高中数学必修2知识点 9页

高一数学必修 2 知识点 1、圆柱是由矩形旋转得到，圆锥是由直角三角形旋转得到，圆台是由直角梯形旋转得到， 球是由半圆旋转得到. 2、中心投影的投影线相交于一点，平行投影的投影线互相平行. 3、圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形， 俯视图是圆和圆心；圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆；球的三 视图都是圆. 4、空间几何体的表面积： （1）直棱柱的侧面展开图是矩形；设棱柱的高为 h ，底面多边形的周长为c ，则直棱柱的 侧面积 chS 直棱柱侧面积 ； （2）正棱锥的侧面展开图是全等的等腰三角形；设正棱锥底面正多边形的边长为 a ，底面 周长为c ，斜高为 h ，则正 n 棱锥的侧面积 11 22nah chS 正棱锥侧面积 ； （3）正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形；设正 n 棱台的上底面、下底面边长分别为a 、 a ， 对 应 的 周 长 分 别 为 c 、 c ，斜高为 h ，则正 n 棱 台 的 侧 面 积    11 22n a a h c c h      正棱台侧面积S ； （4）圆柱的侧面展开图是矩形；设圆柱的底面半径为 r ，母线长为l ，则圆柱的底面面积 为 2r ，侧面积为 2 rl ，圆柱的表面积  2 r r lS 圆柱表面积 ； （5）圆锥的侧面展开图是扇形；设圆锥的底面半径为 r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积为 rl ， 表面积  r r lS 圆锥表面积 ； （6）圆台的侧面展开图是扇环；设圆台的两底面半径分别为 r 、 r ，母线长为l ，则圆台 的侧面积为  r r l  ，表面积  22r l rlS rr    圆台表面积 ； （7）设球的半径为 R ，则球的表面积 24S R球表面积 . 5、空间几何体的体积： （1）设柱体（棱柱、圆柱）的底面积为 S ，高为 ，则柱体的体积 ShV 柱体 ； （2）设锥体（棱锥、圆锥）的底面积为 S ，高为 ，则锥体的体积 1 3 ShV 锥体 ； （3）设台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别为 S 、 S ，高为 ，则台体的体积  1 3h S SS SV   台体 ； （4）设圆柱的底面半径为 r ，高为 ，则圆柱的体积 2hV r圆柱 ； （5）设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，则圆锥的体积 21 3 hV r圆锥 ； （6）设圆台的上、下底面半径分别为 r 、r ，高为 ，则圆台的体积  221 3 h rrV rr    圆台 ； （7）设球的半径为 R ，则球的体积 34 3V R球 . 6、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展. 7、平面的基本性质： 公理 1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 数学符号表示： , , ,l l l        公理 2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 数学符号表示： , , , , ,CC        三点不共线 有且只有一个平面 使 公理 3、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 数学符号表示： ll      且 公理 4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. 数学符号表示： // , // //a b b c a c 推论 1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论 2、经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论 3、经过两条平行直线，有且只有一个平面. 8、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直 角）相等. 9、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 此平面平行. 数学符号表示： , , // //a b a b a     直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行. 数学符号表示： // , , //a a b a b      10、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则 这两个平面平行. 数学符号表示： , , , // , // //a b a b a b          （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 数学符号表示： , //aa      （3）平行于同一个平面的两个平面平行. 数学符号表示： // , // //      平面与平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均 平行于另一个平面. 数学符号表示： // , //aa    （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 数学符号表示： // , , //a b a b        11、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直. 数学符号表示： , , , ,m n m n l m l n l          （2）如果两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 数学符号表示： // ,a b a b   （3）如果一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面. 数学符号表示： // ,aa      直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 数学符号表示： , //a b a b   12、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 数学符号表示： ,aa       平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平 面垂直. 数学符号表示： , , ,b a a b a           13、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直. 数学符号表示：            , 为 在 内的射影,a ,a a 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它与这个平面的一条斜线垂直，那么它 也和这条斜线在平面内的射影垂直. 