高科数学专题复习课件：第九章 9_7抛物线 84页

§9.7 　抛物线 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F ) 的 距离 的 点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线 的 ， 直线 l 叫做抛物线 的 . 知识梳理 焦点 相等 准线 2. 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0) y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x 2 ＝ 2 py ( p >0) x 2 ＝－ 2 py ( p >0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O (0,0) 对称轴 y ＝ 0 x ＝ 0 焦点 F F F F 离心率 e ＝ 1 准线方程 x ＝－ x ＝ y ＝－ y ＝ 范围 x ≥ 0 ， y ∈ R x ≤ 0 ， y ∈ R y ≥ 0 ， x ∈ R y ≤ 0 ， x ∈ R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1. 抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 到焦点 F 的 距离 | PF | ＝ x 0 ＋ ， 也称为抛物线的焦半径 . 2. y 2 ＝ ax 的焦点坐标 为 ， 准线方程为 x ＝－ . 3. 设 AB 是过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 焦点 F 的弦， 若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 (1) x 1 x 2 ＝ ， y 1 y 2 ＝－ p 2 . (2) 弦长 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ ( α 为弦 AB 的倾斜角 ). (3) 以弦 AB 为直径的圆与准线相切 . (4) 通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2 p ，通径是过焦点最短的弦 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 .( 　　 ) (2) 方程 y ＝ ax 2 ( a ≠ 0) 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ( ， 0) ，准线方程是 x ＝－ .( 　　 ) (3) 抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 .( 　　 ) (4) AB 为抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的过焦点 F ( ， 0) 的弦，若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 x 2 ＝ ， y 1 y 2 ＝－ p 2 ，弦长 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p .( 　　 ) × × √ × 思考辨析 考点自测 A.(0,2) B .(0,1) C.(2,0) D .(1,0) 答案 解析 1.(2016· 四川 ) 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点坐标 是 ∵ 对于抛物线 y 2 ＝ ax ，其焦点 坐标为 ， ∴ 对于 y 2 ＝ 4 x ，焦点坐标为 (1,0). A.9 B.8 C.7 D.6 答案 解析 2.(2016· 甘肃张掖一诊 ) 过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) 两点，如果 x 1 ＋ x 2 ＝ 6 ，则 | PQ | 等于 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F (1,0) ，准线方程为 x ＝－ 1. 根据题意可得， | PQ | ＝ | PF | ＋ | QF | ＝ x 1 ＋ 1 ＋ x 2 ＋ 1 ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ 2 ＝ 8. 3. 设抛物线 y 2 ＝ 8 x 的准线与 x 轴交于点 Q ，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围 是 Q ( － 2,0) ，设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k 2 x 2 ＋ (4 k 2 － 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0 ， 由 Δ ＝ (4 k 2 － 8) 2 － 4 k 2 ·4 k 2 ＝ 64(1 － k 2 ) ≥ 0 ， 解得－ 1 ≤ k ≤ 1. 答案 解析 A. B . [ － 2 , 2 ] C. [ － 1 , 1 ] D . [ － 4 , 4 ] 几何画板展示 4.( 教材改编 ) 已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P ( － 2 ，－ 4) ，则该抛物线的标准方程为 _________________. 设抛物线方程为 y 2 ＝ 2 px ( p ≠ 0) 或 x 2 ＝ 2 py ( p ≠ 0). 将 P ( － 2 ，－ 4) 代入，分别得方程为 y 2 ＝－ 8 x 或 x 2 ＝－ y . 答案 解析 y 2 ＝－ 8 x 或 x 2 ＝－ y 5.(2017· 合肥 调研 ) 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的准线与圆 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 7 ＝ 0 相切，则 p 的值为 ________. 