2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1 50页

1.2 　集合间的基本关系 必备知识 · 自主学习 导思 1. 子集、真子集是如何定义和表示的？ 2. 如何利用集合间的包含关系定义两个集合相等？ 3. 通常用什么图形表示集合之间的关系？ 4. 空集的定义是什么？关于空集有哪些结论？ 1.Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图 . 2. 两个集合之间的关系 (1) 子集 【 思考 】 符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示： ① “∈”是表示元素与集合之间的关系，比如 1∈N ， -1∉N. ② “⊆” 是表示集合与集合之间的关系，比如 N⊆R ， {1 ， 2 ， 3}⊆{3 ， 2 ， 1}. ③ “∈” 的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合 . 　 (2) 集合相等 (3) 真子集 (4) 本质：集合之间的关系是对集合深入认识的开始，同时也是集合在整个高中学习应用的基础和关键，是能否理解和掌握集合知识的重要部分 . (5) 应用：①用数学语言表达集合之间的关系 .② 求参数的值或范围 . 【 思考 】 集合 M ， N 是两个至少含有一个元素的集合，试画图说明这两个集合关系有哪几种？ 提示： 有以下五种关系 3. 空集 (1) 定义： _____________ 的集合叫做空集，记为⌀ . (2) 规定： _____ 是任何集合的子集 . 不含任何元素 空集 【 思考 】 ⌀ 与 0 ， {0} ， {⌀} 有何区别？ 提示： 4. 集合间关系的性质 (1) 任何一个集合都是它 本身的子集，即 ____. (2) 对于集合 A ， B ， C ，若 A⊆B ，且 B⊆C ，则 ____. A ⊆ A A ⊆ C 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 任何一个集合都有子集 . ( 　　 ) (2) 空集是任何集合的真子集 . ( 　　 ) (3)A⊆B 的含义是 A B 或 A=B. ( 　　 ) 提示： (1)√. 任何一个集合都是其本身的子集 . (2) × . 空集是任何非空集合的真子集 . (3)√. 若 A 是 B 的子集，则说明这两个集合的关系有以下两种可能： A 是 B 的真子集或 A 与 B 相等 . 2. 给出下列四个集合， (1){0}.(2){x|x>7 ，且 x<1}. (3){x|x>4}.(4){x∈Z|x 2 -2=0}. 其中空集的个数为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 B. 满足 x>7 且 x<1 的实数不存在， 故 {x|x>7 ，且 x<1}=⌀. 因为 x 2 -2=0 的解为 ± ，不是整数， 所以 {x∈Z|x 2 -2=0}=⌀. 另外两个集合显然不是空集 . 故空集的个数为 2. 3.( 教材二次开发：习题改编 ) 用适当的符号填空： (1)2_______{x|x 2 =2x}.  (2){3 ， 4 ， 8}_______Z.  (3){x|x 是平行四边形 }_______{x|x 是中心对称图形 }.  (4){x|x<1}_______ 　 {x|x<2}.  【 解析 】 (1) 因为 {x|x 2 =2x}={0 ， 2} ，所以 2∈{x|x 2 =2x} ； (2) 因为 3 ， 4 ， 8 都是整数，所以 {3 ， 4 ， 8} Z ； (3) 因为平行四边形是中心对称图形，所以 {x|x 是平行四边形 } {x|x 是中心对 称图形 } ； (4) 显然对于任意 x∈{x|x<1} ，必有 x∈{x|x<2} ， 且 1.5∈{x|x<2} ，但 1.5∉{x|x<1} ， 所以 {x|x<1} {x|x<2}. 答案： (1)∈ 　 (2) 　 (3) 　 (4) 关键能力 · 合作学习 类型一　集合的子集、真子集问题 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 合肥高一检测 ) 集合 A={x|0≤x<3 ， x∈N} 的真子集的个数是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.16 B.8 C.7 D.4 2.(2020· 台州高一检测 ) 已知集合 A={x|x 2 +x=0 ， x∈R} ，则集合 A=_______. 若集合 B 满足 {0} B⊆A ，则集合 B=_______.  3. 已知集合 A={(x ， y)|x+y=2 ， x ， y∈N} ，试写出 A 的所有子集 . 【 解析 】 1. 选 C. 由已知得， A={0 ， 1 ， 2} ，此集合的真子集为⌀， {0} ， {1} ， {2} ， {0 ， 1} ， {0 ， 2} ， {1 ， 2} 共 7 个 . 2. 