数学符号表示：            , 为 在 内的射影,a ,a a 14、求异面直线所成的角（0 90 ）的步骤： （1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊 三角形，便易求此角大小. 15、求直线与平面所成的角（0 90 ）的步骤： （1）在斜线上找适当的点,过该点作平面的垂线,连结垂足和斜足,则斜线与射影的夹角就是 直线与平面所成的角. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊 三角形，便易求此角大小. 16、求二面角的平面角（0 180 ）的步骤： （1）在二面角的棱上找适当的点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所 成的角，即为二面角的平面角. （2）将这个角放入某一个三角形中. （3）在这个三角形中，计算这个角的大小，若该三角形为直角三角形，等腰三角形等特殊 三角形，便易求此角大小. 17、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为  0 180 ，斜率为k ， 则 tan 2k  . 当 2   时，斜率不存在. （2）当0 90 时， 0k  ；当90 180 时， 0k  . （3）过  1 1 1 , yx ，  2 2 2 , yx 的直线斜率  21 12 21 k yyxxxx   . 18、两直线的位置关系： 两条直线 1 1 1 2 2 2: ; :y x y xl k b l k b    斜率都存在，则： （1） 1 2 1 2 1 2//l l k k b b  且 ； （2）1 2 1 2 1l l k k      1 2 1 2, 0 ,l l l l当 的斜率不存在 的斜率为 时 ； （3） 1 1 2 1 22ll k k b b  重合 且与 . 19、直线方程的形式： （1）点斜式：  00 y k xy x   （定点，斜率 存在） （2）斜截式： y kx b（斜率存在，在 y 轴 上的截距） （3）两点式：  11 1212 2121 , y xy x yyxxyyxx     （两点） （4）截距式： 1xy ab（在 x 轴上的截距，在 y 轴上的截距） （5）一般式：  2200x y C       20、直线的交点坐标： 设 1 1 2 21 1 2 2: 0, : 0x y x yl C l C         ， 则 联 立 方 程 组 11 1 22 2 0 0 xy xy C C         （1）当方程组有惟一解时，两条直线相交， 此解是交点的坐标； （2）当方程组无解时，两条直线平行； （3）当方程组有无数组解时，两条直线重 合. 设 1 1 2 21 1 2 2: 0, : 0x y x yl C l C         ，则： （1） 1l 与 2l 相交 11 22   ； （2） 1 1 1 12 222 // Cll C    ； （3） 与 重合 1 1 1 222 C C    . 21 、两点  1 1 1 ,yx ，  2 2 2 , yx 间 的 距 离 公 式    22 12 21 21yyxx  原点  0,0 与任一点  ,xy 的距离 22 yx   22、点  0 0 0 , yx 到直线 :0l x y C     的距离 0 0 22 C d yx      （1）点 到直线 :0l x C   的距离 0 C d x   （2）点 到直线 :0l y C   的距离 0 C d y   （3）点  0,0 到直线 的距离 22 Cd   23、两条平行直线 1 0xyC     与 2 0xyC     间的距 离 12 22 d CC   24、过直线 1111:0xylC   与 2222:0xylC   交点的直 线方程为    1 1 2 2120x y x y RCC          25、 与 直 线 :0l x y C     平行的直线方程为  0x y D C D      与直线 垂直的直线方程为 0x y D     26、中心对称与轴对称： （1）中心对称：设点    1222 , , ,yyxx关于点  0 0 , yx 对称，则 12 0 12 0 2 2 xxx yyy     （2）轴对称：设    1212 , , ,yyxx关于直线 :0l x y C     对称，则： a、 0 时，有 12 2 Cxx  且 12yy ； b、 0 时，有 12 2 Cyy  且 12xx c、 0  时，有 12 12 1 2 1 2 022C yy xx yyxx           27、圆的标准方程：   222x a y b r（圆心  ,ab ，半径长为 r ） 圆心  0,0 ，半径长为 r 的圆的方程 22 2yx r 28、点与圆的位置关系： 设圆的标准方程   222x a y b r，点  0 0 , yx ，则： （1）当点 在圆上时，   22 2 0 0a byx r  ； （2）当点 在圆外时，   22 2 0 0a byx r  ； （3）当点 在圆内时，   22 2 0 0a byx r  . 27、圆的一般方程：  22 220 4 0Dx Ey F Fyx DE        （1）当 2240FDE   时，表示以 ,22 DE 为圆心， 221 42 FDE为半径的圆； （2）当 2240FDE   时，表示一个点 ； （3）当 2240FDE   时，不表示任何图形. 28、直线与圆的位置关系： 设直线 :0l x y C     与圆    222:C x a y b r，圆心到直线的距离 22 a b Cd      ， 方程组    222 0x y C x a y b r       ，  为方程组消去一元后得到的方程的判别式，则： （1）相交 0dr     方程组有两组实数解； （2）相切 0dr     方程组有一组实数解； （3）相离 0dr     方程组无实数解. 29、圆与圆的位置关系： 设圆 1C 的半径为 1r ，圆 2C 的半径为 2r ，则： （1） 1C 与 2C 相离 1212CC rr   ； （2） 与 相切 1212CC rr   ； （3） 与 相交 1 2 1 212CCr r r r     ； （4） 与 内切 1212CC rr   ； （5） 与 内含 1212CC rr   . 30 、 过 两 圆 22 1 1 1 0xyyx D E F     与 22 2 2 2 0xyyx D E F     交 点 的 圆 的 方 程    2222 1 1 1 2 2 2 01x y x yyyxxD E F D E F            当 1  时，即两圆公共弦所在的直线方程. 31、点  ,,abc 关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标： （1）关于 xoy平面的对称点坐标为 ,,a b c ； （2）关于 xoz 平面的对称点坐标为 ,,a b c ； （3）关于 yoz 平面的对称点坐标为 ,,abc ； （4）关于 x 轴的对称点坐标为 ,,abc； （5）关于 y 轴的对称点坐标为 ,,a b c； （6）关于 z 轴的对称点坐标为 ,,a b c ； （7）关于原点的对称点坐标为 ,,abc   ； 32 点    1 1 2 21212 , , , , ,yyxxzz间的距离      222 12 2121 21yyxx zz   点    120,0,0 , , ,x y z间的距离 22 2 12 yx z  