人教A数学必修一奇偶性基础知识讲解 7页

函数的奇偶性 ‎【学习目标】‎ ‎1.理解函数的奇偶性定义；‎ ‎2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；‎ ‎3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 ‎1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.‎ 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.‎ 要点诠释：‎ ‎（1）奇偶性是整体性质；‎ ‎（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；‎ ‎（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，‎ ‎ f(-x)=-f(x)的等价形式为：；‎ ‎（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；‎ ‎（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.‎ ‎2.奇偶函数的图象与性质 ‎（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.‎ ‎（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.‎ ‎3.用定义判断函数奇偶性的步骤 ‎（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；‎ ‎（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；‎ ‎（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.‎ 若=-，则是奇函数；‎ 若=，则是偶函数；‎ 若，则既不是奇函数，也不是偶函数；‎ 若且=-，则既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 ‎（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.‎ ‎（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.‎ ‎（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.‎ ‎（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.‎ ‎（5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.‎ 要点三、关于函数奇偶性的常见结论 奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；‎ ‎(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； ‎ ‎(5)； (6)．‎ ‎【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.‎ ‎【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．‎ ‎【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；‎ ‎(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；‎ ‎(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；‎ ‎(4)‎ ‎，∴f(x)为奇函数；‎ ‎(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；‎ ‎(6)，∴f(x)为奇函数.‎ ‎【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】判断下列函数的奇偶性：‎ ‎(1)； (2)； (3)；‎ ‎(4).‎ ‎【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．‎ ‎【解析】(1)的定义域是，‎ 又，是奇函数．‎ ‎（2）的定义域是，‎ 又，是偶函数．‎ ‎（3）函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数．‎ ‎（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)‎ 任取x<0，则-x>‎0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)‎ x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.‎ ‎【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】‎ ‎【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.‎ 证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)‎ G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)‎ ‎∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.‎ ‎【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】‎ ‎【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.‎ A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数 C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数 ‎【答案】A 类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)‎ 例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).‎ ‎【答案】-26‎ ‎【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)‎3a-(-2)b-8=-32‎-8a+2b-8=-40‎-8a+2b=10‎ ‎∴‎8a-2b=-50 ∴f(2)=25+‎23a-2b-8=‎8a-2b+24=-50+24=-26‎ 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ‎∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8‎ ‎∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.‎ ‎【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知为奇函数，，则为（ ）．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】，又为奇函数，所以．‎ 例3.已知是定义在R上的奇函数，当时，，求 的解析式．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是定义在R上的奇函数，‎ ‎，当时，，‎ ‎ =‎ 又奇函数在原点有定义，．‎ ‎【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）．‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】‎ ‎【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.‎ ‎（2）已知奇函数的定义域是R，当时，，求的解析式.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当时，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵f(a-1)