高中数学必修2知识点 9页

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  • 2021-06-15 发布

高中数学必修2知识点

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高一数学必修 2 知识点 1、圆柱是由矩形旋转得到,圆锥是由直角三角形旋转得到,圆台是由直角梯形旋转得到, 球是由半圆旋转得到. 2、中心投影的投影线相交于一点,平行投影的投影线互相平行. 3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形, 俯视图是圆和圆心;圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆;球的三 视图都是圆. 4、空间几何体的表面积: (1)直棱柱的侧面展开图是矩形;设棱柱的高为 h ,底面多边形的周长为c ,则直棱柱的 侧面积 chS 直棱柱侧面积 ; (2)正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形;设正棱锥底面正多边形的边长为 a ,底面 周长为c ,斜高为 h ,则正 n 棱锥的侧面积 11 22nah chS 正棱锥侧面积 ; (3)正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形;设正 n 棱台的上底面、下底面边长分别为a 、 a , 对 应 的 周 长 分 别 为 c 、 c ,斜高为 h ,则正 n 棱 台 的 侧 面 积    11 22n a a h c c h      正棱台侧面积S ; (4)圆柱的侧面展开图是矩形;设圆柱的底面半径为 r ,母线长为l ,则圆柱的底面面积 为 2r ,侧面积为 2 rl ,圆柱的表面积  2 r r lS 圆柱表面积 ; (5)圆锥的侧面展开图是扇形;设圆锥的底面半径为 r ,母线长为l ,则圆锥的侧面积为 rl , 表面积  r r lS 圆锥表面积 ; (6)圆台的侧面展开图是扇环;设圆台的两底面半径分别为 r 、 r ,母线长为l ,则圆台 的侧面积为  r r l  ,表面积  22r l rlS rr    圆台表面积 ; (7)设球的半径为 R ,则球的表面积 24S R球表面积 . 5、空间几何体的体积: (1)设柱体(棱柱、圆柱)的底面积为 S ,高为 ,则柱体的体积 ShV 柱体 ; (2)设锥体(棱锥、圆锥)的底面积为 S ,高为 ,则锥体的体积 1 3 ShV 锥体 ; (3)设台体(棱台、圆台)的上、下底面积分别为 S 、 S ,高为 ,则台体的体积  1 3h S SS SV   台体 ; (4)设圆柱的底面半径为 r ,高为 ,则圆柱的体积 2hV r圆柱 ; (5)设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,则圆锥的体积 21 3 hV r圆锥 ; (6)设圆台的上、下底面半径分别为 r 、r ,高为 ,则圆台的体积  221 3 h rrV rr    圆台 ; (7)设球的半径为 R ,则球的体积 34 3V R球 . 6、平面的特征:平的,无厚度,可以无限延展. 7、平面的基本性质: 公理 1、如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 数学符号表示: , , ,l l l        公理 2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 数学符号表示: , , , , ,CC        三点不共线 有且只有一个平面 使 公理 3、如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 数学符号表示: ll      且 公理 4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. 数学符号表示: // , // //a b b c a c 推论 1、经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 2、经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3、经过两条平行直线,有且只有一个平面. 8、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直 角)相等. 9、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行. 数学符号表示: , , // //a b a b a     直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行. 数学符号表示: // , , //a a b a b      10、平面与平面平行的判定定理:(1)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则 这两个平面平行. 数学符号表示: , , , // , // //a b a b a b          (2)垂直于同一条直线的两个平面平行. 数学符号表示: , //aa      (3)平行于同一个平面的两个平面平行. 数学符号表示: // , // //      平面与平面平行的性质定理:(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意直线均 平行于另一个平面. 数学符号表示: // , //aa    (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 数学符号表示: // , , //a b a b        11、直线与平面垂直的判定定理:(1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则 该直线与此平面垂直. 数学符号表示: , , , ,m n m n l m l n l          (2)如果两条平行直线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 数学符号表示: // ,a b a b   (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中一个,那么该直线也垂直于另一个平面. 数学符号表示: // ,aa      直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 数学符号表示: , //a b a b   12、两个平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 数学符号表示: ,aa       平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平 面垂直. 数学符号表示: , , ,b a a b a           13、三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么 它也和这条斜线垂直. 数学符号表示:            , 为 在 内的射影,a ,a a 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它与这个平面的一条斜线垂直,那么它 也和这条斜线在平面内的射影垂直. 