高科数学专题复习课件：第二章 2_1函数及其表示 54页

§2.1 　 函数及其表示 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 函数与映射 知识梳理   函数 映射 两集合 A 、 B 设 A ， B 是两个非 空 ____ 设 A ， B 是两个非 空 ____ 对应关系 f ： A → B 如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中 的 一 个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中 的 一 个元素 x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 数集 集合 任意 任意 名称 称 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数 称对应 f ： A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 对应 f ： A → B 是一个映射 f ： A → B (1) 函数的定义域、值域 在函数 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数 的 ； 与 x 的值相对应的 y 值 叫做 ， 函数值的集合 { f ( x )| x ∈ A } 叫做函数 的 . (2) 函数的三要素 ： 、 和 . (3) 函数的表示法 表示函数的常用方法 有 、 和 . 2. 函数的有关概念 定义域 函数值 值域 定义域 对应关系 值域 解析法 图象法 列表法 若函数在其定义域的不同子集上， 因 不同 而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 . 分段函数的定义域等于各段函数的定义域 的 ， 其值域等于各段函数的值域 的 ， 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 . 3. 分段函数 对应关系 并集 并集 求函数定义域常见结论： (1) 分式的分母不为零； (2) 偶次根式的被开方数不小于零； (3) 对数函数的真数必须大于零； (4) 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 ； (5) 正切函数 y ＝ tan x ， x ≠ k π ＋ ( k ∈ Z ) ； (6) 零次幂的底数不能为零； (7) 实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 对于函数 f ： A → B ，其值域是集合 B .( 　　 ) (2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数 .( 　　 ) (3) 映射是特殊的函数 .( 　　 ) (4) 若 A ＝ R ， B ＝ { x | x >0} ， f ： x → y ＝ | x | ，其对应是从 A 到 B 的映射 .( 　　 ) (5) 分段函数是由两个或几个函数组成的 .( 　　 ) 思考辨析 × × × × × 考点自测 答案 解析 2.( 教材改编 ) 若函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 M ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 2} ，值域为 N ＝ { y |0 ≤ y ≤ 2} ，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象可能 是 答案 解析 A 中函数的定义域不是 [ － 2,2] ， C 中图象不表示函数， D 中函数值域不是 [0,2] ，故选 B. 3.(2016· 全国甲卷 ) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y ＝ 10 lg x 的定义域和值域相同的 是 A. y ＝ x B. y ＝ lg x C. y ＝ 2 x D. y ＝ 答案 解析 函数 y ＝ 10 lg x 的定义域为 { x | x >0} ，值域为 { y | y >0} ， 所以与其定义域和值域分别相同的函数为 y ＝ ， 故选 D. 4. 设函数 f ( x ) ＝ 则 f ( － 2) ＋ f (log 2 12) 等于 A.3 B.6 C.9 D.12 答案 解析 因为－ 2 ＜ 1 ， log 2 12 ＞ log 2 8 ＝ 3 ＞ 1 ， 所以 f ( － 2) ＝ 1 ＋ log 2 [ 2 － ( － 2) ] ＝ 1 ＋ log 2 4 ＝ 3 ， 故 f ( － 2) ＋ f (log 2 12) ＝ 3 ＋ 6 ＝ 9 ，故选 C. 5. 设 f ( x ) ＝ 若 f (2) ＝ 4 ，则 a 的取值范围为 ____ _ _____. ( － ∞ ， 2] 因为 f (2) ＝ 4 ，所以 2 ∈ [ a ，＋ ∞ ) ，所以 a ≤ 2 ， 则 a 的取值范围为 ( － ∞ ， 2 ] . 