因为解方程 x 2 +x=0 ，得 x=-1 或 x=0 ， 所以集合 A={x|x 2 +x=0 ， x∈R}={-1 ， 0} ， 因为集合 B 满足 {0} B⊆A ， 所以集合 B={-1 ， 0}. 答案： {-1 ， 0} 　 {-1 ， 0} 3. 因为 A={(x ， y)|x+y=2 ， x ， y∈N} ， 所以 A={(0 ， 2) ， (1 ， 1) ， (2 ， 0)}. 所以 A 的子集有： ， {(0 ， 2)} ， {(1 ， 1)} ， {(2 ， 0)} ， {(0 ， 2) ， (1 ， 1)} ， {(0 ， 2) ， (2 ， 0)} ， {(1 ， 1) ， (2 ， 0)} ， {(0 ， 2) ， (1 ， 1) ， (2 ， 0)}. 【 解题策略 】 1. 求集合子集、真子集的步骤 2. 求元素个数有限的集合的子集的两个关注点 (1) 要注意两个特殊的子集： 和自身 . (2) 按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏 . 【 补偿训练 】 　　　设 A={x|(x 2 -16)(x 2 +5x+4)=0} ，写出集合 A 的子集，并指出其中哪些是 它的真子集 . 【 解析 】 由 (x 2 -16)(x 2 +5x+4)=0 ，得 (x-4)(x+1)(x+4) 2 =0 ， 则方程的根为 x=-4 或 x=-1 或 x=4. 故集合 A={-4 ， -1 ， 4} ， 由 0 个元素构成的子集为： . 由 1 个元素构成的子集为： {-4} ， {-1} ， {4}. 由 2 个元素构成的子集为： {-4 ， -1} ， {-4 ， 4} ， {-1 ， 4}. 由 3 个元素构成的子集为： {-4 ， -1 ， 4}. 因此集合 A 的子集为： ， {-4} ， {-1} ， {4} ， {-4 ， -1} ， {-4 ， 4} ， {-1 ， 4} ， {-4 ， -1 ， 4}. 真子集为： ， {-4} ， {-1} ， {4} ， {-4 ， -1} ， {-4 ， 4} ， {-1 ， 4}. 【 拓展延伸 】 与子集、真子集个数有关的 3 个结论 (1) 假设集合 A 中含有 n 个元素，则有： A 的子集的个数为 2 n 个； (2)A 的真子集的个数为 (2 n -1) 个 . (3)A 的非空真子集的个数为 (2 n -2) 个 . 【 拓展训练 】 1. 设含有 4 个元素的集合的全部子集数为 S ，其中由 2 个元素组成的子集数为 T ，则 的值为 _______.  【 解析 】 含有 4 个元素的集合的全部子集数 S=2 4 =16 ，其中由 2 个元素组成的子 集数 T=6 ，则 答案： 2. 设集合 A={x∈Z|-1≤x+1≤6} ，求 A 的非空真子集的个数 . 【 解析 】 化简集合 A 得 A={x∈Z|-2≤x≤5}. 因为 x∈Z ，所以 A={-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 即 A 中含有 8 个元素， 所以 A 的非空真子集个数为 2 8 -2=254( 个 ). 类型二　集合间关系的判断 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1.(2020· 抚州高一检测 ) 设集合 A= 则集合 A 与 B 的关系是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.A⊆B B.B⊆A C.A=B D.A 与 B 关系不确定 2.(2020· 太原高一检测 ) 在下列各组中的集合 M 与 N 中，使 M=N 的是 ( 　　 ) A.M={(1 ， -3)} ， N={(-3 ， 1)} B.M= ， N={0} C.M={y|y=x 2 +1 ， x∈R} ， N={(x ， y)|y=x 2 +1 ， x∈R} D.M={y|y=x 2 +1 ， x∈R} ， N={t|t=(y-1) 2 +1 ， y∈R} 3. 判断下列两个集合之间的关系： (1)P={x|x=2n ， n∈Z} ， Q={x|x=4n ， n∈Z}. (2)P={x|x-3>0} ， Q={x|2x-5≥0}. (3)P={x|x 2 -x=0} ， Q= 【 思路导引 】 1. 先把两个集合中元素满足的等式适当变形，统一形式，然后根据子集的定义判断 . 2. 先明确集合中元素是数、点还是其他，然后判断两个集合的元素是否一样 . 3. 先分析或计算判断各组中两个集合是由哪些元素构成的，然后确定两个集合的关系 . 【 解析 】 1. 选 B. 因为 当 k∈Z 时， k+2 为整数， 2k+1 为奇数，所以 B⊆A. 2. 选 D. 在 A 中， M 和 N 表示点集，因为 (1 ， -3) 和 (-3 ， 1) 是不同的点，所以 M≠N. 在 B 中， M 是空集， N 是单元素集，所以 M≠N. 在 C 中， M 是数集， N 是点集，所以 M≠N. 在 D 中， M={y|y=x 2 +1 ， x∈R}={y|y≥1} ， N={t|t=(y-1) 2 +1 ， y∈R}={t|t≥1} ， 所以 M=N. 3.