备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：导数的几何意义和应用导数求曲线的切线 10页

导数的几何意义和应用导数求曲线的切线 典型例题： ‎ 例1. （2012年全国课标卷文5分）曲线在点（1,1）处的切线方程为 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】导数的应用，曲线的切线方程。 ‎ ‎【解析】∵，∴。∴。‎ ‎ ∴曲线在点（1,1）处的切线方程为，即。‎ 例2. （2012年广东省理5分）曲线在点（1，3）处的切线方程为　　▲　　。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】曲线的切线方程，导数的应用。‎ ‎【解析】∵，，‎ ‎∴由点斜式得所求的切线方程为 ，即。‎ 例3. （2012年辽宁省理5分）已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为 ▲ 。‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。‎ ‎【解析】∵点P，Q的横坐标分别为4，2，∴代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2。‎ 由得，∴。∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2。‎ ‎∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为。[来源:Zxxk.Com]‎ 联立方程组解得。∴点A的纵坐标为4。[来源:Zxxk.Com]‎ 例4. （2012年陕西省理5分）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ‎ ‎▲ .‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。‎ ‎【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可：‎ ‎∵，，‎ ‎∴曲线及该曲线在点处的切线方程为。‎ ‎∴由轴和曲线及围成的封闭区域为三角形。在点处取得最大值2。‎ 例5. （2012年北京市理13分）已知函数 ‎（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（－∞，－1）上的最大值。‎ ‎【答案】解：（1）∵（1，c）为公共切点，∴。‎ ‎ ∴，即①。‎ ‎ 又∵，∴。‎ ‎ 又∵曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 解①②，得。‎ ‎（2）∵，∴设。‎ ‎ 则。‎ 令，解得。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ 又∵在各区间的情况如下：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎∴在单调递增，在单调递减，在上单调递增。‎ ‎①若，即时，最大值为；‎ ‎②若，即时，最大值为。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎③若时，即时，最大值为。‎ 综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为1。‎ ‎【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）由曲线与曲线有公共点（1，c）可得；由曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即。联立两式即可求出a、b的值。‎ ‎ （2）由 得到只含一个参数的方程，求导可得的单调区间；根据 ，和三种情况讨论的最大值。‎ 例6. （2012年四川省理14分） 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎（Ⅰ）用和表示；‎ ‎（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由已知得，交点A的坐标为，对求导得。‎ ‎ ∴抛物线在点A处的切线方程为，即。‎ ‎∴。‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，则成立的充要条件是。‎ 即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。‎ 当时,‎ ‎。[来源:Zxxk.Com]‎ 当n=0，1，2时，显然。‎ ‎∴当时，对所有自然数都成立。‎ ‎∴满足条件的的最小值是。‎ ‎（Ⅲ）由（1）知，则，。‎ 下面证明：。‎ 首先证明：当00，f(x)单调递增；在上，f′(x)<0，f(x)单调递减，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f＝n＝。‎ ‎（III）证明：令φ(t)＝lnt－1＋(t＞0)，则φ′(t)＝－＝(t＞0)。‎ ‎∵在(0,1)上，φ′(t)＜0，φ(t)单调递减；在(1，＋∞)上，φ′(t)＞0，φ(t)‎ 单调递增，‎ ‎∴φ(t)在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0。 ∴φ(t)＞0(t＞1)，即lnt＞1－(t＞1)。‎ 令t＝1＋，得ln＞，即lnn＋1＞lne。‎ ‎∴n＋1＞e，即＜。‎ 由（II）知，f(x)≤＜，∴所证不等式成立。‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程。[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎【解析】（I）由题意曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1，故可根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值。‎ ‎（II）由于f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，可求 f′(x)＝(n＋1)xn－1，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最大值。‎ ‎（III）结合（II），欲证：f(x)＜．由于函数f(x)的最大值f＝n＝，故此不等式证明问题可转化为证明 ＜，对此不等式两边求以e为底的对数发现，可构造函数φ(t)＝lnt－1＋(t＞0)，借助函数的最值辅助证明不等式。‎ 例9. （2012年湖南省理13分）已知函数，其中≠0.‎ ‎（Ⅰ）若对一切∈R，≥1恒成立，求的取值集合.‎ ‎（Ⅱ）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，‎ 又，故。‎ ‎∵∴令。‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ ‎∴当时，取最小值。‎ 于是对一切恒成立，当且仅当　　　　　①‎ 令则。‎ 当时，单调递增；当时，单调递减，‎ ‎∴当时，取最大值。‎ ‎∴当且仅当即时，①式成立。[来源:学科网ZXXK]‎ 综上所述，的取值集合为。[来源:学。科。网]‎ ‎（Ⅱ）存在。由题意知，。‎ 令则 ‎。‎ 令，则。‎ 当时，单调递减；当时，单调递增，‎ ‎∴当，即。‎ ‎∴，。‎ 又∵∴。‎ ‎∵函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，‎ ‎∴存在使单调递增，故这样的是唯一的，且，故当且仅当时， 。‎ 综上所述，存在使成立.且的取值范围为 ‎。‎ ‎【考点】利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立, 分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法的应用。‎ ‎【解析】（Ⅰ）用导函数法求出取最小值，对一切∈R，≥1恒成立转化为，从而得出的取值集合。‎ ‎　　　（Ⅱ）在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。‎ 例10. （2012年辽宁省理12分）设，曲线与直线在(0，0)点相切。‎ ‎ (Ⅰ)求的值。‎ ‎ (Ⅱ)证明：当时，。‎ ‎【答案】解：（I）∵过（0，0），∴=0。∴=－1。‎ ‎∵曲线与直线在（0，0）点相切，‎ ‎∴。∴=0。‎ ‎（II）证明：由（I）知。‎ 由均值不等式，当＞0时，，∴‎ ‎。‎ 令。‎ 则 ‎。‎ ‎ 令。‎ 则当时，。‎ ‎ ∴在（0，2）内是单调递减函数。‎ ‎∵又，∴在（0，2）内，。∴在（0，2）内，。‎ ‎∴在（0，2）内是单调递减函数。‎ ‎∵又，∴在（0，2）内，。‎ ‎∴当时，。‎ ‎【考点】导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用，利用导数研究曲线上某点切线方程。‎ ‎【解析】（I）由过（0，0），可求b的值，根据曲线与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值。‎ ‎（II）由（I）知，由均值不等式，可得 。用差值 法构造函数，可得。构造函数， 利用导数判断在（0，2）内是单调递减函数，从而得到出在（0，2）内是单调递减函数，进而得出结论。‎