高考数学复习 17-18版 第2章 第4课 函数的概念及其表示 14页

第二章　函数概念与基本初等函数(Ⅰ)‎ 第4课 函数的概念及其表示 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 函数的概念 ‎√‎ ‎1．函数与映射 函数 映射 两集合A、B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应法则 f：A→B 如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应 如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应 名称 这样的对应叫作从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B ‎2.函数的有关概念 ‎(1)函数的定义域、值域：‎ 在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫作函数y＝f(x)的值域．‎ ‎(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．‎ ‎(3)函数的表示法：‎ 表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．‎ ‎3．分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫作分段函数．‎ 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数是特殊的映射．(　　)‎ ‎(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)‎ ‎(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(　　)‎ ‎(4)分段函数是两个或多个函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)函数y＝＋的定义域为________．‎ ∪(3，＋∞)　[由题意知 解得x≥且x≠3.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.‎ ‎4　[∵f(－4)＝24＝16，∴f(f(－4))＝f(16)＝＝4.]‎ ‎4．(2017·苏州模拟)已知实数m≠0，函数f(x)＝若f(2－m)＝f(2＋m)，则实数m的值为________．‎ ‎8或－　[当m>0时，2－m<2<2＋m，‎ 由f(2－m)＝f(2＋m)得 ‎3(2－m)－m＝－(2＋m)－‎2m，‎ 解得m＝8.‎ 当m<0时，2＋m<2<2－m，‎ 由f(2＋m)＝f(2－m)得 ‎－(2－m)－2m＝3(2＋m)－m，‎ 解得m＝－.‎ 综上所述m＝8或－.]‎ ‎5．给出下列四个命题：‎ ‎①函数是其定义域到值域的映射；‎ ‎②f(x)＝＋是一个函数；‎ ‎③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；‎ ‎④f(x)＝lg x2与g(x)＝2lg x是同一个函数．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎①　[由函数的定义知①正确．‎ ‎∵满足的x不存在，∴②不正确．‎ 又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线y＝2x上的一群孤立的点，∴③不正确．‎ 又∵f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．]‎ 求函数的定义域 ‎　(1)(2016·江苏高考)函数y＝的定义域是________．‎ ‎(2)(2017·徐州模拟)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．‎ ‎(1)[－3,1]　(2)[0,1)　[(1)要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．‎ ‎(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，‎ 所以0≤x<1，即g(x)的定义域为[0,1)．]‎ ‎[规律方法]　1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．‎ ‎2．(1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；‎ ‎(2)若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·苏锡常镇调研(二))函数f(x)＝的定义域为________．‎ ‎(2)已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________. ‎ ‎【导学号：62172018】‎ ‎(1)(0,1)∪(1,2)　(2)　[(1)要使函数有意义，只需解得0＜x＜1或1＜x＜2，‎ 即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)．‎ ‎(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，‎ ‎∴≤2x≤2，即f(x)的定义域为.]‎ 求函数的解析式 ‎　(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．‎ ‎(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式．‎ ‎(3)已知f(x)＋‎2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　(1)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，‎ ‎∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)．‎ ‎(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，‎ ‎∴即∴f(x)＝x2－x＋2.‎ ‎(3)∵f(x)＋‎2f＝x，∴f＋‎2f(x)＝.‎ 联立方程组 解得f(x)＝－(x≠0)．‎ ‎[规律方法]　求函数解析式的常用方法 ‎(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)；‎ ‎(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式．‎ ‎[变式训练2]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________. ‎ ‎【导学号：62172019】‎ ‎(2)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，则f(x)＝________.‎ ‎(1)x2－1(x≥1)　(2) ＋(x＞0)　[(1)(换元法)设＋1＝t(t≥1)，则＝t－1，‎ 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，‎ 所以f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ ‎(配凑法)f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，‎ 又＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ ‎(2)在f(x)＝‎2f·－1中，用代替x，‎ 得f＝2f(x)·－1，‎ 由 得f(x)＝ ＋(x＞0)．]‎ 分段函数及其应用 角度1　求分段函数的函数值 ‎　(1)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝________.‎ ‎(2)(2017·无锡期中)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(11)＝________.‎ ‎(1)9　(2)2‎ ‎[(1)∵－2<1，‎ ‎∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.‎ ‎∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.‎ ‎∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.‎ ‎(2)f(11)＝f(10)－f(9)＝f(9)－f(8)－f(9)＝－f(8)，‎ f(8)＝f(7)－f(6)＝f(6)－f(5)－f(6)＝－f(5)，‎ f(5)＝f(4)－f(3)＝f(3)－f(2)－f(3)＝－f(2)，‎ f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－f(－1)，‎ ‎∴f(11)＝f(－1)＝log2(3＋1)＝log24＝2.]‎ 角度2　已知分段函数的函数值求参数 ‎　(1)(2017·南京二诊)已知函数f(x)＝若f(f(－1))＝2，则实数m的值为________．‎ ‎(2)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝________.