2 答案 解析 抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的准线为 x ＝－ ， 圆 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 7 ＝ 0 ，即 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 16 ， 则圆心为 (3,0) ，半径为 4. 又因为抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的准线与圆 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 7 ＝ 0 相切 ， 所以 3 ＋ ＝ 4 ， 解得 p ＝ 2. 题型分类　深度剖析 题型一　抛物线的定义及应用 例 1 　设 P 是抛物线 y 2 ＝ 4 x 上的一个动点，若 B (3,2) ，则 | PB | ＋ | PF | 的最小值为 ________. 答案 解析 4 如图，过 点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q ， 交 抛物线于点 P 1 ， 则 | P 1 Q | ＝ | P 1 F |. 则有 | PB | ＋ | PF | ≥ | P 1 B | ＋ | P 1 Q | ＝ | BQ | ＝ 4 . 即 | PB | ＋ | PF | 的最小值为 4 . 几何画板展示 引申探究 1. 若将本例中的 B 点坐标改为 (3,4) ，试求 | PB | ＋ | PF | 的最小值 . 解答 由 题意可知点 (3,4) 在抛物线的外部 . ∵ | PB | ＋ | PF | 的最小值即为 B ， F 两点间的距离， 几何画板展示 2 . 若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为 y 2 ＝ 4 x ，直线 l 的方程为 x － y ＋ 5 ＝ 0 ，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d 1 ，到直线 l 的距离为 d 2 ，求 d 1 ＋ d 2 的最小值 . 解答 由 题意知，抛物线的焦点为 F (1,0). 点 P 到 y 轴的距离 d 1 ＝ | PF | － 1 ， 所以 d 1 ＋ d 2 ＝ d 2 ＋ | PF | － 1. 易知 d 2 ＋ | PF | 的最小值为点 F 到直线 l 的距离 ， 所以 d 1 ＋ d 2 的最小值为 3 － 1 . 几何画板展示 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关 . 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 . “ 看到准线想焦点，看到焦点想准线 ” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 设 P 是抛物线 y 2 ＝ 4 x 上的一个动点，则点 P 到点 A ( － 1,1) 的距离与点 P 到直线 x ＝－ 1 的距离之和的最小值为 ______. 答案 解析 如图 ，易 知抛物线的焦点为 F (1,0) ，准线是 x ＝－ 1 ， 由抛物线的定义知：点 P 到直线 x ＝－ 1 的距离 等于点 P 到 F 的距离 . 于是 ，问题转化为在抛物线上求一点 P ， 使 点 P 到点 A ( － 1,1) 的距离与点 P 到 F (1,0) 的距离之和最小 ， 显然 ，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点 ， 此时 最小值 为 . 几何画板展示 题型二　抛物线的标准方程和几何性质 命题点 1 　求抛物线的标准方程 例 2 　已知双曲线 C 1 ： ( a >0 ， b >0) 的离心率为 2. 若抛物线 C 2 ： x 2 ＝ 2 py ( p >0) 的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2 ，则抛物线 C 2 的方程 为 　 C. x 2 ＝ 8 y D. x 2 ＝ 16 y 答案 解析 命题点 2 　抛物线的几何性质 例 3 　 已知 抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点为 F ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证 ： ( 1) y 1 y 2 ＝－ p 2 ， x 1 x 2 ＝ ； 证明 由已知得抛物线焦点坐标为 ( ， 0). 则 y 1 ， y 2 是方程 (*) 的两个实数根，所以 y 1 y 2 ＝－ p 2 . 证明 证明 (3) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 . 设 AB 的中点为 M ( x 0 ， y 0 ) ，分别过 A ， B 作准线的垂线 ， 垂足 为 C ， D ，过 M 作准线的垂线，垂足为 N ， 则 | MN | ＝ (| AC | ＋ | BD |) ＝ (| AF | ＋ | BF |) ＝ | AB |. 所以 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 . (1) 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 . ( 2) 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1)(2016· 全国乙卷 ) 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A ， B 两点，交 C 的准线于 D ， E 两点 . 已知 | AB | ＝ 4 ， | DE | ＝ 2 ， 则 C 的焦点到准线的 距离为 A.2 B.4 C.6 D.8 答案 解析 不妨设抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，则圆的方程可设为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( r >0) ，如图，又可设 A ( x 0, 2 ) ， D ， 点 A ( x 0, 2 ) 在抛物线 y 2 ＝ 2 px 上， ∴ 8 ＝ 2 px 0 ， ① 点 A ( x 0, 2 ) 在 圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上， ∴ x ＋ 8 ＝ r 2 ， ② 点 D 在 圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上， ∴ 5 ＋ 2 ＝ r 2 ， ③ 联 立 ①②③ ，解得 p ＝ 4 ，即 C 的焦点到准线的距离为 p ＝ 4 ，故选 B. (2)(2016· 昆明三中、玉溪一中统考 ) 抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点为 F ，已知点 A 、 B 为抛物线上的两个动点，且满足 ∠ AFB ＝ 120°. 