高二数学同步辅导教材(第19讲) 8页

高二数学同步辅导教材（第 19 讲） 第七章 《直线和圆的方程》 一、知识结构 二、学习指导 1、本章让学生初步接触解析几何的基本思想，即在坐标系这个工具之下，理解形与数（方程）的对 应关系。 从形到数，给出了两个最基本图形——直线和圆对应的方程，在此基础上，将图形的几何位置关系 研究通过数的知识来解决，如两条直线平行及垂直的关系，反映在它们对应的方程的系数关系上。 从数到形，在二元一次方程（等量关系）的基础上，介绍了二元一次不等式的几何意义，并用这个 几何意义解决一类二元函数的最值问题。以形助数的思想，既可以理解为解析几何的运用（方程的几何 意义是曲线），又可以理解为是对解析几何的补充。从而说明了数和形之间是辩证统一的。 2、倾斜角和斜率是描述直线方向的两个重要参数。倾斜角是区间角[0，π ），倾斜角与斜率之间是 正切函数的关系，斜率 k∈（-∞，+∞）。 直线方程的五种形式中，点斜式、斜截式、两点式、截距式都具有明确的几何意义，从几何条件看， 主要是两种条件：两点及点斜。直线方程的一般式偏重于数，说明什么的二元方程与直线对应。 求直线方程主要用待定系数法，关键是选择适当的形式，若选择 k 作为参数，应注意其不存在的情 形。 含参数的直线方程为直线系，直线系的特征无非是两种：平行直线系与旋转直线系。 3、在二元一次方程与直线对应的基础上，借助于分类讨论的思想，课本介绍了二元一次不等式的几 何意义，利用它可以解决用数的方法（单调性及基本不等式）所不能解决的一类二元函数问题。作为这 类二元函数的模型，课本介绍了《运筹学》中的重要分支 ——简单线性规划，体现了学实用数字的新教材理念。 4、圆是一种简单的图形，通过圆的学习，一方面体会曲线和方程的对应关系，另一方面通过在圆的 解题过程中大量运用圆的几何性质，揭示了数与形的紧密联系。 5、本章主要方法：坐标法，待定系数法，配方法，向量法；本章主要思想方法：数形结合，消元思 想，分类讨论。 三、典型例题 例 1、点 A（1，0）到直线的距离为 2，点 B（-4，0）到的距离为 3，求的条数。 解题思路分析： 若用待定系数法，显然很复杂。考虑借助于几何性质，用轨迹的概念求解。 以 A 为圆心，2 为半径作圆，则直线为⊙A 的切线； 以 B 为圆心，3 为半径作圆，则直线为⊙B 的切线。 则问题转化为判断圆 A 与圆 B 的公切线的条数。先判断⊙A 与⊙B 的位置关系 ∵ |AB|=5，r1+r2=5 ∴ ⊙A 与⊙B 外切 ∴ ⊙A、⊙B 的公切线共有三条 例 2、圆 M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，直线：x+y-9=0，过上一点 A 作△ABC，使 AB 边过圆心 M，点 B、 C 在圆 M 上，且∠BAC= 4  ，求： （1）点 A 横坐标 a=4 时的直线 AC 方程； （2）点 A 横坐标 a 的取值范围。 解题思路分析： （1）∵A∈，x=4 ∴ yA=5 ∴ A(4，5) 又圆 M：x2+y2-4x-4y- 2 1 =0 配方得：(x-2)2+(y-2)2= 2 17 ∴ 圆心 M（2，2）， 2 3k AB  ∵ AB 与 AC 夹角为 450 ∴ tan450= AC AC k2 31 2 3k   ∴ 5kAC  ，或 5 1k AC  ∴ 直线 AC 方程为 x-5y+21=0，或 5x+y-25=0 （2）求 a 范围，实际上就是求点 A 在直线运动的范围。 过 A 作圆的切线 AT，连 MT Rt△MAT 中 ∵ ∠MAT>∠MAC= ∴ |AT|<|MT|=r 当 AC 为圆的切线时，|AT|=|AC|=r ∴ 点 A 到圆的切线长≤r ∵ A（a，9-a） ∴ 切线长 2 1)a9(a4)a9(ad 22  ≤ 2 17 化简得：a2-9a+18<0 ∴ 3≤a≤6 注：在解第（1）小题时，利用夹角公式求得 AC 斜率有两解，同学们容易遗漏。