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  • 2021-06-11 发布

2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案:第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程

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www.ks5u.com 第8节 函数与方程 考试要求 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数的零点 ‎(1)函数零点的概念 对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.‎ ‎(2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.‎ ‎(3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0;则函数y=f(x)在(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.‎ ‎2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数 y=ax2+bx+c ‎(a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0),(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.‎ ‎2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.‎ ‎3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数f(x)=lg x的零点是(1,0).(  )‎ ‎(2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(  )‎ ‎(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(  )‎ 解析 (1)f(x)=lg x的零点是1,故(1)错.‎ ‎(2)f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件,故(2)错.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√‎ ‎2.(老教材必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f(x)‎ ‎-4‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎7‎ 在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为(  )‎ A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)‎ 解析 由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.‎ 答案 B ‎3.(新教材必修第一册P143例1改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析 由f′(x)=ex+3>0,得f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,则f(-1)·f(0)<0.因此函数f(x)有且只有一个零点.‎ 答案 B ‎4.(2020·石家庄模拟)f(x)=ex-x-2在下列哪个区间必有零点(  )‎ A.(-1,0) B.(0,1)‎ C.(1,2) D.(2,3)‎ 解析 f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,因为f(1)·f ‎(2)<0,所以f(x)在(1,2)内存在零点.‎ 答案 C ‎5.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析 2sin x-sin 2x=0,得sin x=0或cos x=1.‎ 又x∈[0,2π],由sin x=0,得x=0,π,2π.‎ 由cos x=1,得x=0,2π.‎ ‎∴f(x)=0有三个实根0,π,2π,即f(x)在[0,2π]上有三个零点.‎ 答案 B ‎6.(2020·济南质检)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是________.‎ 解析 m=-x2+2x在(0,4)上有解,‎ 又-x2+2x=-(x-1)2+1,∴y=-x2+2x在(0,4)上的值域为(-8,1],∴-80,‎ 所以g(2)·g(3)<0.‎ 故函数g(x)的零点所在区间为(2,3).‎ ‎(2)设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图象如图所示.‎ 因为f(1)=1-=-1<0,‎ f(2)=8-=7>0,‎ 所以f(1)·f(2)<0,所以x0∈(1,2).‎ 答案 (1)C (2)(1,2)‎ 规律方法 1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:‎ ‎(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.‎ ‎(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.‎ ‎2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不满足条件时,一定要综合函数性质进行分析判断.‎ ‎【训练1】 (2020·保定检测)函数f(x)=x-4的零点所在的区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)‎ 解析 函数f(x)=x-4在R上的图象连续不间断.‎ 又f(1)=1-2<0,f(2)=2-1>0,∴f(1)·f(2)<0.‎ 故函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).‎ 答案 B 考点二 确定函数零点的个数 ‎【例2】 (1)(2020·宜昌调研)已知函数f(x)= 则函数f(x)的零点个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎(2)(2020·惠州质检)函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析 (1)当x>1时,令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2.‎ 当x≤1时,令f(x)=2x-1-1=0,得x=1.‎ ‎∴函数f(x)的零点为x=1与x=2,有2个零点.‎ ‎(2)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.‎ 答案 (1)C (2)C 规律方法 函数零点个数的判断方法:‎ ‎(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点;‎ ‎(2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;‎ ‎(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.‎ ‎【训练2】 (1)(一题多解)函数f(x)=的零点个数为(  )‎ A.3 B.2 C.1 D.0‎ ‎(2)函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内(  )‎ A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 解析 (1)法一  由f(x)=0得或解得x=-2或x=e.‎ 因此函数f(x)共有2个零点.‎ 法二 函数f(x)的图象如所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.‎ ‎ (2)当x∈(0,1]时,因为f′(x)=+sin x,>0,sin x>0,所以f′(x)>0,故f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=-1<0,f(1)=1-cos 1>0,所以f(x)在[0,1]内有唯一零点.当x ‎>1时,f(x)=-cos x>0,故函数f(x)在[0,+∞)上有且仅有一个零点.‎ 答案 (1)B (2)B 考点三 函数零点的应用 多维探究 角度1 根据函数零点个数求参数 ‎【例3-1】 (2020·九江联考)已知f(x)= 若关于x的方程a=f(x)恰有两个不同实根,则实数a的取值范围是(  )‎ A.∪[1,2) B.∪[1,2)‎ C.(1,2) D.[1,2)‎ 解析 依题意直线y=a与y=f(x)的图象有两个交点.‎ 作出y=a,y=f(x)的图象,如图所示.‎ 又当x≤1时,f(x)=∈(0,1];‎ 当x>1时,f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,‎ ‎∴当x=2时,f(x)有最大值f(2)=2.‎ 结合图象,当a∈∪[1,2)时,两图象有2个交点.‎ 此时,方程a=f(x)有两个不同实根.‎ 答案 B 角度2 根据零点的范围求参数 ‎【例3-2】 (1)方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是________.