过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ， 则 的 最大值 为 答案 解析 A. B.1 C . D.2 设 | AF | ＝ a ， | BF | ＝ b ，分别过 A 、 B 作准线的垂线，垂足分别为 Q 、 P ， 由抛物线的定义知， | AF | ＝ | AQ | ， | BF | ＝ | BP | ， 在梯形 ABPQ 中， 2| MN | ＝ | AQ | ＋ | BP | ＝ a ＋ b . | AB | 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos 120° ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ ab ＝ ( a ＋ b ) 2 － ab . 题型三　直线与抛物线的综合问题 命题点 1 　直线与抛物线的交点 问题 例 4 　 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 与点 M ( － 2,2) ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A 、 B 两点 . 若 ＝ 0 ，则 k ＝ ________. 答案 解析 2 抛物线 C 的焦点为 F (2,0) ，则直线方程为 y ＝ k ( x － 2) ，与抛物线方程联立，消去 y 化简得 k 2 x 2 － (4 k 2 ＋ 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0. 设点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 4 ＋ ， x 1 x 2 ＝ 4 . 所以 y 1 ＋ y 2 ＝ k ( x 1 ＋ x 2 ) － 4 k ＝ ， y 1 y 2 ＝ k 2 [ x 1 x 2 － 2( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4 ] ＝－ 16 . 因为 ＝ ( x 1 ＋ 2 ， y 1 － 2)·( x 2 ＋ 2 ， y 2 － 2) ＝ ( x 1 ＋ 2)( x 2 ＋ 2) ＋ ( y 1 － 2)( y 2 － 2) ＝ x 1 x 2 ＋ 2( x 1 ＋ x 2 ) ＋ y 1 y 2 － 2( y 1 ＋ y 2 ) ＋ 8 ＝ 0 ， 将 上面各个量代入，化简得 k 2 － 4 k ＋ 4 ＝ 0 ，所以 k ＝ 2. 命题点 2 　与抛物线弦的中点有关的问题 例 5 　 (2016· 全国丙卷 ) 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l 1 ， l 2 分别交 C 于 A ， B 两点，交 C 的准线于 P ， Q 两点 . ( 1) 若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明： AR ∥ FQ ； 证明 几何画板展示 记过 A ， B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2 x － ( a ＋ b ) y ＋ ab ＝ 0 . 由于 F 在线段 AB 上，故 1 ＋ ab ＝ 0. 记 AR 的斜率为 k 1 ， FQ 的斜率为 k 2 ， 所以 AR ∥ FQ . (2) 若 △ PQF 的面积是 △ ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 . 解答 几何画板展示 设过 AB 的直线为 l ，设 l 与 x 轴的交点为 D ( x 1, 0 ) ， 所以 x 1 ＝ 1 ， x 1 ＝ 0( 舍去 ). 设满足条件的 AB 的中点为 E ( x ， y ). 当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，此时 E 点坐标为 (1,0) ， 所以，所求轨迹方程为 y 2 ＝ x － 1( x ≠ 1). (1) 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系 . (2) 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点 . 若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 . (3) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “ 设而不求 ” 、 “ 整体代入 ” 等解法 . 提醒 ：涉及弦的中点、斜率时一般用 “ 点差法 ” 求解 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 ( 2017· 北京东城区质检 ) 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点为 F ，直线 y ＝ 4 与 y 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，且 | QF | ＝ | PQ |. (1) 求 C 的方程； 解答 设 Q ( x 0, 4) ，代入 y 2 ＝ 2 px ，得 x 0 ＝ . 所以 | PQ | ＝ ， | QF | ＝ ＋ x 0 ＝ . 由 题设 得 ， 解 得 p ＝－ 2( 舍去 ) 或 p ＝ 2 . 所以 C 的方程为 y 2 ＝ 4 x . (2) 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，若 AB 的垂直平分线 l ′ 与 C 相交于 M 、 N 两点，且 A 、 M 、 B 、 N 四点在同一圆上，求 l 的方程 . 