人教新课标A版高一数学1-1-3解三角形的进一步讨论 6页

1.1.3 解三角形的进一步讨论 从容说课 本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出 正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之 亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦 定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下： 解斜三角形时可用的定理和 公式 适用类型 备注 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=b2+a2-2bacosC （1）已知三边 （2）已知两边及其夹角 类型（1）（2）有解时只有一 解 正弦定理 RC c B b A a 2sinsinsin  （3）已知两角和一边 （4）已知两边及其中一边的 对角 类型（3）在有解时只有一解， 类型（4）可有两解、一解或 无解 三角形面积公式  AbcS sin2 1 Bacsin2 1 Cabsin2 1 （5）已知两边及其夹角 同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的 主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题； （2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边 数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定 理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及 公式． 教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情 形； 2.三角形各种形状的判定方法； 3.三角形面积定理的应用． 教学难点 1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向; 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求； 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教具准备 投影仪、幻灯片 第一张:课题引入图片(记作 1．1．3A) 正弦定理: RC c B b A a 2sinsinsin  ； 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC， bc acbA 2cos 222  , ca bacB 2cos 222  , ab cbaC 2cos 222  . 第二张:例 3、例 4(记作 1．1．3 B ) [例 3]已知△ABC, BD 为角 B 的平分线,求证: AB∶BC＝AD∶DC. [例 4]在△ABC 中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC. 第三张:例 5(记作 1．1．3C) [例 5]在△ABC 中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状. 三维目标 一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情 形； 2.三角形各种形状的判定方法； 3.三角形面积定理的应用． 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数 公式及三角形有关性质求解三角形问题． 三、情感态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反 映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内 在联系． 教学过程 导入新课 师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解 三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A).从幻灯 片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行 边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断 三角形形状和证明三角恒等式时的应用. 推进新课 思考：在△ABC 中，已知 A=22cm，B=25cm,A=133°，解三角形．（由学生阅读课本第 9 页解答过程） 从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条 件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题． 【例 1】在△ABC 中，已知 A,B,A，讨论三角形解的情况. 师 分析：先由 a AbB sinsin  可进一步求出 B；则 C =180°-(A+B),从而 A Cac sin sin . 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况． 1.当 A 为钝角或直角时，必须 a＞b 才能有且只有一解；否则无解． 2.当 A 为锐角时， 如果 a≥b，那么只有一解； 如果 a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若 a＞bsinA，则有两解； （2）若 a=bsinA，则只有一解； （3）若 a＜bsinA，则无解． （以上解答过程详见课本第 9 到第 10 页） 师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 bsinA＜a＜ b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解． （1）A 为直角或钝角 （2）A 为锐角 【例 2】在△ABC 中，已知 a =7,b=5,c =3，判断△ABC 的类型． 分析：由余弦定理可知 a2=b2+c2  A 是直角  △ABC 是直角三角形， a2＞b2+c2  A 是钝角  △ABC 是钝角三角形， a2＜b2+c  A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形。 （注意：A 是锐角/ △ABC 是锐角三角形 ） 解：∵72＞52+32,即 a2＞b2+c2， ∴△ABC 是钝角三角形． [教师精讲] 1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题． ①已知两角和任一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． 2．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例 如：在判断三角形形状时，经常把 a、b、c 分别用 2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替． 3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边 角之间的转化． （1）已知三边，求三个角． （2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角． 4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式 a2=b2+c2-2bccosA 中含有未知数时，这 便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求 A 或 B 或 C 或 cosA． 师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片 1.1.3B) ［例题剖析］ 【例 3】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角 B 的平分线 BD 将 △ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB∶BC ＝AD∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比, 故可利用正弦定理将所证继续转化为 DBC DC BDC BC  sinsin ,再根据相等角正弦值相等, 互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明:在△ABD 内,利用正弦定理得 ABD AD ADB AB  sinsin ,即 ABD ADB AD AB   sin sin , 在△BCD 内,利用正弦定理得 DBC DC BDC BC  sinsin ,即 DBC BDC DC BC   sin sin , ∵BD 是角 B 的平分线,∴∠ABD=∠DBC ∴sin∠ABD=sin∠DBC. ∵∠ADB+∠BDC=180°, ∴sin∠ADB=sin(180°-∠BDC)=sin∠BDC. ∴ DC BC DBC BDC ABD ADB AD AB    sin sin sin sin . ∴ DC AD BC AB  . 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦 值相等这一特殊关系式的应用. ［例题剖析］ 【例 4】分析:此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角 的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为 角的关系,一般是通过正弦定理. 另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如 sin2B=2sinbcosB 等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形. 证明一: (化为三角函数) a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2·2sinB·COsB+(2RsinB)2·2sinA·cosA=8R2sinA·sinB(sinA cosB+cosA sinB)=8R2sinasinbsinC =2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC. 所以原式得证. 证明二: (化为边的等式) 左边=A2·2sinBcosB+B2·2sinAcosA= bc acb R abac bca R ba 22 2 22 2 222 2 222 2  = CabR cabcRc abacbbcaRc ab sin22222)(2 2222222  = [教师精讲] 由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角 的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式 sin2A=2sinA·cosA,正 弦两角和公式 sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦 定理形式二. 三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看, 这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题. 【例 5】分析:三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运 用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析. 解法一:利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA=acosB,∴ ac bcaabc acbb 22 222222  .∴b2+c2-a2=a2+c2-b2.∴a2=b2. ∴a=b. 故此三角形是等腰三角形. 解法二:利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA=acosB,又 B=2RsinB，A=2RsinA,∴2RsinbcosA=2RsinAcosB. ∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∵0＜A,B＜π,∴-π＜A-B＜π. ∴A-B=0,即 A=B. 故此三角形是等腰三角形. 评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路, 通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生 要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理. (2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定 要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式 sinBcosA=sinAcosB 两端 同除以 sinAsinB,得 cotA=cotB,再由 0＜A,B＜π,而得 A=B. 课堂小结 通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、 余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余 弦定理的边角转换功能. （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形形状的判定方法. 布置作业 1.在△ABC 中,已知 )sin( )sin( sin sin CB BA C A   ,求证: a2、b2、c2 成等差数列. 证明: 由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B), cos2B-cos2C=cos2A-cos2B, 2cos2B=coOs2A+cos2C,2· 2 cos1 2 cos1 2 cos1 222 BAB  = ∴2sin2B=sin2A+sin2C. 由正弦定理,可得 2b2=a2+c2, 即 a2、b2、c2 成等差数列. 2.在△ABC 中,A=30°,cosB=2sinB-3sinC. (1)求证:△ABC 为等腰三角形;(提示 B =C =75° ) (2)设 D 为△ABC 外接圆的直径 BE 与边 AC 的交点,且 AB＝2,求 AD∶CD 的值. 答案: (1)略；(2)1∶3. 板书设计 解三角形的进一步讨论 一、三角形形状判定 二、三角形问题证明思路 三、学生练习 1.等腰三角形:a＝b 或 1.向边转化利用正、余弦定理 四、布置作业 A＝B 2.向角转化 利用正弦定理 2.直角三角形:a2+b2=c2 或 C =90° 3.钝角三角形:C＞90°