高考数学模拟试卷 2 (17) 11页

武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试 理科数学(33) 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 5 2i  的共轭复数是（ ） A． 2 i B． 2 i  C． 2 i  D． 2 i 2.已知集合 2{ | 1}M x x  ， { | 1}N x ax  ，若 N M ，则实数 a 的取值集合为（ ） A．{1} B．{ 1,1} C．{1,0} D．{1, 1,0} 3.执行如图所示的程序框图，如果输入的 [ 2,2]t   ，则输出的 S 属于（ ） A．[ 4,2] B．[ 2,2] C．[ 2,4] D．[ 4,0] 4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的 最大值为（ ） A． 3 B． 6 C． 2 3 D． 2 6 5.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可以从 0 9 中任选一个，某人在银行自动 提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对 的概率为（ ） A． 2 5 B． 3 10 C． 1 5 D． 1 10 6.若实数 a ，b 满足 1a b  ， log (log )a am b ， 2(log )an b ， 2logal b ，则 m ，n ， l 的大小关系为（ ） A． m l n  B．l n m  C． n l m  D．l m n  7.已知直线 1y kx  与双曲线 2 2 4x y  的右支有两个交点，则 k 的取值范围为（ ） A． 5(0, )2 B． 5[1, ]2 C． 5 5( , )2 2  D． 5(1, )2 8.在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对应边分别为 a ，b ， c ，条件 p ： 2 b ca  ，条件 q ： 2 B CA  ，那么条件 p 是条件 q 成立的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.在 61( 1)x x   的展开式中，含 5x 项的系数为（ ） A． 6 B． 6 C． 24 D． 24 10.若 x ， y 满足 1 2 1 2x y    ，则 2 22 2M x y x   的最小值为（ ） A． 2 B． 2 11 C． 4 D． 4 9  11.函数 ( ) 2sin( )( 0)3f x x     的图象在[0,1] 上恰有两个最大值点，则 的取值范 围为（ ） A．[2 ,4 ]  B． 9[2 , )2  C． 13 25[ , )6 6   D． 25[2 , )6  12.过点 (2, 1)P  作抛物线 2 4x y 的两条切线，切点分别为 A ，B ，PA ，PB 分别交 x 轴 于 E ， F 两点，O 为坐标原点，则 PEF 与 OAB 的面积之比为（ ） A． 3 2 B． 3 3 C． 1 2 D． 3 4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知sin 2cos  ，则sin cos   ． 14.已知向量 a  ，b  ， c  满足 2 0a b c     ，且 1a  ， 3b  ， 2c  ，则 2 2a b a c b c           ． 15.已知 ( , )2 2x    ， ( ) 1y f x  为奇函数， '( ) ( ) tan 0f x f x x  ，则不等式 ( ) cosf x x 的解集为 ． 16.在四面体 ABCD 中， 1AD DB AC CB    ，则四面体体积最大时，它的外接球半 径 R  ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题～ 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题～第 23 题为选考题，考 生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.已知正数数列{ }na 满足： 1 2a  ， 1 1 2 1 2n n n n na a a a     ( 2)n  . （1）求 2a ， 3a ； （2）设数列{ }nb 满足 2 2( 1)n nb a n   ，证明：数列{ }nb 是等差数列，并求数列{ }na 的通 项 na . 18.如图，在棱长为 3 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E ， F 分别在棱 AB ，CD 上，且 1AE CF  . （1）已知 M 为棱 1DD 上一点，且 1 1D M  ，求证： 1B M  平面 1 1A EC . （2）求直线 1FC 与平面 1 1A EC 所成角的正弦值. 19.已知椭圆  ： 2 2 14 2 x y  ，过点 (1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线 1l ， 2l ，设 1l 与椭 圆  交于 A 、 B 两点， 2l 与椭圆  交于C ， D 两点. （1）若 (1,1)P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程； （2）记 AB CD   ，求  的取值范围. 20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示. （1）求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服正态分布 2( , )N   ，其中  ， 2 分别取考生的平 均成绩 x 和考生成绩的方差 2s ，那么该区 4000 名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的 人数估计有多少人？ （3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考 生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为 ，求 ( 3)P   .（精确到 0.001） 附：① 2 204.75s  ， 204.75 14.31 ； ② 2( , )z N   ，则 ( ) 0.6826P z        ， ( 2 2 ) 0.9544P z        ； ③ 40.8413 0.501 . 21.已知函数 ( ) (ln )xf x xe a x x   ， a R . （1）当 a e 时，求 ( )f x 的单调区间； （2）若 ( )f x 有两个零点，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按 所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极 坐标方程为 (cos 2sin ) 10    ，C 的参数方程为 3cos 2sin x y      （ 为参数， R  ）. （1）写出l 和C 的普通方程； （2）在C 上求点 M ，使点 M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知 ( ) 2 2f x ax x    . （1）在 2a  时，解不等式 ( ) 1f x  ； （2）若关于 x 的不等式 4 ( ) 4f x   对 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围. 武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试 理科数学参考答案(33) 一、选择题 1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12： CC 二、填空题 13. 2 5 14. 13 15. (0, )2  16. 15 6 三、解答题 17.（1）由已知 2 1 2 1 3 2a a a a    ，而 1 2a  ， ∴ 2 2 2 22 3 2( 2)a a    ，即 2 2 22 3 0a a   . 而 2 0a  ，则 2 3a  . 又由 3 2 3 2 5 2a a a a    ， 2 3a  ， ∴ 2 3 39 5 2( 3)a a    ，即 2 3 32 8 0a a   . 而 3 0a  ，则 3 4a  . ∴ 2 3a  ， 3 4a  . （2）由已知条件可知： 2 2 1 12( ) 2 1n n n na a a a n      ， ∴ 2 2 2 2 1( 1) ( 1) ( 1)n na a n n      ， 则 2 2 2 2 1( 1) ( 1) ( 1)n na n a n      2 2 3( 1) 2a     2 2 2( 1) 1a   0 ， 而 2 2( 1)n nb a n   ， ∴ 0nb  ，数列{ }nb 为等差数列. ∴ 2 2( 1)na n  .而 0na  ， 故 1na n  . 18.解：（1）过 M 作 1MT AA 于点T ，连 1BT ，则 1 1AT  . 易证： 1 1 1AA E A BT   ，于是 1 1 1AA E A BT   . 由 1 1 1 1 90A BT ATB     ，知 1 1 1 90AA E ATB     ， ∴ 1 1A E BT . 显然 MT  面 1 1AA B B ，而 1A E  面 1 1AA B B ， ∴ 1MT A E ，又 1BT MT T ， ∴ 1A E  面 MTB ，∴ 1 1A E MB . 连 1 1B D ，则 1 1 1 1B D AC . 又 1 1 1D M AC ， 1 1 1 1B D D M D ， ∴ 1 1AC  面 1 1MD B ， ∴ 1 1 1AC MB . 由 1 1A E MB ， 1 1 1AC MB ， 1 1 1 1A E AC A ， ∴ 1B M  面 1 1A EC . （2）在 1 1D C 上取一点 N ，使 1 1ND  ，连接 EF . 易知 1 / /A E FN . ∴ 1 1 1 1A EFC N EFC E NFCV V V    1 1 1 13 ( 2 3) 3 33 3 2NFCS        . 对于 1 1A EC ， 1 1 3 2AC  ， 1 10A E  ， 而 1 22EC  ， 由余弦定理可知 1 1 10 18 22 1cos 2 10 3 2 20 EAC       . ∴ 1 1A EC 的面积 1 1 1 1 1 sin2S AC A E EAC   1 19 33 2 10 192 220      . 由等体积法可知 F 到平面 1 1A EC 之距离 h 满足 1 1 1 1 1 3 A EC A EFCS h V   ，则 1 3 19 33 2 h   ，∴ 6 19 h  ， 又 1 10FC  ，设 1FC 与平面 1AEC 所成角为 ， ∴ 6 19 6 3 190sin 9510 190     . 19.解：（1）设直线 AB 的斜率为 tank  ，方程为 1 ( 1)y k x   ，代入 2 22 4x y  中， ∴ 2 22[ ( 1)] 4 0x kx k     . ∴ 2 2 2(1 2 ) 4 ( 1) 2( 1) 4 0k x k k x k       . 判别式 2 2 2[4( 1) ] 4(2 1)[2( 1) 4]k k k k       28(3 2 1)k k   . 