算法的概念教案1 6页

‎ ‎ ‎§1.1.1 算法的概念 珠海市斗门和风中学 邝国均 ‎【教学目标】：‎ （1） 了解算法的含义，体会算法的思想。‎ （2） 能够用自然语言叙述算法。‎ （3） 掌握正确的算法应满足的要求。‎ （4） 会写出解线性方程（组）的算法。‎ （5） 会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。‎ ‎【教学重点】算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。.‎ ‎【教学难点】把自然语言转化为算法语言。.‎ ‎【学法与教学用具】：‎ 学法：‎ ‎1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。‎ ‎2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。 3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。‎ 教学用具:计算机，TI-voyage200图形计算器 ‎【教学过程】‎ 一、本章章头图说明 章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系，它们的基础都是“算法”。‎ 算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。‎ 古代的计算工具：算筹与算盘. ‎ ‎20世纪最伟大的发明：计算机，计算机是强大的实现各种算法的工具。‎ 例1：解二元一次方程组： ‎ 分析：解二元一次方程组的主要思想是消元的思想，有代入消元和加减消元两种消元的方法，下面用加减消元法写出它的求解过程.‎ 解：第一步：② - ①×2，得： 5y=3； ③‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ 第二步：解③得 ；‎ ‎ 第三步：将代入①，得 .‎ 学生探究：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？ 老师评析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组的解的算法：‎ 例2：写出求方程组的解的算法. ‎ 解：第一步：②×a1 - ①×a2，得： ③‎ ‎ 第二步：解③得 ；‎ ‎ 第三步：将代入①，得 利用TI-voyage200图形计算器演示：（吸引学生的注意力）‎ ‎ ‎ 运行结果：‎ ‎（其中输入a1=1,b1=-2,m1=-1,a2=2‎ b2=1,m2=1，当然可输入其它数值)‎ 算法概念：‎ ‎ 在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.‎ 说明：‎ ‎1.“算法”没有一个精确化的定义，教科书只对它作了描述性的说明.‎ ‎2. 算法的特点:‎ ‎(1)有限性：‎ 一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.‎ ‎(2)确定性：‎ 6‎ ‎ ‎ 算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.‎ ‎(3)顺序性与正确性：‎ 算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.‎ ‎(4)不唯一性：‎ 求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.‎ ‎(5)普遍性：‎ 很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.‎ 例题讲评：‎ 例3、任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.‎ 分析：（1）质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.‎ ‎（2）要判断一个大于1的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数.‎ 解：算法：‎ 第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数；若n＞2，则执行第二步.‎ 第二步：依次从2~（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数.若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.‎ 说明：本算法是用自然语言的形式描述的.设计算法一定要做到以下要求：‎ ‎（1）写出的算法必须能解决一类问题，并且能够重复使用.‎ ‎（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少.‎ ‎（3）要保证算法正确，且计算机能够执行.‎ 利用TI-voyage200图形计算器演示：(学生已经被吸引住了)‎ 运行 ‎ ‎ 例4、.用二分法设计一个求方程的近似根的算法.‎ 分析：该算法实质是求的近似值的一个最基本的方法.‎ 解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：‎ 第一步：令.因为，所以设x1=1，x2=2.‎ 第二步：令，判断f（m）是否为0.若是，则m为所求；若否，则继续判断大于0还是小于0.‎ 第三步：若，则x1=m；否则，令x2=m.‎ 6‎ ‎ ‎ 第四步：判断是否成立？若是，则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步.‎ 说明：按以上步骤，我们将依次得到课本第4页的表1-1和图1.1-1.于是，开区间（1.4140625，1.41796875）中的实数都满足假设条件的原方程是近似根.‎ 利用TI-voyage200图形计算器演示：‎ ‎ ‎ 运行结果：‎ 练习1：‎ 写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法。‎ 解：算法1：‎ 第一步：移项，得x2－2x－3＝0； ①‎ 第二步：①式两边同加1并配方，得（x－1）2＝4； ②‎ 第三步：②式两边开方，得x－1＝±2； ③‎ 第四步：解③得x＝3或x＝－1。‎ 算法2：‎ 第一步：计算方程的判别式判断其符号△＝22＋4×3＝16＞0；‎ 第二步：将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，‎ 得x1＝3，x2＝－1‎ 评析：比较两种算法，算法2更简单，步骤少，所以利用公式解决问题是最理想、合算的算法。因此在寻求算法的过程中，首先是利用公式。‎ 下面设计一个求一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的算法如下：‎ 第一步：计算△＝b2＋4ac；‎ 第二步：若△＜0；‎ 第三步：输出方程无实根；‎ 第四步：若△≥0；‎ 6‎ ‎ ‎ 第五步：计算并输出方程根x1,2＝。‎ 练习2、求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。 第一步，先求1×3，得到结果3； 第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15； 第三步，再将15乘以7，得到结果105； 第四步，再将105乘以9，得到945； 第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。‎ 评析：求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用；算法过程要能一步一步地执行，每一步操作必须确切，能在有限步后得出结果。‎ 练习3、有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题。‎ 分析：由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换。‎ 解：算法步骤如下：‎ 第一步：取一只空的墨水瓶，设其为白色；‎ 第二步：将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；‎ 第三步：将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；‎ 第四步：将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；‎ 第五步：交换结束。‎ 评析：对于这种非数值性问题的算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法。‎ 小结 ‎1、算法概念和算法的基本思想 ‎（1）算法与一般意义上具体问题的解法的联系与区别；‎ ‎（2）算法的五个特征。‎ ‎2、利用算法的思想和方法解决实际问题，能写出一此简单问题的算法 ‎3、两类算法问题 ‎（1）数值性计算问题，如：解方程（或方程组），解不等式（或不等式组），套用公式判断性的问题，累加，累乘等一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助一般数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化即可。‎ ‎（2）非数值性计算问题，如：排序、查找、变量变换、文字处理等需先建立过程模型，通过模型进行算法设计与描述。‎ ‎4、利用TI-voyage200图形计算器演示时，开始学生看，想，探究，然后模范、创新。图形计算器为学生创建一个自我发挥的平台。‎ 作业： （课本第4页练习）‎ 6‎ ‎ ‎ ‎1、任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.‎ 解：算法步骤：‎ 第一步：输入任意一个正实数r；‎ 第二步：计算以r为半径的圆的面积：；‎ 第三步：输出圆的面积S.‎ ‎2、任意给定一个大于1的正整数n，设计一个算法求出n的所有因数.‎ 解：算法步骤：‎ 第一步：依次以2～（n-1）为除数去除n，检查余数是否为0.若是，则是n的因数；若不是，则不是n的因数；‎ 第二步：在n的因数中加入1和n；‎ 第三步：输出n的所有因数.‎ 利用TI-voyage200图形计算器演示：‎ ‎ ‎ 运行结果：‎ ‎（即32的公因数为1，2，4，8，16，32）‎ 6‎