‎ ‎(2)(2020·合肥模拟)已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 020+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是(  )‎ A.a>c>d>b B.a>b>c>d C.c>d>a>b D.c>a>b>d 解析 (1)令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5c>d>b.‎ 答案 (1)[5,10) (2)A 规律方法 1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合;(3)分离参数,转化为求函数的最值.‎ ‎2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.‎ ‎【训练3】 (1)(角度1)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(  )‎ A.- B. C. D.1‎ ‎(2)(角度2)若函数y=x+log2(a-2x)+2在R上有零点,则实数a的最小值为________.‎ 解析 (1)f(x)=(x-1)2-1+a(ex-1+e1-x),则f(2-x)=(2-x-1)2-1+a[e2-x-1+e1-(2-x)]=(1-x)2-1+a(ex-1+e1-x)=f(x),即f(x)的图象关于直线x=1对称.‎ 若f(x)有唯一的零点,则只有f(1)=0,∴a=.‎ 或:作出y=a(ex-1+e-x+1)与y=-x2+2x的图象.‎ 结合函数的最值求解(读者自行完成).‎ ‎(2)令x+log2(a-2x)+2=0,则a-2x=2-(x+2).‎ 依题意,关于x的方程a=2x+2-(x+2)有解.‎ 又2x+2-(x+2)≥2=1.‎ 当且仅当x=-1时,等号成立.‎ ‎∴a≥1,故a的最小值为1.‎ 答案 (1)C (2)1‎ 直观想象——解嵌套函数的零点问题 函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,常考查三次函数与复合函数相关零点,与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.‎ 类型1 嵌套函数零点个数的判断 ‎【例1】 已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是________.‎ 解析 由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,‎ 作出函数y=f(x)的图象如图所示.‎ 由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.‎ 因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.‎ 答案 5‎ ‎【例2】 已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ 解析 令f(x)=t,则函数F(x)可化为y=f(t)-2t-,则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)-2t-=0的根的问题.‎ 令y=f(t)-2t-=0,则f(t)=2t+.‎ 分别作出y=f(t)和y=2t+的图象,如图①,由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2(不妨设t1t1),则t1<-1,t2≥-1.‎ 当t1<-1时,t1=f(x)有一解;当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点.‎ 答案 [-1,+∞)‎ 思维升华 1.求解本题抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.‎ ‎2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.‎ A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(  )‎ A.,0 B.-2,0 C. D.0‎ 解析 当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;‎ 当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=,‎ 又因为x>1,所以此时方程无解.‎ 综上,函数f(x)的零点只有0.‎ 答案 D ‎2.若a0,‎ f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,‎ 由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.‎ 答案 A ‎3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(1,3) B.(1,2)‎ C.(0,3) D.(0,2)‎ 解析 因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,‎ 所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以00时,f(x)=3x-1有一个零点x=.‎ 因此当x≤0时,f(x)=ex+a=0只有一个实根,‎ ‎∴a=-ex(x≤0),则-1≤a<0.‎ 答案 D ‎5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是(  )‎ A. B. C.- D.- 解析 令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,‎ 所以2x2+1=x-λ,又函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,所以2x2-x+1+λ=0只有一个实根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.‎ 答案 C ‎6.已知函数f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x-1的零点依次为a,b,c,则(  )‎ A.a2或<2a≤1.‎ 解得a>1或0)的最小值为8,则实数a所在的区间是(  )‎ A.(5,6) B.(7,8) C.(8,9) 0D.(9,10)‎ 解析 由于f(x)在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数,‎ ‎∴f(x)min=f(0)=a+log2a=8.‎ 令g(a)=a+log2a-8,a>0.‎ 则g(5)=log25-3<0,g(6)=log26-2>0,‎ 又g(a)在(0,+∞)上是增函数,‎ ‎∴实数a所在的区间为(5,6).‎ 答案 A ‎14.(2019·天津卷)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(  )‎ A. B. C.∪{1} D.∪{1}‎ 解析 画出函数y=f(x)的图象,如图.‎ 方程f(x)=-x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-x+a的公共点的个数.‎ 当直线l经过点A时,有2=-×1+a,a=;‎ 当直线l经过点B时,有1=-×1+a,a=;‎ 由图可知,a∈时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.‎ 另外,当直线l与曲线y=,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.‎ 联立得=-x+a,即x2-ax+1=0,‎ 由Δ=a2-4××1=0,得a=1(舍去负根).‎ 综上,a∈∪{1}.‎ 答案 D ‎15.已知函数f(x)=ex-e-x+4,若方程f(x)=kx+4(k>0)有三个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________.‎ 解析 易知y=ex-e-x为奇函数,且其图象向上平移4个单位,得y=f(x)的图象.‎ 所以y=f(x)的图象关于点(0,4)对称,‎ 又y=kx+4过点(0,4)且关于点(0,4)对称.‎ ‎∴方程f(x)=kx+4的三个根中有一个为0,且另两根之和为0.因此x1+x2+x3=0.‎ 答案 0‎ ‎16.已知函数f(x)=若方程f(x)=kx-2有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________.‎ 解析 由题意知函数f(x)的图象与恒过定点(0,-2)的直线y=kx-2有两个交点,作出y=f(x)与y=kx-2的图象,如图所示.‎ 当直线y=kx-2过点(1,1)时,k=3.‎ 结合图象知,当k≥3时,直线与y=f(x)图象有两个交点.‎ 答案 [3,+∞)‎ C级 创新猜想 ‎17.(多填题)(2018·浙江卷)已知λ∈R,函数f(x)= ‎(1)当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是________.‎ ‎(2)若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________.‎ 解析 (1)若λ=2,当x≥2时,令x-4<0,得2≤x<4;当x<2时,令x2-4x+3<0,解得14. ‎ 答案 (1)(1,4) (2)(1,3]∪(4,+∞)‎