(1) 因为 P 是偶数集， Q 是 4 的倍数集，所以 Q P ； (2)P={x|x-3>0}={x|x>3} ， Q={x|2x-5≥0}= . 所以 P Q. (3)P={x|x 2 -x=0}={0 ， 1}. 在 Q 中，当 n 为奇数时， x= =0 ，当 n 为偶数时， x= =1 ，所以 Q={0 ， 1} ，所以 P=Q. 【 解题策略 】 1. 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 2. 证明集合相等的两种方法 (1) 用两个集合相等的定义，证明两个集合 A ， B 中的元素全部相同，即可证明 A=B. (2) 证明 A⊆B ，同时 B⊆A ，推出 A=B. 【 补偿训练 】 判断下列各组中集合之间的关系： (1)A={x|x 是 12 的约数 } ， B={x|x 是 36 的约数 }. (2)A={x|x 2 -x=0} ， B={x∈R|x 2 +1=0}. (3)A={x|x 是等边三角形 } ， B={x|x 是等腰三角形 }. 【 解析 】 (1) 因为若 x 是 12 的约数，则必定是 36 的约数，反之不成立，所以 A B. (2) 因为 A={x|x 2 -x=0}={0 ， 1} ， B={x∈R|x 2 +1=0}=⌀ ，所以 B A. (3) 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形， 所以 A B. (4) 方法一：对于集合 M ，其组成元素是 分子部分表示所有的整数； 对于集合 N ，其组成元素是 +n= 分子部分表示所有的奇数 . 由真子集的概念知， N M. 方法二：用列举法表示集合如下： 所以 N M. 类型三　由集合间的关系求参数的值或取值范围 ( 直观想象 ) 【 典例 】 (2020· 临沂高一检测 ) 已知集合 A={x|x<-1 或 x>4} ， B={x|2a≤x≤a+3} ，若 B⊆A ，求实数 a 的取值范围 . 【 解题策略 】 1. 由集合之间的包含关系求参数的两类问题 (1) 若集合中的元素是一一列举的，依据集合之间的关系，可转化为解方程 ( 组 ) 求解，此时要注意集合中元素的互异性 . (2) 若集合中的元素由不等式 ( 组 ) 限制，常借助于数轴转化为不等式 ( 组 ) 求解，此时要注意端点值能否取到 . 2. 由集合之间的包含关系求参数的一个关注点 空集是任何集合的子集，因此在解 A⊆B(B≠ ) 的含参数的问题时，要注意 讨论 A= 和 A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面 . 【 跟踪训练 】 已知集合 A={x|-2≤x≤5} ， B={x|m-6≤x≤2m-1} ，若 B⊆A ，求实数 m 的取值范 围 . 【 解题指南 】 分 B= 和 B≠ 两种情况讨论， B≠ 时根据 B⊆A 列不等式组 求 m 的取值范围 . 【 解析 】 (1) 当 B= 时，有 m-6>2m-1 ， 则 m<-5 ，此时 B⊆A 成立 . (2) 当 B≠ 时， B⊆A ，此时满足 不等式组解集为 . 由 (1)(2) 知，实数 m 的取值范围是 {m|m<-5}. 课堂检测 · 素养达标 1. 设 A ， B 是全集 I={1 ， 2 ， 3 ， 4} 的子集， A={1 ， 2} ， 则满足 A⊆B 的 B 的个数是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.4 C.3 D.2 【 解析 】 选 B. 满足条件的集合 B 可以是 {1 ， 2} ， {1 ， 2 ， 3} ， {1 ， 2 ， 4} ， {1 ， 2 ， 3 ， 4} ，所以满足 A⊆B 的 B 的个数是 4. 2. 若集合 M={x|x≤6} ， a=2 ，则下面结论中正确的是 ( 　　 ) A.{a} M B.a M C.{a}∈M D.a∉M 【 解析 】 选 A. 由集合 M={x|x≤6} ， a=2 ， 知：在 A 中， {a} M ，故 A 正确； 在 B 中， a∈M ，故 B 错误； 在 C 中， {a}⊆M ，故 C 错误； 在 D 中， a∈M ，故 D 错误 . 3.( 教材二次开发：习题改编 ) 设集合 A={x|02. (2) 若 B⊆A ，由图可知， 1≤a≤2. 集合间的 基本关系 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 空集：无任何元素   相等：两集合的元素完全相同 （ 1 ）求子集时，注意不要漏掉空集和集合本身 （ 2 ）解含参集合问题时，注意用到分类讨论思想 数学运算：通过集合间的关系判断或求参数，培养数学运算的核心素养 求子集的方法： （ 1 ）分类讨论：按照元素个数从 0 到 n 依次列举出子集； （ 2 ）用树状图：协助写出子集 判断集合关系方法： （ 1 ）观察法：一一列举观察； （ 2 ）元素特征法：先确定元素，再根据元素特征判断； （ 3 ）数形结合法：利用数轴或 Venn 图