解答 依题意知 l 与坐标轴不垂直， 故可设 l 的方程为 x ＝ my ＋ 1( m ≠ 0). 代入 y 2 ＝ 4 x ，得 y 2 － 4 my － 4 ＝ 0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 y 1 ＋ y 2 ＝ 4 m ， y 1 y 2 ＝－ 4 . 故 AB 的中点为 D (2 m 2 ＋ 1,2 m ) ， | AB | ＝ | y 1 － y 2 | ＝ 4( m 2 ＋ 1 ). 又 l ′ 的斜率为－ m ，所以 l ′ 的方程为 x ＝－ y ＋ 2 m 2 ＋ 3. 将上式代入 y 2 ＝ 4 x ，并整理得 y 2 ＋ y － 4(2 m 2 ＋ 3) ＝ 0. 设 M ( x 3 ， y 3 ) ， N ( x 4 ， y 4 ) ， 则 y 3 ＋ y 4 ＝ ， y 3 y 4 ＝－ 4(2 m 2 ＋ 3). 由于 MN 垂直平分 AB ， 故 A ， M ， B ， N 四点在同一圆上等价于 | AE | ＝ | BE | ＝ | MN | ， 从而 | AB | 2 ＋ | DE | 2 ＝ | MN | 2 ， 化简得 m 2 － 1 ＝ 0 ，解得 m ＝ 1 或 m ＝－ 1. 所 求直线 l 的方程为 x － y － 1 ＝ 0 或 x ＋ y － 1 ＝ 0. 典例　 (12 分 ) 已知抛物线 C ： y ＝ mx 2 ( m >0) ，焦点为 F ，直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 交抛物线 C 于 A ， B 两点， P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q . (1) 求抛物线 C 的焦点坐标； 答案模板系列 7 (2) 若抛物线 C 上有一点 R ( x R, 2) 到焦点 F 的距离为 3 ，求此时 m 的值； (3) 是否存在实数 m ，使 △ ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 . 答题模板 思维点拨 直线 与圆锥曲线问题的求解策略 规范解答 解 (1) ∵ 抛物线 C ： x 2 ＝ y ， ∴ 它的焦点 F (0 ， ). [ 2 分 ] 消去 y 得 mx 2 － 2 x － 2 ＝ 0 ， 依题意，有 Δ ＝ ( － 2) 2 － 4 × m × ( － 2)>0 ⇒ m > － . [ 6 分 ] (2) 得 ， ， ， 若存在实数 m ，使 △ ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则 ＝ 0 ， 返回 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于 x 或 y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出 Δ >0 时参数范 围 ( 或指出直线过曲线内一点 ) ； 第三步：根据题目要求列出关于 x 1 x 2 ， x 1 ＋ x 2 ( 或 y 1 y 2 ， y 1 ＋ y 2 ) 的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况 . 返回 课时作业 1.(2017· 昆明 调研 ) 已知抛物线 C 的顶点是原点 O ，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过 F 的直线与抛物线 C 交于 A 、 B 两点， 如果 ＝－ 12 ，那么抛物线 C 的方程 为 A. x 2 ＝ 8 y B. x 2 ＝ 4 y C. y 2 ＝ 8 x D. y 2 ＝ 4 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意，设抛物线方程为 y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，直线方程为 x ＝ my ＋ ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 y 1 ＋ y 2 ＝ 2 pm ， y 1 y 2 ＝－ p 2 ， 即抛物线 C 的方程为 y 2 ＝ 8 x . 2. 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2 ，则该抛物线的准线方程 为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A. x ＝ 1 B. x ＝－ 1 C. x ＝ 2 D. x ＝－ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点坐标为 ( ， 0) ， ∴ 过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y ＝ x － ， 即 y 2 － 2 py － p 2 ＝ 0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 y 1 ＋ y 2 ＝ 2 p ， ∴ ＝ p ＝ 2 ， ∴ 抛物线的方程为 y 2 ＝ 4 x ，其准线方程为 x ＝－ 1. 3.(2016 · 上饶 四 校联考 ) 设抛物线 C ： y 2 ＝ 3 px ( p >0) 的焦点为 F ，点 M 在 C 上， | MF | ＝ 5 ，若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ，则抛物线 C 的方程 为 A. y 2 ＝ 4 x 或 y 2 ＝ 8 x B. y 2 ＝ 2 x 或 y 2 ＝ 8 x C. y 2 ＝ 4 x 或 y 2 ＝ 16 x D. y 2 ＝ 2 x 或 y 2 ＝ 16 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ 抛物线 C ： y 2 ＝ 3 px ( p >0) 的焦点为 F ( ， 0) ， ∴ | OF | ＝ ， ∵ 以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ，设 A (0,2) ，连接 AF ， AM ，可得 AF ⊥ AM ， 根据抛物线的定义，得直线 AO 切以 MF 为直径的圆于点 A ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ C 的方程为 y 2 ＝ 4 x 或 y 2 ＝ 16 x . 