＝度数；‎ (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)将－157°30′化成弧度为________．‎ ‎(2)将－化为度是________．‎ ‎(1)－π rad　(2)－396°　[(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad.‎ ‎(2)－＝－×°＝－396°.]‎ ‎2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)‎ π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．‎ 当k＝0时，θ＝72°＝π；‎ 当k＝1时，θ＝432°＝π，‎ 所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.]‎ 用弧度数表示角 ‎　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)‎ 8‎ A. B. C. D. ‎(2)用弧度表示终边落在如图117所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合. ‎ 图117‎ ‎[思路探究]　(1)→ ‎(2) ‎→ ‎(1)D　[(1)因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，‎ 所以角α的终边落在直线y＝x上，‎ 所以角α的集合是.]‎ ‎(2)因为30°＝ rad,210°＝ rad，‎ 这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.‎ ‎[规律方法]　1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：‎ 在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．‎ ‎2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：‎ ‎(1)仔细观察图形．‎ ‎(2)写出区域边界作为终边时角的表示．‎ ‎(3)用不等式表示区域范围内的角．‎ 提醒：角度制与弧度制不能混用. ‎ ‎[跟踪训练]‎ 8‎ ‎3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)‎ A．2kπ＋45°(k∈Z)‎ B．k·360°＋(k∈Z)‎ C．k·360°－315°(k∈Z)‎ D．kπ＋(k∈Z)‎ C　[A，B中弧度与角度混用，不正确．‎ π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]‎ ‎4．用弧度写出终边落在如图118阴影部分(不包括边界)内的角的集合．‎ 图118‎ ‎[解]　30°＝，150°＝.‎ 终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.‎ 弧长公式与扇形面积公式的应用 ‎[探究问题 ‎1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？‎ 提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．‎ ‎2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？‎ 提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．‎ ‎　(1)如图119，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．‎ 8‎ 图119‎ ‎(2)已知扇形OAB的周长是‎60 cm，面积是‎20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．‎ ‎[思路探究]　(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．‎ ‎(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．‎ ‎(1)2－　[(1)设AB＝1，∠EAD＝α，‎ ‎∵S扇形ADE＝S阴影BCD，‎ 由题意可得×12×α＝12－，‎ ‎∴解得α＝2－.]‎ ‎(2)设扇形的弧长为l，半径为r，‎ 则 ‎∴或 ‎∴扇形的圆心角的弧度数为 ＝43－3或43＋3.‎ 母题探究：1.(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．‎ ‎[解]　设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，‎ 依题意有 由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，‎ 解得r1＝1，r2＝4.‎ 当r＝1时，l＝8(cm)，‎ 此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去．‎ 当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝ rad.‎ ‎2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是‎20 cm2”‎删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.‎ ‎[解]　设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，‎ 所以l＝60－2r，|α|＝＝，‎ 8‎ 从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，‎ 当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝＝＝2，‎ 可得弧长AB＝αr＝2×15＝30.‎ ‎[规律方法]　弧度制下解决扇形相关问题的步骤：‎ ‎(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)‎ ‎(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．‎ ‎(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．‎ 提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．下列转化结果错误的是(　　) ‎ A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－600°‎ C．－150°化成弧度是－π D.化成度是15°‎ C　[对于A,60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－π；对于D，＝×180°＝15°.故选C.]‎ ‎2．是(　　)‎ A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[＝4π＋.∵π是第二象限角，∴是第二象限角．]‎ ‎3．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　) ‎ A. rad B. rad C.π D.π 8‎ B　[由弧度数公式α＝，得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.]‎ ‎4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.‎ 　[－570°＝－＝－4π＋.]‎ ‎5．求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．‎ ‎[解]　因为r＝π，α＝120×＝，‎ 所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.‎ 8‎