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1 2 2 2 1 2 2 4 ( 1) 2 1 2( 1) 4 2 1 k kx x k kx x k         . ∵ AB 中点为 (1,1) ， ∴ 1 2 2 1 2 ( 1)( ) 12 2 1 k kx x k    ，则 1 2k  . ∴直线的 AB 方程为 11 ( 1)2y x   ，即 2 1 0x y   . （2）由（1）知 2 1 21AB k x x   2 1 2 1 2( ) 4x x x x   2 2 2 1 8(3 2 1) 2 1 k k k k      . 设直线的CD 方程为 1 ( 1)( 0)y k x k     . 同理可得 2 2 2 1 8(3 2 1) 2 1 k k kCD k      . ∴ 2 2 3 2 1( 0)3 2 1 AB k k kCD k k       . ∴ 2 2 41 3 1 2 k k k      41 13 2k k     . 令 13t k k   ， 则 4( ) 1 2g t t    ， ( , 2 3] [2 3, )t     . ( )g t 在 ( , 2 3]  ，[2 3, ) 分别单调递减， ∴ 2 3 ( ) 1g t   或1 ( ) 2 3g t   . 故 22 3 1   或 21 2 3   . 即 6 2 6 2[ ,1) (1, ]2 2     . 20.解：（1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 ∴ 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3x         85 0.15 95 0.1 70.5     ， ∴ 4000 名考生的竞赛平均成绩 x 为 70.5分. （2）依题意 z 服从正态分布 2( , )N   ，其中 70.5x   ， 2 204.75D   ， 14.31  ， ∴ z 服从正态分布 2 2( , ) (70.5,14.31 )N N   ， 而 ( ) (56.19 84.81) 0.6826P z P z           ， ∴ 1 0.6826( 84.81) 0.15872P z    . ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为 0.1587 4000 634.8  人 634 人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1 0.1587 0.8413  . 而 (4,0.8413)B  ， ∴ 4 4 4( 3) 1 ( 4) 1 0.8413P P C        1 0.501 0.499   . 21.解：（1）定义域为： (0, ) ， 当 a e 时， (1 )( )'( ) xx xe ef x x   . ∴ ( )f x 在 (0,1) 时为减函数；在 (1, ) 时为增函数. （2）记 lnt x x  ，则 lnt x x  在 (0, ) 上单增，且t R . ∴ ( ) (ln )xf x xe a x x   ( )te at g t   . ∴ ( )f x 在 0x  上有两个零点等价于 ( ) tg t e at  在t R 上有两个零点. ①在 0a  时， ( ) tg t e 在 R 上单增，且 ( ) 0g t  ，故 ( )g t 无零点； ②在 0a  时， '( ) tg t e a  在 R 上单增，又 (0) 1 0g   ， 11( ) 1 0ag ea    ，故 ( )g t 在 R 上只有一个零点； ③在 0a  时，由 '( ) 0tg t e a   可知 ( )g t 在 lnt a 时有唯一的一个极小值 (ln ) (1 ln )g a a a  . 若 0 a e  ， (1 ln ) 0g a a  最小 ， ( )g t 无零点； 若 a e ， 0g 最小 ， ( )g t 只有一个零点； 若 a e 时， (1 ln ) 0g a a  最小 ，而 (0) 1 0g   ， 由于 ln( ) xf x x  在 x e 时为减函数，可知： a e 时， 2a ee a a  . 从而 2( ) 0ag a e a   ， ∴ ( )g x 在 (0,ln )a 和 (ln , )a  上各有一个零点. 综上讨论可知： a e 时 ( )f x 有两个零点，即所求 a 的取值范围是 ( , )e  . 22.解：（1）由l ： cos sin 10 0      ，及 cosx   ， siny   . ∴l 的方程为 2 10 0x y   . 由 3cosx  ， 2siny  ，消去 得 2 2 19 4 x y  . （2）在C 上取点 (3cos ,2sin )M   ，则 3cos 4sin 10 5 d    0 1 5cos( ) 10 5      . 其中 0 0 3cos 5 4sin 5       ， 当 0  时， d 取最小值 5 . 此时 0 93sin 3cos 5    ， 0 0 82sin 2cos 5    ， 9 8( , )5 5M . 23.解：（1）在 2a  时， 2 2 2 1x x    . 在 1x  时， (2 2) ( 2) 1x x    ，∴1 5x  ； 在 2x   时， (2 2) ( 2) 1x x     ， 3x  ，∴ x 无解； 在 2 1x   时， (2 2) ( 2) 1x x     ， 1 3x   ，∴ 1 13 x   . 综上可知：不等式 ( ) 1f x  的解集为 1{ | 5}3x x   . （2）∵ 2 2 4x ax    恒成立， 而 2 2 (1 )x ax a x     ， 或 2 2 (1 ) 4x ax a x      ， 故只需 (1 ) 4a x  恒成立，或 (1 ) 4 4a x   恒成立， ∴ 1a   或 1a  . ∴ a 的取值为1或 1 .