答案 解析 几何画板展示 题型分类　深度剖析 题型一　函数的概念 例 1 　 有以下判断： 答案 解析 ② 函数 y ＝ f ( x ) 的图象与直线 x ＝ 1 的交点最多有 1 个； ③ f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 1 与 g ( t ) ＝ t 2 － 2 t ＋ 1 是同一函数； 其中正确判断的序号是 ________. ②③ 对于 ① ，由于函数 f ( x ) ＝ 的 定义域为 { x | x ∈ R 且 x ≠ 0} ， 而函数 g ( x ) ＝ 的 定义域是 R ， 所以二者不是同一函数； 对于 ② ，若 x ＝ 1 不是 y ＝ f ( x ) 定义域内的值， 则直线 x ＝ 1 与 y ＝ f ( x ) 的图象没有交点，如果 x ＝ 1 是 y ＝ f ( x ) 定义域内的值， 由函数定义可知，直线 x ＝ 1 与 y ＝ f ( x ) 的图象只有一个交点，即 y ＝ f ( x ) 的图象与直线 x ＝ 1 最多有一个交点； 对于 ③ ， f ( x ) 与 g ( t ) 的定义域、值域和对应关系均相同， 所以 f ( x ) 和 g ( t ) 表示同一函数； 综上可知，正确的判断是 ②③ . 思维 升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数 . 值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的 ( 判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 ). 跟踪训练 1 　 (1) 下列所给图象是函数图象的个数 为 答案 解析 A.1 B.2 C.3 D.4 ① 中当 x >0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象， ② 中当 x ＝ x 0 时， y 的值有两个，因此不是函数图象， ③④ 中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象，故选 B. (2) 下列各组函数中，表示同一个函数的 是 答案 解析 A. y ＝ x － 1 和 y ＝ B. y ＝ x 0 和 y ＝ 1 C. f ( x ) ＝ x 2 和 g ( x ) ＝ ( x ＋ 1) 2 A 中两个函数的定义域不同； B 中 y ＝ x 0 的 x 不能取 0 ； C 中两函数的对应关系不同 . 故选 D. 题型二　函数的定义域问题 命题点 1 　求函数的定义域 答案 解析 A.( － 3,0] B .( － 3,1] C.( － ∞ ，－ 3) ∪ ( － 3,0] D.( － ∞ ，－ 3) ∪ ( － 3,1] 由题意 得 解 得－ 3 ＜ x ≤ 0. 所以函数 f ( x ) 的定义域为 ( － 3,0]. (2) 若函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 [ 0,2 ] ，则函数 g ( x ) ＝ 的 定义域是 ______. 答案 解析 由 0 ≤ 2 x ≤ 2 ，得 0 ≤ x ≤ 1 ， 又 x － 1 ≠ 0 ，即 x ≠ 1 ， 所以 0 ≤ x ＜ 1 ，即 g ( x ) 的定义域为 [0,1). [0,1) 引申 探究 本 例 ( 2) 中，若将 “ 函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 [0,2] ” 改为 “ 函数 y ＝ f ( x ＋ 1) 的定义域为 [0,2] ” ，则函数 g ( x ) ＝ 的 定义域为 ________________. 答案 解析 由函数 y ＝ f ( x ＋ 1) 的定义域为 [0,2] ， 得函数 y ＝ f ( x ) 的定义域为 [1,3] ， 命题点 2 　已知函数的定义域求参数范围 答案 解析 例 3 　 (1) 若 函数 的 定义域为 R ，则 a 的取值范围为 _______. [ － 1,0 ] 因为函数 f ( x ) 的定义域为 R ， 所以 对 x ∈ R 恒成立， 即 恒 成立， 因此有 Δ ＝ (2 a ) 2 ＋ 4 a ≤ 0 ，解得－ 1 ≤ a ≤ 0. (2) 若函数 y ＝ 的 定义域为 R ，则实数 a 的取值范围是 _____. 答案 解析 [0,3) 因为函数 y ＝ 的 定义域为 R ， 所以 ax 2 ＋ 2 ax ＋ 3 ＝ 0 无实数解， 即函数 y ＝ ax 2 ＋ 2 ax ＋ 3 的图象与 x 轴无交点 . 当 a ＝ 0 时，函数 y ＝ 3 的图象与 x 轴无交点； 当 a ≠ 0 时，则 Δ ＝ (2 a ) 2 － 4·3 a <0 ，解得 0< a <3. 综上所述， a 的取值范围是 [0,3). 思维 升华 (1) 求给定函数的定义域往往转化为解不等式 ( 组 ) 的问题，在解不等式 ( 组 ) 取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍 . (2) 求抽象函数的定义域： ① 若 y ＝ f ( x ) 的定义域为 ( a ， b ) ，则解不等式 a < g ( x )< b 即可求出 y ＝ f ( g ( x )) 的定义域； ② 若 y ＝ f ( g ( x )) 的定义域为 ( a ， b ) ，则求出 g ( x ) 在 ( a ， b ) 上的值域即得 f ( x ) 的定义域 . (3) 已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解 . 