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- 2021-06-11 发布
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§12.4 直接证明与间接证明
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.设a=lg 2+lg 5,b=ex (x<0),则a与b大小关系为_________
2.已知抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则下列各式成立的有__________.(填序号)
①FP1+FP2=FP3
②FP+FP=FP
③2FP2=FP1+FP3
④FP=FP1·FP3
3.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意m,n∈N*都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1).给出以下三个结论:
(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26.
其中正确结论的个数为________.
4.设x、y、z>0,a=x+,b=y+,c=z+,则下列关于a、b、c三个数的结论中,正确的是__________.
①至少有一个不大于2 ②都小于2
③至少有一个不小于2 ④都大于2
5.(2010·广东深圳高级中学一模)定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:
(ⅰ)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1 则n*1=
6.如果a+b>a+b,则a、b应满足的条件是__________________.
7.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面,且直线不在平面内,下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z,则x∥y”为真命题的是________.(填写所有正确条件的代号)
①x为直线,y,z为平面;②x,y,z为平面;
③x,y为直线,z为平面;④x,y为平面,z为直线;⑤x,y,z为直线.
8.(2010·常熟一检)下面有4个命题:
①当x>0时,2x+的最小值为2;
②若双曲线-=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则双曲线的离心率为2;
③将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,可以得到函数y=sin的图象;
④在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC的外接圆半径r=;
类比到空间,若三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直,且长度分别为a、b、c,则三棱锥S—ABC的外接球的半径R=.
其中错误命题的序号为________(把你认为错误命题的序号都填上).
9.(2010·张家港模拟)设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;
④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.(填序号)
二、解答题(本大题共3小题,共46分)
10.(14分)设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:a>0且-2<< -1.
11.(16分)已知a>0,求证: -≥a+-2
12.(16分)已知a,b,c是互不相等的实数.
求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
答案
1.a>b 2.③ 3.3 4.③ 5.n 6.a≥0,b≥0且a≠b 7.①③④
8.①③ 9.③
10.证明 f(0)>0,∴c>0,
又∵f(1)>0,即3a+2b+c>0.①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式,
∴3a-2a-2c+c>0,即a-c>0,∴a>c.
∴a>c>0.又∵a+b=-c<0,∴a+b<0.
∴1+<0,∴<-1.又c=-a-b,
代入①式得,3a+2b-a-b>0,∴2a+b>0,
∴2+>0,∴>-2.故-2<<-1.
11.证明 要证 -≥a+-2,
只要证 +2≥a++.
∵a>0,故只要证2≥2,
即a2++4+4≥a2+2++2+2,
从而只要证2≥,
只要证4≥2,即a2+≥2,
而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
12.证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点),
由y=ax2+2bx+c,
y=bx2+2cx+a,
y=cx2+2ax+b,
得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,
Δ3=(2a)2-4bc≤0.
上述三个同向不等式相加得,
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,
∴a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾,
因此假设不成立,从而命题得证.