在第（2）个小问题 求切线长时，应把圆的一般方程转化为标准形式。 例 3、求圆 C1：x2+y2+2x+6y+9=0 和圆 C2：x2+y2-6x+2y+1=0 的公切线。 解题思路分析： 先判定两圆位置关系： 圆 C1：(x+1)2+(y+3)2=1，圆心 O1（-1，-3），半径 r1=1 圆 C2：(x-3)2+(y+1)2=32，圆心 O2（3，-1），半径 r2=3 ∵ |O1O2|= 20>4=r1+r2 ∴ C1 与 C2 外离 ∴ 圆 C1 与圆 C2 的外公切线共有 4 条 如图 再分别求内、外公切线 （1）外公切线、延长两外公切线交于点 M0，则 M0、O1、O2 三点共线 ∵ 3 1 r r |OM| |OM| 2 1 20 10  ∴  02MO =-3  10OM 设 M0（x0，y0） 则           4)3(1 )3()3(1y 3)3(1 )1()3(3x 0 0 ∴ M0（-3，-4） 设外公切线方程为 y+4=k(x+3)，即 kx-y+3k-4=0 ∵ O1 到公切线距离等于 1 ∴ 1 1k |1k2| 2    ∴ 1k2  =|2k-1|，k2+1=(2k-1)2 整理得：3k2-4k=0 ∴ k=0，k= 3 4 当 k=0 时，外公切线方程为 y=4 当 k= 3 4 时，外公切线方程为 4x-3y=0 （2）求内公切线 当 M 为内公切线交点时， 3 1 |MO| |MO| 2 1  ∴ M 分  OO1 分比λ =3 ∴ M（0， 2 5 ） 同（1）可得内公切线方程为 3x+4y+10=0 由图可知，y 轴也是两圆的内公切线 ∴ 两圆内公切线为 x=0，3x+4y+10=0 注：判断两圆位置关系求公切线的基础，很多同学总以为公切线是 4 条，在以 k 为参数时，应注意 k 不存在的情形，可画图。 例 4、已知对于圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点 P（x，y），不等式 x+y+m≥0 恒成立，求实数 m 的取值范 围。 解题思路分析： 学了解析几何以后，二元问题既可以用数的知识，也可以用形的知识求解。 法一：令 x=cosθ ，y=1+sinθ 则 x+y+m≥0 恒成立  m≥-(x+y)恒成立 m≥-(sinθ +cosθ +1)恒成立 m≥ [-(sinθ +cosθ +1)]max ∵ -(sinθ +cosθ +1)=[ 2 sin(θ + 4  )+1]= 2 sin(θ + 4  )-1≤ 2 -1 当且仅当θ +  2 3k24 ，θ =  4 5k2 时取得最大值 ∴ m≥ 2 -1 法二：当直线 x+y+m=0 与圆相切时，直线的截距-m= 2 +1，或-m=1- 2 ∴ 直线1：x+y-1- =0 直线2：x+y+ -1=0 以圆上点（0，0）代入1 方程，不满足 x+y+m≥0，直线1 向上平移 均不满足。 以（0，0）代入2，满足 x+y-m≥0，当1 向下平移时，圆周上的点 均满足不等式 ∴ -m≤1- ∴ m≥ -1 例 5、设圆满足：①y 轴截圆所得弦长为 2，②被 x 轴分成两段弧，其弧长之比为 3∶1，在满足①② 的所有圆中，求圆心到直线：x-2y=0 的距离最小的圆的方程。 