高中数学人教a版选修4-4模块检测卷（一）word版含解析 8页

模块检测卷(一) 一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分) 1．已知两定点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|，则点 P 的轨迹所围成 的图形的面积等于( ) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选 B 设 P点的坐标为(x，y)， ∵|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]． 即(x－2)2＋y2＝4. 故 P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以 2为半径的圆，它的面积为 4π. 2．柱坐标 2，π 3 ，1 对应的点的直角坐标是( ) A．( 3，－1,1) B．( 3，1,1) C．(1，3，1) D．(－1，3，1) 解析：选 C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z 可得 x＝1， y＝ 3， z＝1. 3．在极坐标系中，点 A的极坐标是(1，π)，点 P是曲线 C：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA| 的最小值是( ) A．0 B. 2 C. 2＋1 D. 2－1 解析：选 D A的直角坐标为(－1,0)，曲线 C的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y，即 x2＋(y －1)2＝1，|AC|＝ 2，则|PA|min＝ 2－1. 4．直线 x＝sin θ＋tsin 15°， y＝cos θ－tsin 75° (t为参数，θ是常数)的倾斜角是( ) A．105° B．75° C．15° D．165° 解析：选 A 参数方程 x＝sin θ＋tsin 15°， y＝cos θ－tsin 75° ⇒ x＝sin θ＋tcos 75°， y＝cos θ－tsin 75°， 消去参数 t得，y－cos θ＝－tan 75°(x－sin θ)， ∴k＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°. 故直线的倾斜角是 105°. 5．双曲线 x＝tan θ， y＝2 1 cos θ (θ为参数)的渐近线方程为( ) A．y＝± 2 2 x B．y＝±1 2 x C．y＝± 2x D．y＝±2x 解析：选 D 把参数方程化为普通方程得 y2 4 －x2＝1，渐近线方程为 y＝±2x. 6．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程 x＝－1－t， y＝2＋3t (t为参数)所表示的图形分别是( ) A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线 解析：选 A ∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x表示圆． ∵ x＝－1－t， y＝2＋3t， ∴y＋3x＝－1表示直线． 7．已知点 P的极坐标为(π，π)，则过点 P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) A．ρ＝π B ． ρ ＝ cos θ C ． ρ ＝ π cos θ D．ρ＝ －π cos θ 解析：选 D 设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点， 由图形知|OM|cos∠POM＝π，∴ρcos(π－θ)＝π.∴ρ＝ －π cos θ . 8．直线 l：y＋kx＋2＝0与曲线 C：ρ＝2cos θ相交，则 k满足的条件是( ) A．k≤－ 3 4 B．k≥－ 3 4 C．k∈R D．k∈R且 k≠0 解析：选 A 由题意可知直线 l 过定点(0，－2)，曲线 C 的普 通方程为 x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由图可知，直线 l与圆相切 时，有一个交点，此时 |k＋2| k2＋1 ＝1，得－k＝3 4 .若满足题意，只需－ k≥3 4 . 即 k≤－ 3 4 即可． 9．参数方程 x＝ 1＋sin θ， y＝cos2 π 4 － θ 2 (θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( ) A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分，且过点 －1，1 2 D．抛物线的一部分，且过点 1，1 2 解析：选 D 由 y＝cos2 π 4 － θ 2 ＝ 1＋cos π 2 －θ 2 ＝ 1＋sin θ 2 ，可得 sin θ＝2y－1，由 x＝ 1＋sin θ得 x2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程 x2＝2y， 又 x＝ 1＋sin θ∈[0， 2]．∴表示抛物线的一部分，且过点 1，1 2 . 10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π 3 ，ρcos θ＋ρsin θ＝1 围成的图形的面积为 ( ) A.1 4 B.3－ 3 4 C.2－ 3 4 D.1 3 解析：选 B 三条直线的直角坐标方程依次为 y＝0，y＝ 3x，x ＋y＝1，如图所示，围成的图形为△OPQ，可得 S△OPQ＝ 1 2 |OQ|·|yP|＝ 1 2 ×1× 3 3＋1 ＝ 3－ 3 4 . 11．