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- 2021-06-15 发布
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二项式定理
教学重点、难点
重点:1)理解用计数原理分析的展开式从而进一步得到二项式定理。
2)掌握并应用二项式展开式、二项式系数、二项式通项等概念。
难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开后各项系数的规律.
教学过程
(一)、引入加推导:
牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家之一。他不仅是一位物理学家、天文学家,他还是一位伟大的数学家。他数学生涯中的第一个重大成果就是我们今天研究的课题--二项式定理。
今天,就让我们沿着大数学家牛顿的足迹,重温了他探究、发现二项式定理的过程。牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢?
问:
学生:
问:
学生:
问:“为什么等于?”
我们知道,.根据乘法原理,知道展开式共8项,通过合并同类项,得到。从另外一个角度,展开式的每一项,都是从每个括号里任取一个字母相乘而得,因此各项都是三次式。为了出,从三个因式(a+b)中都不选b,都选了;为了出项,需要从一个因式(a+b)中选一个出,另两个因式自然选;为了出,从两个因式(a+b)中选了b,另一个
因式选a,为了出,从三个因式(a+b)中都选b。
问:能不能用前面所学过的知识,说明这四个系数是怎么得来的吗?
的系数,从三个因式(a+b)中都不取b的取法有
的系数,从三个因式(a+b)其中一个因式取出一个的取法有;
的系数,从三个因式(a+b)其中两个取出两个b的取法有
的系数,从三个因式(a+b)中都选b的取法有
于是,有
这种展开式和刚才的结果相等吗?
刚才,同学们运用计数原理,分析了展开式中项的类型和项的系数,发现某些规律,这是一个重大的发现,下面,按照这种规律,
你能将,的展开式直接写成类似的形式吗?
做一点说明:我们在写展开式的时候,为了便于发现规律,我们以某一项的升幂排序,习惯上,我们以的升幂排序。每一项的系数即组合数,它的上标随着的次数增大而增大。
问:根据这样的规律,的展开式是什么?
分析:只要看清楚两点即可。①展开式中会有哪几种类型的项?②展开式中各项的系数是多少?
先来说明第①点。(a+b)n是n个(a+b)相乘,由于展开式中每一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的,因此每一项都是an-kbk的形式,由于最少取0
个,最多取n个,因此,k=0, 1, …, n;
再来解释第②点。因为an-kbk是从这n个(a+b)中取k个b, n-k个a相乘得到的,而共有种取法,该项的系数就是,这样就得到了它的展开式。
,
今后将上述个公式所表示的定理叫做二项式定理。
下面,请同学们做一个小练习。
例1、 求二项式的展开式。
解:
说明:定理中的仅仅是一种符号,它可以是任意的数或式子什么的,只要是两项相加的次幂,就能运用二项式定理展开。
(板书)左边这个式子叫二项式,右边多项式叫做的二项展开式。
(二)、通项、展开式的二项式系数与系数;
讨论下面两个问题:
(a)二项式展开式的项数、次数的规律是什么?
(板书)(1)项数:有n+1项
(2)次数:a降幂排序,次数由n递减到0 ;
b升幂排序,次数由0递增到n;
各项的次数都为n等于二项式的次数。
(b)二项式展开式中哪一项最有代表性?可能多数同学会答;
那是展开式的第几项?应该是第项,其中。
我们那项最有代表性的项就叫做二项展开式的通项,用
,
(抓住公式的特征,通项公式中,Tr+1是项的标志,注意其下标是r+1而非r;右边的二项式系数是个组合数,其下标是n,上标是r,上标比Tr+1的下标小1;右边a与b的指数和为n,且a 的指数是n-r,b的指数是r.)
(c)展开式中那些组合数(r=0,1,2,…n)称为二项式系数。那它是不是等于展开式的系数呢?
下面我们先来看一个题:
例2、已知二项式
(1)展开式的第3项二项式系数是多少?
(2)展开式的第3项系数是多少?
(3)求展开式的常数项。
方法一:(直接展开),上面公式里用代替,上面公式里用代替得:
=
=
组合数称作第三项的二项式系数,将240称作第三项的系数
同学们在解题中要经常想一想有没有简便的方法。
(先化简,再展开):
=
组合数称作第三项的二项式系数,将240称作第三项的系数
方法二:直接展开计算量较大,尽量引导学生利用通项公式来解:
组合数称作第三项的二项式系数,将240称作第三项的系数
显然二项式系数和系数是两个不同的概念,二项式系数就是一个组合数,与、无关。
(3)、,根据题意,
则常数项为
例3、已知的二项展开式中,前三项系数成等差数列,
(1)求;
(2)求二项式展开式所有有理项的二项式系数和;
前三项的系数为1,成等差数列,
(舍)
(2)
根据题意,,一定是4的倍数(),
所有有理项为,所有有理项的二项式系数和为72;
二项展开式的通项公式,其中含有a,b,n,r,T五个量,显然,知道其中的几个或他们的某些关系,可以求另外的几个.
三、小结:
(1)二项式定理(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn 。
(2)二项式定理的特征;
(3)通项、展开式的二项式系数与系数。
四、作业。
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