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- 2021-06-15 发布
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课时提升作业(十一)
椭圆方程及性质的应用
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆C： + =1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为 ( )
A.1 B.1 或 2 C.2 D.0
【解析】选 C.因为直线过定点(3，-1)且 + <1，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直
线 l 与椭圆有 2 个公共点.
2.点 A(a，1)在椭圆 + =1 的内部，则 a 的取值范围是 ( )
A.-
C.-2b>0)，则
①点 P 在椭圆外⇔ + >1；
②点 P 在椭圆上⇔ + =1；
③点 P 在椭圆内⇔ + <1.
3.(2015·马鞍山高二检测)已知椭圆 C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右顶
点为 A，上顶点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 |F1F2|，则椭圆 C 的离心率 e=
( )
A. B. C. D.
【解析】选 A.设椭圆 C 的焦距为 2c(cb>0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意
一点，且 AM，BM 与两坐标轴均不平行，kAM，kBM 分别表示直线 AM，BM 的斜率，则 kAM·kBM=
( )
A.- B.- C.- D.-
【解析】选 B.设 A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则 B(-x1，-y1)，
kAM·kBM= · =
= =- .
【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取 A(a，0)，B(-a，0)，
M(0，b)，可得 kAM·kBM=- .
【补偿训练】(2015·衡水高二检测)如果 AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的任意一条与 x 轴不垂
直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为 AB 的中点，则 kAB·kOM 的值为 ( )
A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2
【解析】选 C.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 M(x0，y0)，
则 + =1， + =1，两式作差得
=
所以 kAB·kOM= · = = =e2-1.
5.AB 为过椭圆 + =1(a>b>0)中心的弦，F1(c，0)为椭圆的右焦点，则△AF1B 面积的最大
值是 ( )
A.b2 B.ab C.ac D.bc
【解析】选 D.如图， = + =2 .
又因为|OF1|=c 为定值，
所以点 A 与(0，b)重合时，OF1 边上的高最大，
此时 的面积最大为 bc.
所以 的最大值为 bc.
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，
则△OAB 的面积为________.
【解析】将椭圆与直线方程联立：
解得交点 A(0，-2)，B .设右焦点为 F，
则 S△OAB= ·|OF|·|y1-y2|= ×1×| +2|
= .
答案：
7.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M，N 两点，原点 O 与线段 MN 的中点 P 连线的斜率为 ，
则 的值是________.
【解析】由 消去 y，
得(m+n)x2-2nx+n-1=0.
则 MN 的中点 P 的坐标为 .
所以 kOP= = .
答案：
8.(2015·宁波高二检测)已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，满足 · =0 的点 M 总在
椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.
【解析】由 · =0，得以 F1F2 为直径的圆在椭圆内，于是 b>c，于是 a2-c2>c2，所
以 0b>0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率为 .直线 y=k(x-1)与椭
圆 C 交于不同的两点 M，N.
(1)求椭圆 C 的方程.
(2)当△AMN 的面积为 时，求 k 的值.
【解析】(1)由题意得 解得 b= .
所以椭圆 C 的方程为 + =1.
(2)由
得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
Δ=24k2+16>0.
设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则 y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2= ，
x1x2= ，
所以|MN|=
=
= .
又因为点 A(2，0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= ，
所以△AMN 的面积为 |MN|·d= .
由 = ，解得 k=±1.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.已知椭圆 C 的方程为 + =1(m>0)，如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的
射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 ( )
A.2 B.2 C.8 D.2
【解析】选 B.根据已知条件 c= ，则点
在椭圆 + =1(m>0)上，
所以 + =1，可得 m=2 .
2.(2015·福建高考)已知椭圆 E： + =1(a>b>0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直
线 l：3x-4y=0 交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF|+|BF|=4，点 M 到直线 l 的距离不小于 ，则椭
圆 E 的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选 A.不妨设左焦点为 F2，连接 AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形 AFBF2 的对角
线互相平分，所以四边形 AFBF2 为平行四边形，所以 + = + =2a=4，
所以 a=2，设 M(0，b)，所以 d= b≥ ⇒b≥1，
所以 e= = ≤ = ，又 e∈(0，1)，所以 e∈ .
【补偿训练】过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦 MN 的长为
( )
A. B. C. D.
【解题指南】求出过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线方程，代入椭圆 +y2=1，可得
一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦 MN 的长.
【解析】选 A.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为椭圆 +y2=1 右焦点坐标为( ，0)，
所以过椭圆 +y2=1 右焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ，
代入椭圆 +y2=1，可得 +(x- )2=1，即 5x2-8 x+8=0，所以 x1+x2= ，x1x2= ，
所以|MN|= ·
= · = .
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.(2015·济南高二检测)已知对 k∈R，直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点，则实数
m 的取值范围是________.
【解析】因为直线 y-kx-1=0 过定点(0，1)，
要使直线和椭圆恒有公共点，
则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即 + ≤1，
整理，得 ≤1，解得 m≥1.
又方程 + =1 表示椭圆，所以 m>0 且 m≠5，
综上 m 的取值范围为 m≥1 且 m≠5.
答案：m≥1 且 m≠5
4.(2015·无锡高二检测)若倾斜角为 的直线交椭圆 +y2=1 于 A，B 两点，则线段 AB 的中
点的轨迹方程是________________.
【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为 y=x+b，代入椭圆方程得 5x2+8bx+4(b2-1)=0，由
根与系数的关系及中点的定义，可得 x+4y=0，
由Δ>0，得- 0
所以 x1+x2=3，x1x2=-8.
所以线段 AB 的长度为
|AB|=
=
= = = .
6.(2014·陕西高考)已知椭圆 + =1(a>b>0)经过点(0， )，
离心率为 ，左、右焦点分别为 F1(-c，0)，F2(c，0).
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线 l：y=- x+m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的
圆交于 C，D 两点，且满足 = ，求直线 l 的方程.
【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及 a，b，c 间的关系，列方程组得
解.(2)先利用直线与圆相交求得弦 CD 的长，再利用椭圆与直线相交得 AB 的长，通过解方程
得 m 值从而得解.
【解析】(1)由题设知
解得 a=2，b= ，c=1，
所以椭圆的方程为 + =1.
(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1，
所以圆心到直线的距离 d= .
由 d<1 得|m|< . (*)
所以|CD|=2 =2 = .
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 得 x2-mx+m2-3=0，
由根与系数的关系可得 x1+x2=m，x1x2=m2-3.
所以|AB|=
= .
由 = 得 =1，解得 m=± ，满足(*)，
所以直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- .
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