设曲线 C的参数方程为 x＝2＋3cos θ， y＝－1＋3sin θ (θ为参数)，直线 l的方程为 x－3y＋2＝0， 则曲线 C上到直线 l的距离为 7 10 10 的点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B 曲线 C 的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，3 为半径的圆，其中圆心(2，－1)到直线 x－3y＋2＝0 的距离 d＝ |2＋3＋2| 10 ＝ 7 10 10 且 3－ 7 10 10 <7 10 10 ，故过圆心且与 l平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点． 12．已知直线 x＝2－tsin 30°， y＝－1＋tsin 30° (t为参数)与圆 x2＋y2＝8相交于 B、C两点，O为原 点，则△BOC的面积为( ) A．2 7 B. 30 C. 15 2 D. 30 2 解析：选 C x＝2－tsin 30°， y＝－1＋tsin 30° ⇒ x＝2－1 2 t＝2－ 2 2 t′， y＝－1＋1 2 t＝－1＋ 2 2 t′ (t′为参数)． 代入 x2＋y2＝8，得 t′2－3 2t′－3＝0， ∴|BC|＝|t′1－t′2|＝ t′1＋t′22－4t′1t′2＝ 3 22＋4×3＝ 30， 弦心距 d＝ 8－30 4 ＝ 2 2 ，S△BCO＝ 1 2 |BC|·d＝ 15 2 . 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分) 13．将参数方程 x＝a 2 t＋1 t ， y＝b 2 t－1 t (t为参数)转化成普通方程为________． 解析：参数方程变为 2x a ＝t＋1 t ， 2y b ＝t－1 t ， ∴ 2x2 a2 － 2y2 b2 ＝4，∴ x2 a2 － y2 b2 ＝1. 答案： x2 a2 － y2 b2 ＝1 14．在极坐标中，直线ρsin θ＋π 4 ＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 解析：直线ρsin θ＋π 4 ＝2可化为 x＋y－2 2＝0，圆ρ＝4可化为 x2＋y2＝16，由圆中的 弦长公式，得 2 r2－d2＝2 42－ 2 2 2 2＝4 3. 答案：4 3 15．(广东高考)已知曲线 C的参数方程为 x＝ 2cos t， y＝ 2sin t (t为参数)，C在点(1,1)处的切 线为 l，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为 ________． 解析：曲线 C 的普通方程为：x2＋y2＝ ( 2 cos t)2＋( 2 sin t)2＝2(cos2t＋sin2t)＝2，由 圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线 l，从而 l的斜率为－1，由点斜式可 得直线 l的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，可得 l的极坐标 方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0. 答案：ρsin θ＋π 4 ＝ 2 16．(重庆高考)在直角坐标系 xOy中，以原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4 的直线与曲线 x＝t2， y＝t3 (t为参数)相交于 A，B两点，则|AB| ＝________. 解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为 x＝4，① x＝t2， y＝t3 化为普通方程为 y2＝x3，② ①②联立得 A(4,8)，B(4，－8)， 故|AB|＝16. 答案：16 三、解答题(本大题共 6小题，满分 70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17．(本小题满分 10分)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为 x＝2cos α， y＝2＋2sin α (α 为参数)，M是 C1上的动点，P点满足 OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2的方程； (2)在以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π 3 与 C1的异于极点的交 点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求|AB|. 解：(1)设 P(x，y)，则由条件知M x 2 ， y 2 .由于M点在 C1上，所以 x 2 ＝2cos α， y 2 ＝2＋2sin α， 即 x＝4cos α， y＝4＋4sin α. 从而 C2的参数方程为 x＝4cos α， y＝4＋4sin α. (α为参 数) (2)曲线 C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线 C2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ. 射线θ＝π 3 与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin π 3 ，射线θ＝π 3 与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin π 3 .所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3. 18．(江苏高考)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x＝t＋1， y＝2t (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 x＝2tan2θ， y＝2tan θ (θ为参数)．