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- 2021-06-15 发布
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2014高考数学必考热点分类集中营9
【命题意图猜想】
1.在2010年和2011年高考中,2010年没有考查二项式定理,但2011年考查一道,主要考查二项式定理系数和、通项公式的应用,且有一定的难度.在2012年本考点没有考查.故本热点具有隔年考查的特点,并且难度控制时高时低。猜想2013年高考题很有可能考查,考查估计难度应为中低档,与积分或复数计算相联系均有可能。为此,我们需全面掌握各种类型,以不变应万变.
2.从近几年的高考试题来看,考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数;以考查基本概念、基础知识为主,如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等;难度不大,属于中档题和容易题,题型为选择题或填空题.预测2013年高考,求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点,同时应注意二项式系数性质的应用.
【最新考纲解读】
二项式定理
(1)能用计数原理证明二项式定理.
(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【回归课本整合】
1. 二项式定理的展开式
2. ,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数;展开式共有n+1项.
注意:(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数。如在的展开式中,第r+1项的二项式系数为,第r+1项的系数为;而的展开式中的系数就是二项式系数;(2)当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数;(3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数?(4)特例:
2.二项式定理的通项
二项展开式中第r+l项称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项:求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性.
注意:通项公式是表示第项,而不是第项.展开式中第项的二项式系数
与第项的系数不同.通项公式中含有五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程(或方程组).这里必须注意是正整数,是非负整数且≤.
3.项的系数和二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等().
(2)增减性与最大值:
当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,C的值逐渐减小,且在中间取得最大值。当n为偶数时,中间一项(第+1项)的二项式系数取得最大值。当n为奇数时,中间两项(第和+1项)的二项式系数相等并同时取最大值.
(3)各二项式系数和:∵,令,则 ,
(4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地:当很小时,有.
【方法技巧提炼】
1. 如何把握转化类似二项式结构
二项式定理作为一个重要的知识点,几乎每年高考都要涉及一道.其中对于二项式结构的延伸和扩展是一个重点,丰富多彩的结构犹如“乱花”,迷住了不少同学的“眼”,如何把握?
(1)二项式展开式结构:根据给出的结构特征,通过拼凑使其满足二项式定理展开式的特点,然后合并,从而达到化简作用.
(2)结构:①若n、m中一个比较小,可考虑把它展开得到多个;②观察是否可以合并;③分别得到的通项公式,综合考虑.
(3)结构:①,即把其中两项看作一项,然后展开求解;②即利用公式把三项变成二项.
(4)结构:观察各项是否组成等比数列,若是可利用求和公式合并然后求解;若不能,就分别求解.
(5)结构:,然后展开分析求解.
2.赋值法的应用
由于二项式定理是一个恒等式,对于的一切取值均成立,因此可将设定为一些特殊的值.使用赋值法时,令取多少,应视情况而定,常见常见的赋值有0,1,-1.应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为,以及“偶数 (奇次)项”系数和为。
3. 系数最大项的求法
对于的系数最大项,设第项的系数最大,由不等式组确定.若给出的是的结构,因各项之间正负相间,因此先转换为的最大项,然后分析哪一项满足条件.
4. 应用的关系解题
由
得到关系:两个展开式的奇数项的系数一样,偶数项的系数互为相反数;
【考场经验分享】
1.区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.项的系数与a,b有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正.
2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.
3.求展开式中的指定项,要把该项完整写出,不能仅仅说明是第几项.
4.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1.
5.在化简求值时,注意二项式定理的逆用.要用整体思想看待a、b.
6.本热点,一般位置在填空题的前两道或选择题的中间位置,试题难度中低档,故为得全分的题目,试题的解法比较固定,抓住通项公式是关键,仔细运算是根本,灵活赋值是保证.在整理通项公式的时候,务必认真仔细,尤其是-1的次幂,不要想当然,一般可采用将演算过程清楚的呈现,然后再检查一遍是否忽略.
【新题预测演练】
1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】若的展开式中第四项为常数项,则( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】若,则的常数项为( )
A. B.12 C. D.
3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练】设,则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
4.【内江市2013届高中三年级第一次模拟考试试题】在的展开式中,x的幂指数为整数的项共有( )
A、3项 B、4项 C、5项 D、6项
6.【山西省忻州实验中学2013届高三第一次月考摸底】是的展开式中含有常数项的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知=,则展开式中的常数项为
A. B. C. D.
8.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】
的展开式中含的正整数指数幂的项数是( )
A.0 B.2 C.4 D.6
9.【山西大学附属中学2013届高三3月第二次月考】
,则。
10.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】 在的展开式中,常数项为______.(用数字作答)
11.【安徽省2013届高三开年第一考】二项式的展开式所有有理项的系数和
等于 (用数字作答)
12.【2013届安徽省示范高中高三3月模底考试】已知(x2+)n的展开式的各系数和为32,则展开式中x的系数为____
令
13.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】在的展开式中,含的项的系数是
14.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】若二项式的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式中的系数为 .(用数字作答)
15.【江西省临川二中2013届高三3月月考】已知,则展开式中的常数项为 。
16.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】在的展开式中,项的系数为,则实数的值为 .