高考数学复习练习第1部分 专题二 第二讲 预测演练提能 6页

一、选择题 ‎1．(2013·郑州模拟)若α是第四象限角，tan＝－，则cos＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　 　B．－ C. D．－ 解析：选D　由于α＋∈(k∈Z)，且tan<0，故α＋是第四象限角，∴sin＝－，∴cos＝sin＝sin＝－.‎ ‎2．已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选D　sin＋sin α＝－⇒sin α＋cos α＝－⇒cos＝－⇒cos＝.‎ ‎3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A．2＋2 B.＋1‎ C．2－2 D.－1‎ 解析：选B　由正弦定理知＝，结合条件得c＝＝2.又sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝＋1.‎ ‎4．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝‎2a,3sin A＝5sin B，则角C＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　根据正弦定理，可将3sin A＝5sin B化为‎3a＝5b，所以a＝b，代入b＋c＝‎2a，可得c＝b，然后结合余弦定理，可得cos C＝＝－，所以角C＝.‎ ‎5．(2013·东城模拟)在△ABC中，已知tan＝sin C，给出以下四个论断：‎ ‎①＝1; ②10，‎ ‎∴2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴4kπ＋π<2α<4kπ＋(k∈Z)，∴2α为第三象限角，‎ ‎∴cos 2α＝－＝－.‎ 法二：sin α＋cos α＝两边平方，得 ‎1＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝－.‎ ‎∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，‎ ‎∴sin α－cos α＝ ＝＝.‎ 由得 ‎∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.‎ ‎10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋b2＝mc2(m为常数)，若tan C(tan A＋tan B)＝2tan A·tan B，则m的值为(　　)‎ A．2 B．4 ‎ C．7 D．8‎ 解析：选A　由tan C(tan A＋tan B)＝2tan A·tan B，得·＝，即·＝·＝，‎ 所以＝2sin Asin B，因此cos C＝，综合运用正弦、余弦定理，得＝，所以a2＋b2＝‎2c2，故m＝2.‎ 二、填空题 ‎11．(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.‎ 解析：△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(‎3a2－‎2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝.‎ 答案： ‎12．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.‎ 解析：法一：由θ在第二象限，且tan＝，得sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－.‎ 法二：将tan＝利用两角和的正切公式展开，得＝，求得tan θ＝－.又因为θ在第二象限，所以sin θ＝，cos θ＝－，从而sin θ＋cos θ＝－＝－.‎ 答案：－ ‎13．在△ABC中，角A满足sin A＋cos A＝1，AB＝2，AC＝3，则边BC的长为________．‎ 解析：由题意可得sin＝，又A为三角形的一个内角，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋9－2×2×3×＝19，所以BC＝.‎ 答案： ‎14．(2013·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝10，cos C＝，则△ABC的面积的最大值为________．‎ 解析：∵在△ABC中cos C＝，∴sin C＝，又由c＝10－a－b，可得c2＝(10－a－b)2，则a2＋b2－2abcos C＝100＋a2＋b2－20(a＋b)＋2ab，整理可得4(a＋b)＝20＋ab，∴20＋ab≥8，整理可得3ab－32＋80≥0，解得≥或≤4.当≥时，仅当a＝b＝时取等号，此时a＋b＝>10，与a＋b＋c＝10矛盾；当≤4时，S△ABC＝absin C＝ab≤×16＝，当且仅当a＝b＝4时取等号．‎ 答案： ‎15．在某海岛上有一座海拔‎1千米的山，山顶A上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B处，到11时10分又测得该轮船在岛的北偏西60°，俯角60°的C处，则轮船的航行速度是________千米/小时．‎ 解析：如图所示，设海岛的底部为点D.在Rt△ABD中，BD＝＝；‎ 在Rt△ACD中，CD＝＝.‎ 故在Rt△BCD中，BC＝ ＝.‎ 所以轮船的速度为＝2(千米/小时)．‎ 答案：2 ‎16．(2013·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎①cos C<1－cos B；‎ ‎②△ABC的面积为S△ABC＝··tan A；‎ ‎③若acos A＝ccos C，则△ABC一定为等腰三角形；‎ ‎④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是－1