试求直线 l 和曲 线 C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 解：因为直线 l的参数方程为 x＝t＋1， y＝2t (t为参数)，由 x＝t＋1，得 t＝x－1，代入 y ＝2t，得到直线 l的普通方程为 2x－y－2＝0. 同理得到曲线 C的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组 y＝2x－1， y2＝2x， 解得公共点的坐标为(2,2)， 1 2 ，－1 . 19．(福建高考)(本小题满分 12 分)已知方程 y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0， (0≤θ＜2π)． (1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线 x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长． 解：(1)证明：将方程 y2－6ysin θ－2x－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y－3sin θ)2＝2(x －4cos θ) ∴图象为抛物线． 设其顶点为(x，y)，则有 x＝4cos θ， y＝3sin θ， 消去θ得顶点轨迹是椭圆 x2 16 ＋ y2 9 ＝1. (2)联立 x＝14， y2－6ysin θ－2x－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0 消去 x，得 y2－6ysin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0. 弦长|AB|＝|y1－y2|＝4 7－2cos θ， 当 cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为 12. 20．(本小题满分 12分)曲线的极坐标方程为ρ＝ 2 1－cos θ ，过原点作互相垂直的两条直 线分别交此曲线于 A、B和 C、D四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB|＋|CD|有最小 值？并求出这个最小值． 解：由题意，设 A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)，C ρ3，θ＋π 2 ，D ρ4，θ＋3π 2 . 则|AB|＋|CD|＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4) ＝ 2 1－cos θ ＋ 2 1＋cos θ ＋ 2 1＋sin θ ＋ 2 1－sin θ ＝ 16 sin22θ . ∴当 sin22θ＝1即θ＝π 4 或θ＝3π 4 时，两条直线的倾斜角分别为 π 4 ， 3π 4 时，|AB|＋|CD|有最 小值 16. 21．(辽宁高考)(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中，以 O为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos θ－π 4 ＝2 2. (1)求 C1与 C2交点的极坐标； (2)设 P 为 C1 的圆心，Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点．已知直线 PQ 的参数方程为 x＝t3＋a， y＝b 2 t3＋1 (t∈R为参数)．求 a，b的值． 解：(1)圆 C1的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4， 直线 C2的直角坐标方程为 x＋y－4＝0. 解 x2＋y－22＝4， x＋y－4＝0， 得 x1＝0， y1＝4， x2＝2， y2＝2. 所以 C1与 C2交点的极坐标为 4，π 2 ， 2 2，π 4 . 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)由(1)可得，P点与 Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线 PQ的直角坐标方程为 x－y＋2＝0. 由参数方程可得 y＝b 2 x－ab 2 ＋1，所以 b 2 ＝1， － ab 2 ＋1＝2， 解得 a＝－1，b＝2. 22．(辽宁高考)(本小题满分 12分)将圆 x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的 2倍，得曲线 C. (1)写出 C的参数方程； (2)设直线 l：2x＋y－2＝0与 C的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l垂直的直线的极坐标方程． 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为 C上点(x，y)，依题意，得 x＝x1， y＝2y1. 由 x21＋y21＝1得 x2＋ y 2 2＝1， 即曲线 C的方程为 x2＋y2 4 ＝1. 故 C的参数方程为 x＝cos t， y＝2sin t (t为参数)． (2)由 x2＋y2 4 ＝1， 2x＋y－2＝0， 解得 x＝1， y＝0 或 x＝0， y＝2. 不妨设 P1(1,0)，P2(0,2)，则线段 P1P2的中点坐标为 1 2 ，1 ，所求直线斜率为 k＝1 2 ，于 是所求直线方程为 y－1＝1 2 x－1 2 ，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝ 3 4sin θ－2cos θ .