4. 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 的 值一定 等于 A. － 4 B.4 C. p 2 D . － p 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ① 若焦点弦 AB ⊥ x 轴， 则 x 1 ＝ x 2 ＝ ， ∴ x 1 x 2 ＝ ； ∴ y 1 ＝ p ， y 2 ＝－ p ， ∴ y 1 y 2 ＝－ p 2 ， ∴ ＝－ 4. ② 若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴， 可设 AB 的直线方程为 y ＝ k ( x － ) ， 联立 y 2 ＝ 2 px ，得 k 2 x 2 － ( k 2 p ＋ 2 p ) x ＋ ＝ 0 ， 5. 如图，过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A 、 B ，交其准线 l 于点 C ，若 | BC | ＝ 2| BF | ，且 | AF | ＝ 3 ，则此抛物线的方程 为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A. y 2 ＝ 9 x B. y 2 ＝ 6 x C. y 2 ＝ 3 x D. y 2 ＝ x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图 ，分别 过 A 、 B 作 AA 1 ⊥ l 于 A 1 ， BB 1 ⊥ l 于 B 1 ， 由 抛物线的定义知： | AF | ＝ | AA 1 | ， | BF | ＝ | BB 1 | ， ∵ | BC | ＝ 2| BF | ， ∴ | BC | ＝ 2| BB 1 | ， ∴∠ BCB 1 ＝ 30° ， ∴∠ AFx ＝ 60° ， 连接 A 1 F ，则 △ AA 1 F 为等边三角形，过 F 作 FF 1 ⊥ AA 1 于 F 1 ， 则 F 1 为 AA 1 的中点，设 l 交 x 轴于 K ， 则 | KF | ＝ | A 1 F 1 | ＝ | AA 1 | ＝ | AF | ，即 p ＝ ， ∴ 抛物线方程为 y 2 ＝ 3 x . 故选 C. 6. 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F ，点 P ( x ， y ) 为该抛物线上的动点，若点 A ( － 1,0) ， 则 的 最小值 是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的准线方程为 x ＝－ 1 ，如图， 过 P 作 PN 垂直直线 x ＝－ 1 于 N ，由 抛物线的 定义 可知 | PF | ＝ | PN | ，连接 PA ， 在 Rt △ PAN 中 ， 即 ∠ PAN 最小，即 ∠ PAF 最大， 此时， PA 为抛物线的切线，设 PA 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 1) ， 联立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得 k 2 x 2 ＋ (2 k 2 － 4) x ＋ k 2 ＝ 0 ， 所以 Δ ＝ (2 k 2 － 4) 2 － 4 k 4 ＝ 0 ， 解得 k ＝ ±1 ，所以 ∠ PAF ＝ ∠ NPA ＝ 45° ， 7. 设 F 为抛物线 C ： y 2 ＝ 3 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A ， B 两点，则 | AB | ＝ ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 12 方法二 　由抛物线焦点弦的性质可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的准线为 l ，过 M (1,0) 且斜率 为 的 直线与 l 相交于点 A ，与 C 的一个交点为 B ， 若 ， 则 p ＝ __. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 如图， 由 AB 的斜率 为 ， 知 ∠ α ＝ 60° ，又 ＝ ， ∴ M 为 AB 的中点 . 过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P ， 则 ∠ ABP ＝ 60° ， ∴∠ BAP ＝ 30° ， ∴ | BP | ＝ | AB | ＝ | BM |. ∴ M 为焦点， 即 ＝ 1 ， ∴ p ＝ 2 . 答案 解析 9 . 已知 椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率 为 ， E 的右焦点与抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 的焦点重合， A ， B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 | AB | ＝ _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 抛物线 y 2 ＝ 8 x 的焦点为 (2,0) ， 准线方程为 x ＝－ 2. 可得 a ＝ 4 ， b 2 ＝ 16 － 4 ＝ 12. 故椭圆方程 为 . 把 x ＝－ 2 代入椭圆方程，解得 y ＝ ±3. 从而 | AB | ＝ 6. 设椭圆方程 为 ( a > b >0) ， 由题意， c ＝ 2 ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10. 设直线 l 与抛物线 y 2 ＝ 4 x 相交于 A ， B 两点，与圆 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( r >0) 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点 . 