浙江专版2019-2020学年高中数学课时跟踪检测四导数的运算法则新人教A版选修2-2 5页

课时跟踪检测（四） 导数的运算法则 A级——学考水平达标 ‎1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　 B. C．－1 D．0‎ 解析：选A　∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，‎ 又∵f′(1)＝‎2a，∴‎2a＝2，∴a＝1.‎ ‎2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选D　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，‎ ‎∴y′＝4.‎ ‎3．函数y＝(2 018－8x)8的导数为(　　)‎ A．y′＝8(2 018－8x)7 B．y′＝－64x C．y′＝64(8x－2 018)7 D．y′＝64(2 018－8x)7‎ 解析：选C　y′＝8(2 018－8x)7·(2 018－8x)′‎ ‎＝－64(2 018－8x)7＝64(8x－2 018)7.‎ ‎4．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0‎ C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0‎ 解析：选C　设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，‎ 则f′(x)＝2cos x－sin x，‎ ‎∴f′(π)＝－2，‎ ‎∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.‎ ‎5．设曲线f(x)＝ax－ln(x＋1)在点(1，f(1))处的切线与y＝x平行，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选B　f′(x)＝a－，由题意得f′(1)＝，‎ 即a－＝，所以a＝1.‎ ‎6．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．‎ 5‎ 解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.‎ 答案：x－y＋1＝0‎ ‎7．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f′＝________，f＝________.‎ 解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，‎ ‎∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.‎ ‎∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x．∴f＝1.‎ 答案：－1　1‎ ‎8．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.‎ 解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，‎ 所以f′＝sin＋cos＝1.‎ 又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，‎ 所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝－ln x；　(2)y＝(x2＋1)(x－1)；‎ ‎(3)y＝；　 　 (4)y＝；‎ ‎(5)y＝x；　(6)y＝cos x·sin 3x.‎ 解：(1)y′＝(－ln x)′‎ ‎＝()′－(ln x)′＝－.‎ ‎(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′‎ ‎＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′‎ ‎＝3x2－2x＋1.‎ ‎(3)y′＝ 5‎ ‎＝.‎ ‎(4)y′＝＝.‎ ‎(5)y′＝ ＋x[(1＋x2)]′‎ ‎＝＋x··(1＋x2)－(1＋x2)′‎ ‎＝＋x··(1＋x2)－·2x ‎＝＋＝.‎ ‎(6)y′＝(cos x)′·sin 3x＋cos x·(sin 3x)′‎ ‎＝－sin x·sin 3x＋cos x·cos 3x·(3x)′‎ ‎＝－sin x·sin 3x＋3cos x·cos 3x.‎ ‎10．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．‎ 解：f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，‎ 设两曲线的交点为P(x0，y0)，‎ 则解得a＝，x0＝e2，‎ 所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)．‎ 切线的斜率为k＝f′(e2)＝，‎ 所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，‎ 即x－2ey＋e2＝0.‎ B级——高考能力达标 ‎1．函数y＝sin x(cos x＋1)的导数是(　　)‎ A．cos 2x－cos x　　　　　 B．cos 2x＋sin x C．cos 2x＋cos x D．cos2x＋cos x 解析：选C　y′＝(sin x)′(cos x＋1)＋sin x(cos x＋1)′‎ ‎＝cos x(cos x＋1)＋sin x(－sin x)‎ ‎＝cos 2x＋cos x.‎ ‎2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)‎ 5‎ A．－1 B．－2‎ C．2 D．0‎ 解析：选B　∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，‎ ‎∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.‎ ‎3．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)‎ A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1‎ C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1‎ 解析：选D　∵y′＝aex＋ln x＋1，‎ ‎∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，‎ ‎∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，‎ 即y＝(ae＋1)x－1.‎ 又∵切线方程为y＝2x＋b，‎ ‎∴即a＝e－1，b＝－1.‎ ‎4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)‎ A．－e B．1‎ C．－1 D．e 解析：选C　由题可得f′(x)＝‎2f′(1)＋，则f′(1)＝‎2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，所以选C.‎ ‎5．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.‎ 解析：由题知y1′＝，y2′＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.‎ 答案：1‎ ‎6．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：∵f(x)＝ex－mx＋1，‎ ‎∴f′(x)＝ex－m，‎ ‎∵曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，‎ ‎∴f′(x)＝ex－m＝－2成立，‎ 5‎ ‎∴m＝2＋ex>2，故实数m的取值范围是(2，＋∞)．‎ 答案：(2，＋∞)‎ ‎7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，‎ 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋‎2a＋b＝－6，‎ 解得a＝1，b＝－16.‎ ‎(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，‎ ‎∴切线的斜率k＝4.‎ 设切点的坐标为(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.‎ 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，‎ 或y0＝－1－1－16＝－18.‎ 则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎8．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2，求fn′(2)．　‎ 解：由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.‎ 所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①‎ 则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②‎ ‎①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ‎＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，‎ 所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.‎ 5‎