‎ ‎(1)或－　(2)　[(1)f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±.‎ ‎(2)f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.]‎ 角度3　解与分段函数有关的方程或不等式 ‎　(1)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．‎ ‎(2)(2015·山东高考改编)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝‎2f(a)的a的取值范围是________．‎ ‎(1)(－∞，8]　(2)　[(1)当x<1时，x－1<0，ex－1－1且x≠1.]‎ ‎2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)‎ ‎①f(x)＝x，g(x)＝()2；‎ ‎②f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；‎ ‎③f(x)＝，g(x)＝|x|；‎ ‎④f(x)＝0，g(x)＝＋.‎ ‎③　[在①中，定义域不同，在②中，解析式不同，在④中，定义域不同．]　‎ ‎3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是________．(填序号)‎ ‎①　　　　②　　　　③　　　　④‎ 图41‎ ‎②　[①中，定义域为[－2,0]，④中，值域不是[0,2]，③中，当x＝0时有两个y值与之对应．]‎ ‎4．(2017·徐州质检)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝________.‎ x＋1　[设f(x)＝kx＋b，则由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，则f(x)＝x＋1.]‎ ‎5．(2017·如皋中学高三第一次月考)函数y＝的定义域为A，值域为B，则A∩B＝________. 【导学号：62172020】‎ ‎[0,2]　[由－x2－2x＋8≥0得－4≤x≤2.即A＝{x|－4≤x≤2}．‎ 由y＝＝可知0≤y≤3，‎ 即B＝{x|0≤x≤3}．‎ ‎∴A∩B＝{x|0≤x≤2}．]‎ ‎6．(2016·全国卷Ⅱ改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x 的定义域和值域相同的是________．(填序号)‎ ‎①y＝x；②y＝lg x；③y＝2x；④y＝.‎ ‎④　[函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．‎ 函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．‎ 函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．‎ 函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．‎ 函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．]‎ ‎7．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________. ‎ ‎【导学号：62172021】‎ ‎－　[由于f(a)＝－3，‎ ‎①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.‎ 由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；‎ ‎②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，‎ 解得a＋1＝8，a＝7，‎ 所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.‎ 综上所述，f(6－a)＝－.]‎ ‎8．(2017·南京质检)若函数f(x)＝则f(5)＝________. ‎ ‎【导学号：62172022】‎ ‎1　[由题意得f(5)＝f(3)＝f(1)＝|12－2|＝1.]‎ ‎9．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．‎ ‎[－1,2]　[∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，‎ ‎∴x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，‎ ‎∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]‎ ‎10．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．‎ a≤　[f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足 f(a)≥－2时，得a≤.]‎ 二、解答题 ‎11．已知f(x)是一次函数，且满足‎3f(x＋1)－‎2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式. 【导学号：62172023】‎ ‎[解]　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则‎3f(x＋1)－‎2f(x－1)＝3ax＋‎3a＋3b－2ax＋‎2a－2b＝ax＋‎5a＋b，‎ 即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，‎ ‎∴ 解得 ‎∴f(x)＝2x＋7.‎ ‎12．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ ‎(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；‎ ‎(2)求f(g(x))的解析式．‎ ‎[解]　(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，‎ ‎∴f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.‎ ‎(2)当x＞0时，g(x)＝x－1，‎ 故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；‎ 当x＜0时，g(x)＝2－x，‎ 故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.‎ ‎∴f(g(x))＝ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”‎ 变换的函数，下列函数：‎ ‎①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)‎ ‎①③　[对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；对于③，‎ f＝ 即f＝故f＝－f(x)，满足．‎ 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]‎ ‎2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝‎2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.‎ ‎－　[设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．又因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝＝－.]‎ ‎3．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．‎ ‎(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；‎ ‎(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵x＝时，4x＝，‎ ‎∴f1(x)＝＝1.‎ ‎∵g(x)＝－＝.‎ ‎∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3.‎ ‎(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，‎ ‎∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.‎ ‎∴∴≤x<.‎ 故x的取值范围为.‎ ‎4．如图42所示，在梯形ABCD中，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4，动点P从B点开始沿着折线BC，CD，DA前进至A，若P点运动的路程为x，△PAB的面积为y.‎ 图42‎ ‎(1)写出y＝f(x)的解析式，指出函数的定义域；‎ ‎(2)画出函数的图象并写出函数的值域．‎ ‎[解]　如图所示，‎ ‎(1)①当P在BC上运动时，如图①所示，‎ 易知∠B＝60°，y＝×10×(xsin 60°)＝x,0≤x≤4.‎ ‎②当P在CD上运动时，如图②所示，‎ y＝×10×2＝10，4