若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 _______. (2,4) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图，设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x 0 ， y 0 ) ， 则 两式相减得， ( y 1 ＋ y 2 )( y 1 － y 2 ) ＝ 4( x 1 － x 2 ). 当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条 . 当 k 存在时， x 1 ≠ x 2 ， 又 y 1 ＋ y 2 ＝ 2 y 0 ，所以 y 0 k ＝ 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即 y 0 k ＝ 5 － x 0 ，因此 2 ＝ 5 － x 0 ， x 0 ＝ 3 ， 即 M 必在直线 x ＝ 3 上 . 将 x ＝ 3 代入 y 2 ＝ 4 x ， 故 r 2 ＝ ＋ 4<12 ＋ 4 ＝ 16. 又 ＋ 4>4( 为保证有 4 条，在 k 存在时， y 0 ≠ 0) ， 所以 4< r 2 <16 ，即 2< r <4. 11.(2016· 沈阳模拟 ) 已知过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 )( x 1 < x 2 ) 两点，且 | AB | ＝ 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (1) 求该抛物线的方程； 直线 AB 的方程是 y ＝ 2 ( x － ) ，与 y 2 ＝ 2 px 联立， 从而有 4 x 2 － 5 px ＋ p 2 ＝ 0. 所以 x 1 ＋ x 2 ＝ ， 由抛物线定义得 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ ＋ p ＝ 9 ， 所以 p ＝ 4 ，从而抛物线方程为 y 2 ＝ 8 x . (2) O 为坐标原点， C 为抛物线上一点， 若 ， 求 λ 的值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由于 p ＝ 4 ，则 4 x 2 － 5 px ＋ p 2 ＝ 0 ， 即 x 2 － 5 x ＋ 4 ＝ 0 ，从而 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 4 ， 整理得 (2 λ － 1) 2 ＝ 4 λ ＋ 1 ， 解得 λ ＝ 0 或 λ ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 12. 设 P ， Q 是抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上相异两点， P ， Q 到 y 轴的距离的积为 4 ， 且 ＝ 0. (1) 求该抛物线的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 1 y 2 ＝－ 4 p 2 ， ∴ | x 1 x 2 | ＝ ＝ 4 p 2 . 又 | x 1 x 2 | ＝ 4 ， ∴ 4 p 2 ＝ 4 ， p ＝ 1 ， ∴ 抛物线的标准方程为 y 2 ＝ 2 x . 设 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (2) 过点 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R ，与 x 轴的交点为 T ，且 Q 为线段 RT 的中点，试求弦 PR 长度的最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线 PQ 过点 E ( a, 0) 且方程为 x ＝ my ＋ a ， 联立方程 组 消去 x 得 y 2 － 2 my － 2 a ＝ 0 ， 设直线 PR 与 x 轴交于点 M ( b, 0) ， 则可设直线 PR 的方程为 x ＝ ny ＋ b ， 并设 R ( x 3 ， y 3 ) ，同理可知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意得， Q 为线段 RT 的中点， ∴ y 3 ＝ 2 y 2 ， ∴ b ＝ 2 a . 又由 (1) 知， y 1 y 2 ＝－ 4 ，代入 ① ， 可得－ 2 a ＝－ 4 ， ∴ a ＝ 2 ， ∴ b ＝ 4 ， y 1 y 3 ＝－ 8 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 n ＝ 0 ，即直线 PR 垂直于 x 轴时， | PR | 取最小值 4 . *13. 如图，由部分抛物线： y 2 ＝ mx ＋ 1( m >0 ， x ≥ 0) 和半圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( x ≤ 0) 所组成的曲线称为 “ 黄金抛物线 C ” ，若 “ 黄金抛物线 C ” 经过点 (3,2) 和 ( ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (1) 求 “ 黄金抛物线 C ” 的方程； ∵“ 黄金抛物线 C ” 过点 (3,2) 和 ( ) ， ∴ ＝ 1,4 ＝ 3 m ＋ 1 ， ∴ m ＝ 1. ∴“ 黄金抛物线 C ” 的方程为 y 2 ＝ x ＋ 1( x ≥ 0) 和 x 2 ＋ y 2 ＝ 1( x ≤ 0 ). (2) 设 P (0,1) 和 Q (0 ，－ 1) ，过点 P 作直线 l 与 “ 黄金抛物线 C ” 相交于 A ， P ， B 三点，问是否存在这样的直线 l ，使得 QP 平分 ∠ AQB ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 假设存在这样的直线 l ，使得 QP 平分 ∠ AQB ，显然直线 l 的斜率存在且不为 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ k AQ ＝－ ， ∵ QP 平分 ∠ AQB ， ∴ k AQ ＋ k BQ ＝ 0 ， ∴ ， 解得 k ＝－ 1 ± ， 由图形可得 k ＝－ 1 － 应 舍去， ∴ k ＝ － 1 ， ∴ 存在直线 l ： y ＝ ( － 1) x ＋ 1 ，使得 QP 平分 ∠ AQB .