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- 2021-06-11 发布
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§9.8 直线与圆锥曲线
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.AB为过椭圆+=1中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则△FAB的最大面积为________.
2.(2010·常州第一次质检)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有________条.
3.(2010·南通3月联考)过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则的值等于________.
4.已知椭圆C的方程为+=1 (m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为______.
5.( 2010·全国Ⅱ)已知椭圆C:的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若=3F,则k=________.
6.直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是______________.
7.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为__________.
8.(2010·无锡重点中学联考)如图所示,过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于A,B,C三点,若BC=2BF,且AF=3,则抛物线的方程是__________.
9.如图在平面直角坐标系xOy中,A1、A2、B1、B2为椭圆+=1(a>b>0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为________.
二、解答题(本大题共3小题,共46分)
10.(14分)设AB是过椭圆+=1的一个焦点的弦,若AB的倾斜角为60°,求弦AB的长.
11.(16分)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,若另有一条直线l经过P(-2,0)及线段AB的中点Q.
(1)求k的取值范围;(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围.
12.(16分)(2010·温州十校模拟)已知椭圆P的中心O在坐标原点,焦点在x轴上,且经过点A(0,2),离心率为.
(1)求椭圆P的方程;
(2)是否存在过点E(0,—4)的直线交椭圆P于点R,T,且满足·=.若存在, 求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案
1.bc 2.3 3.3 4.2 5.
6.m≥1且m≠5 7.y2=±8x 8.y2=3x 9.2-5
10.解 依题意,椭圆的一个焦点F为(1,0),则直线AB的方程为y=(x-1),
代入4x2+5y2=20,得19x2-30x-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-.
∴AB=
==.
∴弦AB的长为.
11.解 (1)将y=kx-1代入双曲线方程x2-y2=1,
化简,整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
由题设条件⇒-2+.
12.解 (1)设椭圆P的方程为+=1 (a>b>0),
由题意得b=2,e==,
∴a=2c,b2=a2-c2=3c2,c2=4,c=2,a=4,
∴椭圆P的方程为+=1.
(2)假设存在满足题意的直线l.易知当直线的斜率不存在时,
·<0不满足题意.
故可设直线l的方程为y=kx-4,
R(x1,y1),T(x2,y2).
·=,∴x1x2+y1y2=.
由,得(3+4k2)x2-32kx+16=0,
由Δ>0得,(-32k)2-4(3+4k2)×16>0,
解得k2>.①
∴x1+x2=,x1x2=,
∴y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k2x1x2-4k(x1+x2)+16,
故x1x2+y1y2=+-+16=,
解得k2=1,②
由①②解得k=±1,
∴直线l的方程为y=±x-4.
故存在直线l:x+y+4=0或x-y-4=0满足题意