数学符号表示:            , 为 在 内的射影,a ,a a 14、求异面直线所成的角(0 90 )的步骤: (1)选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. (2)将这个角放入某一个三角形中. (3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊 三角形,便易求此角大小. 15、求直线与平面所成的角(0 90 )的步骤: (1)在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线,连结垂足和斜足,则斜线与射影的夹角就是 直线与平面所成的角. (2)将这个角放入某一个三角形中. (3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊 三角形,便易求此角大小. 16、求二面角的平面角(0 180 )的步骤: (1)在二面角的棱上找适当的点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所 成的角,即为二面角的平面角. (2)将这个角放入某一个三角形中. (3)在这个三角形中,计算这个角的大小,若该三角形为直角三角形,等腰三角形等特殊 三角形,便易求此角大小. 17、直线的倾斜角和斜率: (1)设直线的倾斜角为  0 180 ,斜率为k , 则 tan 2k  . 当 2   时,斜率不存在. (2)当0 90 时, 0k  ;当90 180 时, 0k  . (3)过  1 1 1 , yx ,  2 2 2 , yx 的直线斜率  21 12 21 k yyxxxx   . 18、两直线的位置关系: 两条直线 1 1 1 2 2 2: ; :y x y xl k b l k b    斜率都存在,则: (1) 1 2 1 2 1 2//l l k k b b  且 ; (2)1 2 1 2 1l l k k      1 2 1 2, 0 ,l l l l当 的斜率不存在 的斜率为 时 ; (3) 1 1 2 1 22ll k k b b  重合 且与 . 19、直线方程的形式: (1)点斜式:  00 y k xy x   (定点,斜率 存在) (2)斜截式: y kx b(斜率存在,在 y 轴 上的截距) (3)两点式:  11 1212 2121 , y xy x yyxxyyxx     (两点) (4)截距式: 1xy ab(在 x 轴上的截距,在 y 轴上的截距) (5)一般式:  2200x y C       20、直线的交点坐标: 设 1 1 2 21 1 2 2: 0, : 0x y x yl C l C         , 则 联 立 方 程 组 11 1 22 2 0 0 xy xy C C         (1)当方程组有惟一解时,两条直线相交, 此解是交点的坐标; (2)当方程组无解时,两条直线平行; (3)当方程组有无数组解时,两条直线重 合. 设 1 1 2 21 1 2 2: 0, : 0x y x yl C l C         ,则: (1) 1l 与 2l 相交 11 22   ; (2) 1 1 1 12 222 // Cll C    ; (3) 与 重合 1 1 1 222 C C    . 21 、两点  1 1 1 ,yx ,  2 2 2 , yx 间 的 距 离 公 式    22 12 21 21yyxx  原点  0,0 与任一点  ,xy 的距离 22 yx   22、点  0 0 0 , yx 到直线 :0l x y C     的距离 0 0 22 C d yx      (1)点 到直线 :0l x C   的距离 0 C d x   (2)点 到直线 :0l y C   的距离 0 C d y   (3)点  0,0 到直线 的距离 22 Cd   23、两条平行直线 1 0xyC     与 2 0xyC     间的距 离 12 22 d CC   24、过直线 1111:0xylC   与 2222:0xylC   交点的直 线方程为    1 1 2 2120x y x y RCC          25、 与 直 线 :0l x y C     平行的直线方程为  0x y D C D      与直线 垂直的直线方程为 0x y D     26、中心对称与轴对称: (1)中心对称:设点    1222 , , ,yyxx关于点  0 0 , yx 对称,则 12 0 12 0 2 2 xxx yyy     (2)轴对称:设    1212 , , ,yyxx关于直线 :0l x y C     对称,则: a、 0 时,有 12 2 Cxx  且 12yy ; b、 0 时,有 12 2 Cyy  且 12xx c、 0  时,有 12 12 1 2 1 2 022C yy xx yyxx           27、圆的标准方程:   222x a y b r(圆心  ,ab ,半径长为 r ) 圆心  0,0 ,半径长为 r 的圆的方程 22 2yx r 28、点与圆的位置关系: 设圆的标准方程   222x a y b r,点  0 0 , yx ,则: (1)当点 在圆上时,   22 2 0 0a byx r  ; (2)当点 在圆外时,   22 2 0 0a byx r  ; (3)当点 在圆内时,   22 2 0 0a byx r  . 27、圆的一般方程:  22 220 4 0Dx Ey F Fyx DE        (1)当 2240FDE   时,表示以 ,22 DE 为圆心, 221 42 FDE为半径的圆; (2)当 2240FDE   时,表示一个点 ; (3)当 2240FDE   时,不表示任何图形. 28、直线与圆的位置关系: 设直线 :0l x y C     与圆    222:C x a y b r,圆心到直线的距离 22 a b Cd      , 方程组    222 0x y C x a y b r       ,  为方程组消去一元后得到的方程的判别式,则: (1)相交 0dr     方程组有两组实数解; (2)相切 0dr     方程组有一组实数解; (3)相离 0dr     方程组无实数解. 29、圆与圆的位置关系: 设圆 1C 的半径为 1r ,圆 2C 的半径为 2r ,则: (1) 1C 与 2C 相离 1212CC rr   ; (2) 与 相切 1212CC rr   ; (3) 与 相交 1 2 1 212CCr r r r     ; (4) 与 内切 1212CC rr   ; (5) 与 内含 1212CC rr   . 30 、 过 两 圆 22 1 1 1 0xyyx D E F     与 22 2 2 2 0xyyx D E F     交 点 的 圆 的 方 程    2222 1 1 1 2 2 2 01x y x yyyxxD E F D E F            当 1  时,即两圆公共弦所在的直线方程. 31、点  ,,abc 关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标: (1)关于 xoy平面的对称点坐标为 ,,a b c ; (2)关于 xoz 平面的对称点坐标为 ,,a b c ; (3)关于 yoz 平面的对称点坐标为 ,,abc ; (4)关于 x 轴的对称点坐标为 ,,abc; (5)关于 y 轴的对称点坐标为 ,,a b c; (6)关于 z 轴的对称点坐标为 ,,a b c ; (7)关于原点的对称点坐标为 ,,abc   ; 32 点    1 1 2 21212 , , , , ,yyxxzz间的距离      222 12 2121 21yyxx zz   点    120,0,0 , , ,x y z间的距离 22 2 12 yx z  