跟踪训练 2 　 (1) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [3,6] ，则函数 的 定义域 为 答案 解析 要使 函数 有 意义， (2) 若函数 y ＝ 的 定义域为 R ，则实数 m 的取值范围 是 答案 解析 要使函数的定义域为 R ，则 mx 2 ＋ 4 mx ＋ 3 ≠ 0 恒成立 . ① 当 m ＝ 0 时，得到不等式 3 ≠ 0 ，恒成立； ② 当 m ≠ 0 时，要使不等式恒成立， 题型三　求函数解析式 答案 解析 例 4 　 (1) 已知 f ( ＋ 1) ＝ lg x ，则 f ( x ) ＝ ____ ___ ____. (2) 已知 f ( x ) 是一次函数，且满足 3 f ( x ＋ 1) － 2 f ( x － 1) ＝ 2 x ＋ 17 ，则 f ( x ) ＝ ________. 答案 解析 ( 待定系数法 ) 设 f ( x ) ＝ ax ＋ b ( a ≠ 0) ， 则 3 f ( x ＋ 1) － 2 f ( x － 1) ＝ 3 ax ＋ 3 a ＋ 3 b － 2 ax ＋ 2 a － 2 b ＝ ax ＋ 5 a ＋ b ， 即 ax ＋ 5 a ＋ b ＝ 2 x ＋ 17 ，不论 x 为何值都成立， ∴ f ( x ) ＝ 2 x ＋ 7. 2 x ＋ 7 答案 解析 ( 消去法 ) 思维 升华 函数解析式的求法 (1) 待定系数法：若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函数 ) ，可用待定系数法； (2) 换元法：已知复合函数 f ( g ( x )) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3) 配凑法：由已知条件 f ( g ( x )) ＝ F ( x ) ，可将 F ( x ) 改写成关于 g ( x ) 的表达式，然后以 x 替代 g ( x ) ，便得 f ( x ) 的解析式； (4) 消去法：已知 f ( x ) 与 f 或 f ( － x ) 之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f ( x ). ∴ f ( t ) ＝ t 2 ＋ 2 ， ∴ f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2. 解答 (2) 已知一次函数 f ( x ) 满足 f ( f ( x )) ＝ 4 x － 1 ，求 f ( x ) ； 解答 设 f ( x ) ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) ，则 f ( f ( x )) ＝ k 2 x ＋ kb ＋ b ， (3) 已知 f ( x ) ＋ 3 f ( － x ) ＝ 2 x ＋ 1 ，求 f ( x ). 解答 以－ x 代替 x 得 f ( － x ) ＋ 3 f ( x ) ＝－ 2 x ＋ 1 ， ∴ f ( － x ) ＝－ 3 f ( x ) － 2 x ＋ 1 ， 典例 　 (1) 已知实数 a ≠ 0 ，函数 f ( x ) ＝ 若 f (1 － a ) ＝ f (1 ＋ a ) ，则 a 的值为 ______. 分类 讨论思想在函数中的应用 思想与方法系列 2 (2)(2015· 山东 ) 设函数 f ( x ) ＝ 则 满足 f ( f ( a )) ＝ 2 f ( a ) 的 a 的取值范围 是 思想方法指 导 答案 解析 几何画板展示 (1) 求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2) 当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围 . 返回 (1) 当 a >0 时， 1 － a <1,1 ＋ a >1 ， 由 f (1 － a ) ＝ f (1 ＋ a ) ，可得 2(1 － a ) ＋ a ＝－ (1 ＋ a ) － 2 a ， 解得 a ＝－ ， 不合题意 . 当 a <0 时， 1 － a >1,1 ＋ a <1 ， 由 f (1 － a ) ＝ f (1 ＋ a ) ， 可得 － (1 － a ) － 2 a ＝ 2(1 ＋ a ) ＋ a ，解得 a ＝－ ， 符合题意 . (2) 由 f ( f ( a )) ＝ 2 f ( a ) ，得 f ( a ) ≥ 1. 当 a ≥ 1 时，有 2 a ≥ 1 ， ∴ a ≥ 0 ， ∴ a ≥ 1. 返回 课时作业 1. 下列各组函数中，表示同一函数的 是 答案 解析 C. y ＝ x 0 ( x ≠ 0) 与 y ＝ 1( x ≠ 0) D. y ＝ 2 x ＋ 1 ， x ∈ Z 与 y ＝ 2 x － 1 ， x ∈ Z √ A 项中两函数的定义域不同； B 项， D 项中两函数的对应关系不同，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 函数 f ( x ) ＝ 的 定义域 为 A. [1,10] B . [1,2) ∪ (2,10] C.(1,10] D .