人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1-1-1-1-3三个正数的算术—几何平均不等式word版含解析 6页

第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若实数 x，y 满足 xy＞0，且 x2y＝2，则 xy＋x2 的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解 析 ： xy ＋ x2 ＝ 1 2 xy ＋ 1 2 xy ＋ x2 ≥ 3 3 1 2xy·1 2xy·x2 ＝ 3 3 1 4 （x2y）2＝3 3 4 4 ＝3，当且仅当 1 2xy＝x2，即 x＝1 时，等号成立． 答案：C 2．若 a＞b＞0，则 a＋ 1 b（a－b）的最小值为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为 a＋ 1 b（a－b）＝(a－b)＋b＋ 1 b（a－b）≥ 3 3 （a－b）·b· 1 b（a－b）＝3，当且仅当 a＝2，b＝1 时取等号， 所以 a＋ 1 b（a－b）的最小值为 3. 答案：D 3．设 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝6，则 lg x＋lg x＋lg z 的取值范 围是( ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．lg 6，＋∞) D．3lg 2，＋∞) 解析：因为 lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而 xyz≤ x＋y＋z 3 3 ＝23， 所以 lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当 x＝y＝z＝2 时，取 等号． 答案：B 4．已知 x＋2y＋3z＝6，则 2x＋4y＋8z 的最小值为( ) A．33 6 B．2 2 C．12 D． 123 5 解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3 3 26＝12. 当且仅当 x＝2y＝3z＝2 时等号成立． 答案：C 5．若 logxy＝－2，则 x＋y 的最小值是( ) A.33 2 2 B.23 3 3 C.3 3 2 D.2 2 3 解析：当 logxy＝－2，得 x－2＝y，即 x2y＝1，且 x＞0，y＞0， x＋y＝1 2x＋1 2x＋y≥3 3 1 2x·1 2x·y＝3 2 3 2. 当且仅当 1 2x＝y 时等号成立． 答案：A 二、填空题 6．已知正数 a，b 满足 ab2＝1，则 a＋b 的最小值是________． 解析：因为 a，b 是正数，ab2＝1， 所以 a＋b＝a＋b 2 ＋b 2 ≥3 3 ab2 4 ＝3 2 3 2. 故 a＋b 的最小值是3 2 3 2， 当且仅当 ab2＝1， a＝b 2 ， 即 a＝1 2 3 2， b＝ 3 2 时取到最小值． 答案：3 3 2 2 7．函数 f(x)＝x(5－2x)2 0＜x＜5 2 的最大值是________． 解析：f(x)＝1 4 ×4x(5－2x)(5－2x)≤ 1 4 4x＋5－2x＋5－2x 3 3 ＝250 27 ， 当且仅当 4x＝5－2x，即 x＝5 6 时，等号成立． 故函数 f(x)＝x(5－2x)2 0＜x＜5 2 的最大值为250 27 . 答案：250 27 8．设 x，y，z＞0 且 x＋3y＋4z＝6，则 x2y3z 的最大值是_________． 解析：因为 6＝x＋3y＋4z＝x 2 ＋x 2 ＋y＋y＋y＋4z≥6 6 x2y3z， 所以 x2y3z≤1，当且仅当x 2 ＝y＝4z， 即 x＝2，y＝1，z＝1 4 时，等号成立． 所以 x2y3z 取得最大值 1. 答案：1 三、解答题 9．θ为锐角，求 y＝sin θ·cos2θ的最大值． 解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝1 2 ·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤1 2 2 3 3 ＝ 4 27. 当且仅当 2sin2θ＝1－sin2θ，即 sin θ＝ 3 3 时取等号． 所以 ymax＝2 3 9 . 10．已知 a，b，c 为正数，求证： (a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc. 证明：因为 a，b，c 为正数， 所以 a＋b＋c≥3 3 abc，a2＋b2＋c2≥3 3 a2b2c2 所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3 3 abc·3 3 a2b2c2＝9 3 abc·a2b2c2. 所以(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc， 当且仅当 a＝b＝c 时等号成立． B 级 能力提升 1．若数列{an}的通项公式是 an＝ n n3＋128 ，则该数列中的最大项是 ( ) A．第 4 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项 解析：an＝ n n3＋128 ＝ 1 n2＋128 n ＝ 1 n2＋64 n ＋64 n 因为 n2＋64 n ＋64 n ≥3 3 n2·64 n ·64 n ＝48， 当且仅当 n2＝64 n ，即 n＝4 时，等号成立， 所以 an≤ 1 48 ，该数列的最大项是第 4 项． 答案：A 2．函数 y＝4sin2x·cos x 的最大值为__________，最小值为 ________． 解析：因为 y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝ 8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8 sin2x＋sin2x＋2cos2x 3 3 ＝8× 8 27 ＝64 27 ， 所以 y2≤64 27 ，当且仅当 sin2x＝2cos2x，即 tan x＝± 2时取等号． 所以 ymax＝8 9 3，ymin＝－8 9 3. 答案：8 3 9 －8 3 9 3．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上 部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥，如图所示．试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设 OO1 为 x m，则 1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为 32－（x－1）2＝ 8＋2x－x2，于是底面正六边形的面积为 6× 3 4 × ( 8＋2x－x2)2＝3 3 2 (8＋2x－x2)， 帐篷的体积为 V(x)＝3 3 2 (8＋2x－x2)· 1 3 （x－1）＋1 ＝ 3 2 (4－x)(x ＋ 2)(x ＋ 2) ＝ 3 4 (8 － 2x)(x ＋ 2)(x ＋ 2)≤ 3 4 （8－2x）＋（x＋2）＋（x＋2） 3 3＝16 3. 当且仅当 8－2x＝x＋2，即 x＝2 时取等号． 即当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为 2 m 时帐篷的体积最 大．