解题思路分析： 根据条件，选用圆的标准方程 设圆心为（a，b），半径为 r，则 条件①转化为：r2=a2+1 条件②转化为：圆被 x 轴截得的弦对圆心张角为 900，从面有 r2=2b2 ∴ 2b2=a2=1，即 2b2-a2=1（*） 又圆心到直线的的距离 5 |b2a|d  下求在（*）式条件下，该二元函数的最小值 法一：用基本不等式，由 得 5d2=(a-2b)2=a2+4b2-4ab ∵ a2+b2≥2ab ∴ 5d2=a2+4b2-4ab≤a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1 当且仅当      1ab2 ba 22 ，即      1b 1a 或      1b 1a 时，等号成立 此时 r2=2b2=2 ∴ 所求圆方程为(x-1)2+9y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 法二：用形的知识求解 方程 2b2-a2=1 表示 aob 坐标系下的双曲线，如图 由 5 |b2a|d  得|a-2b|= 5 d 当 a-2b= 5 时，b= d2 5 2 a  该方程表示 aob 坐标系下平行直线系 显然当直线 d2 5 2 ab  与双曲线下半支相切时， d2 5 达到最大，从而 d 最小 由      1ab2 d2 5 2 ab 22 得 1a)d2 5 2 a(2 22  ∴ 0d52da52a 22  由△= 0)d52(4)d52( 22  得：d2= 5 1 ∵ d>0 ∴ d= 5 1 此时直线 b= 2 1 2 a  在 b 轴上截距为 2 1 ，确实是与下半支相切 ∴ a=-1，b=-1，r2=2 ∴ 所求圆方程为(x+1)2+(y+1)2=2 同理当 a-2b= 5 d 时，所求圆方程为(x-1)2+(y-1)2=2 注：本题也可用三角换元求解 四、单元测试 （一）选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1、过点 P（0，1），且倾斜角的余弦是 5 4 的切线方程是 A、4x+5y-5=0 B、3x+4y-4=0 C、4x+3y-3=0 D、3x+5y-5=0 2、直线 3x+ay+4=0 平行于直线(a+5)x+2y+8=0，则实数 a 的值是 A、-6 B、1 C、7 D、25 3、过点（-1， 3 ）且与直线 3 x-y+1=0 的夹角是 6  的直线方程是 A、x- 3 y+4=0 B、x+1=0，或 x+ y-2=0 C、x+1=0，或 x- y+4=0 D、y- =0，或 x+ y-2=0 4、已知 A（-1，5）， B（3，0）， C（5，-4），则△ABC 中，BC 边上的高所在直线方程是 A、2x+y-3=0 B、2x-y+7=0 C、x-2y+11=0 D、x+2y-9=0 5、 直线1 与2 的斜率是方程 6x2+x-1=0 的两根，则1 与2 夹角是 A、 6  B、 4  C、 3  D、 4 3 6、若不等式 x+(m-3)y-7m<0 表示的区域为直线 x+(m-3)y-7m=0 的上方，则 m 的取值范围是 A、m>3 B、m<3 C、m=3 D、1r，∴P 在圆 C 外 9、B。 对截距是否为零分类讨论，当截距不为零时，可设直线方程为 x+y=a，由 2 2 |a2|  得 a=0， a=4；当截距等于零时，设直线 y=kx，由 2 1kk |k2| 2   解之得 k=±1，∴直线共有 x+y=0，x+y=4，x-y=0 三条 10、B。 用几何意义，或参数方程，或△法 （二）填空题 11、 5 2 圆心 O 到直线距离 5 12d  ，故所求最小值为 5 2r5 12  12、 [0，2] 画图即可 13、 10 思路同上 14、 62 圆心 O’(-3，-3)，|PO’|2=(a+3)2+25 ∴ 切线长 24)3a(r|'PO|d 222  ≥ 62 当且仅当 a=-3 时，取得最小值 15、 )2 1,0( 交点坐标为 )1n 1n2,1n n(    ，由         01n 1n2 01n n 得 0