2019-2020学年高中数学课时跟踪检测六组合的综合应用新人教A版选修2-3 5页

课时跟踪检测（六） 组合的综合应用 A级——基本能力达标 ‎1．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　)‎ A．C·C　　　　　　 B．CC＋CC C．C－C D．C－CC 解析：选B　至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种，(2)3件次品，2件正品，共CC种，由分类加法计数原理得抽法共有CC＋CC.‎ ‎2．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选A　设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C－C＝16.即x(x－1)(x－2)＝6×5×4－16×6＝4×3×2.∴x＝4，即女生有2人．‎ ‎3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)‎ A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 解析：选A　法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有CC种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有CC种．故选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．‎ 法二：从7门选修课中选修3门的选法有C种，其中3门课都为A类的选法有C种，都为B类的选法有C种，故选法共有C－C－C＝30(种)．‎ ‎4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)‎ A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 解析：选D　从7人中选4人，共有C＝35种选法，4人全是男生的选法有C＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.‎ ‎5．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是(　　)‎ A．24 B．48‎ C．72 D．96‎ 解析：选B　据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA 5‎ 种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有AA＋AACC＝48种摆放方法．‎ ‎6．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种．‎ 解析：把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36种保送方案．‎ 答案：36‎ ‎7．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)‎ 解析：当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.‎ 答案：336‎ ‎8．平面内有10个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，则从中任取2点，可以构成的不同的直线的条数为________；从中任取3点，能够构成的不同的三角形的个数为________．‎ 解析：构成直线的情况是，第一类，从不共线的6点中任取2点，可以构成C＝15条不同的直线；第二类，从共线的4点中任取一点，不共线的6点中任取一点，可以构成CC＝24条不同的直线；第三类，从共线的4点中任取2点，构成1条直线，所以满足条件的不同的直线有15＋24＋1＝40条．‎ 构成三角形的情况是，第一类，从不共线的6点中任取3点，可以构成C＝20个不同的三角形；第二类，从不共线的6点中任取2点，共线的4点中任取1点，可以构成CC＝60个不同的三角形；第三类，从不共线的6点中任取1点，共线的4点中任取2点，可以构成CC＝36个不同的三角形．所以满足条件的三角形的个数为20＋60＋36＝116.‎ 答案：40　116‎ ‎9．(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？‎ ‎(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？‎ 解：(1)正方体8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体C－12＝58个．‎ ‎(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥‎12C＝48个．‎ ‎10．某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选法？‎ 解：分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC＝75(种)；‎ 5‎ 第二类，选的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC＝100(种)；‎ 第三类，选的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC＝10(种)．‎ 由分类加法计数原理，得不同的选法共有75＋100＋10＝185(种)．‎ B级——综合能力提升 ‎1．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有(　　)‎ A．C种　　　　　　 B．A种 C．AA种 D．CC种 解析：选D　每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：‎ 第一步，选女工，有C种选法；‎ 第二步，选男工，有C种．‎ 故有CC种不同选法．‎ ‎2．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为(　　)‎ A．135 B．172‎ C．189 D．162‎ 解析：选C　不考虑特殊情况，共有C种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有CC种取法．‎ 所求取法种数为C－4－CC＝189.‎ ‎3．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为(　　)‎ A．76 B．78‎ C．81 D．84‎ 解析：选A　如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C－8＝76.‎ ‎4．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是(　　)‎ A．甲多 B．乙多 C．一样多 D．不确定 解析：选C　两只是同色手套的取法有C＋C＝150(种)；两只不是同色手套的取法有C·C＝150(种)．‎ 5‎ ‎5．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．‎ 解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有CCA＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有CCA＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．‎ 答案：48‎ ‎6．某校开设9门课程供学生选修，其中3门课程由于上课时间相同，至多选1门，学校规定每位同学选修4门，则共有________种不同的选修方案．‎ 解析：分两类：第一类，从6门不同时上课的课程中任选4门，有C种选法；第二类，在不同时上课的6门课程中选3门，再从3门同时上课的课程中选1门，有C×C种选法．所以不同的选修方案共有C＋C×C＝75(种)．‎ 答案：75‎ ‎7．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：‎ ‎(1)能组成多少个不同的四位数？‎ ‎(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？‎ ‎(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．‎ 解：(1)易知四位数共有CCA＝216(个)．‎ ‎(2)上述四位数中，偶数排在一起的有CCAA＝108(个)．‎ ‎(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．‎ ‎8．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？‎ 解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：‎ ‎(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个．‎ ‎(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个．‎ ‎(3)0和1都不取，有不同的三位数C·23·A个．‎ 综上所述，共有不同的三位数：C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)．‎ 法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C·23·A个，其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C·23·A－C·22·A＝432(个)．‎ 5‎ 5‎