(1,2) ∪ (2,10] √ 答案 解析 要使函数 f ( x ) 有意义， 解得 1< x <2 或 2< x ≤ 10 ， 所以函数 f ( x ) 的定义域为 (1,2) ∪ (2,10]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 若二次函数 g ( x ) 满足 g (1) ＝ 1 ， g ( － 1) ＝ 5 ，且图象过原点，则 g ( x ) 的解析式 为 A. g ( x ) ＝ 2 x 2 － 3 x B. g ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 x C. g ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 x D. g ( x ) ＝－ 3 x 2 － 2 x √ 答案 解析 ( 待定系数法 ) 设 g ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ， ∵ g (1) ＝ 1 ， g ( － 1) ＝ 5 ，且图象过原点， ∴ g ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 x ，故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.( 2017· 武汉 调 研 ) 函数 f ( x ) ＝ 满足 f (1) ＋ f ( a ) ＝ 2 ，则 a 所有可能的值为 √ 答案 解析 ∵ f (1) ＝ e 1 － 1 ＝ 1 且 f (1) ＋ f ( a ) ＝ 2 ， ∴ f ( a ) ＝ 1 ，当－ 1< a <0 时， f ( a ) ＝ sin(π a 2 ) ＝ 1 ， ∵ 0< a 2 <1 ， ∴ 0<π a 2 <π ， 当 a ≥ 0 时， f ( a ) ＝ e a － 1 ＝ 1 ⇒ a ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(2016· 安徽六校联考 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x | x | ，若 f ( x 0 ) ＝ 4 ，则 x 0 的值 为 A. － 2 B.2 C . － 2 或 2 D. √ 答案 解析 当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ x 2 ， f ( x 0 ) ＝ 4 ， 即 ＝ 4 ，解得 x 0 ＝ 2. 当 x <0 时， f ( x ) ＝－ x 2 ， f ( x 0 ) ＝ 4 ， 即 － ＝ 4 ，无解，所以 x 0 ＝ 2 ，故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 *6.(2016· 唐山期末 ) 已知 f ( x ) ＝ 的 值域为 R ，那么 a 的取值范围是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 ∴ y ＝ f ( x ) 的定义域为 [ － 1,2]. [ － 1,2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 设函数 则 使得 f ( x ) ≤ 2 成立的 x 的取值范围是 ________. 答案 解析 ( － ∞ , 8] 当 x <1 时，由 e x － 1 ≤ 2 得 x ≤ 1 ＋ ln 2 ， ∴ x <1 ； 当 x ≥ 1 时，由 得 x ≤ 8 ， ∴ 1 ≤ x ≤ 8. 综上，符合题意的 x 的取值范围是 x ≤ 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2015· 浙江 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 则 f ( f ( － 3)) ＝ ________ ， f ( x ) 的最小值是 ________. 答案 解析 ∵ f ( － 3) ＝ lg [ ( － 3) 2 ＋ 1 ] ＝ lg 10 ＝ 1 ， ∴ f ( f ( － 3)) ＝ f (1) ＝ 0 ， 当 x ＜ 1 时， f ( x ) ＝ lg( x 2 ＋ 1) ≥ lg 1 ＝ 0 ，当且仅当 x ＝ 0 时，取等号 ， 此时 f ( x ) min ＝ 0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 *10. 具有性质： f ＝－ f ( x ) 的函数，我们称为满足 “ 倒负 ” 变换的函数，下列函数： 答案 解析 其中满足 “ 倒负 ” 变换的函数是 ________. ①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 综上可知，满足 “ 倒负 ” 变换的函数是 ①③ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知 f ( x ) 是二次函数，若 f (0) ＝ 0 ，且 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x ) ＋ x ＋ 1 ，求函数 f ( x ) 的解析式 . 解答 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，又 f (0) ＝ 0 ， ∴ c ＝ 0 ，即 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx . 又 ∵ f ( x ＋ 1) ＝ f ( x ) ＋ x ＋ 1 . ∴ a ( x ＋ 1) 2 ＋ b ( x ＋ 1) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ x ＋ 1. ∴ (2 a ＋ b ) x ＋ a ＋ b ＝ ( b ＋ 1) x ＋ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若 f ( a ) ＝ 4 且 a >0 ，求实数 a 的值 . 解答