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- 2021-06-16 发布
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第三章 3.2.1 单调性与最大(小)值
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
2.会借助单调性求最值.
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法.
NEIRONGSUOYIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
最值 条件 几何意义
最大值
①对于∀x∈I,都有 ,
②∃x0∈I,使得_________
函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于∀x∈I,都有 ,
②∃x0∈I,使得_________
函数y=f(x)图象上最低点的纵坐标
知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义
f(x)≤M
f(x0)=M
f(x)≥M
f(x0)=M
思考 函数f(x)=x2+1≥-1总成立,f(x)的最小值是-1吗?
答案 f(x)的最小值不是-1,因为f(x)取不到-1.
知识点二 求函数最值的常用方法
1.图象法:作出y=f(x)的图象,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数
的最大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性:
(1)若y=f(x)在区间[a,b]上是增函数,则ymax= ,ymin= .
(2)若y=f(x)在区间[a,b]上是减函数,则ymax= ,ymin= .
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
f(b) f(a)
f(a) f(b)
1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值为____,最大值为____.
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
-1 2
3.函数y=2x2+2,x∈R的最小值是___.2
2 题型探究
PART TWO
一、图象法求函数的最值
解 作出函数f(x)的图象(如图).
由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(1)=f(-1)=1.
当x=0时,f(x)取最小值为f(0)=0,
故f(x)的最大值为1,最小值为0.
反思
感悟 图象法求函数最值的一般步骤
跟踪训练1 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并
写出值域.
图象如图所示,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值,
所以其值域为(-∞,2].
二、利用函数的单调性求最值
(1)判断函数f(x)的单调性并证明;
解 f(x)是增函数,证明如下:
任取x1,x2∈[3,5]且x10,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)5时,因为函数f(x)单调递减,
所以f(x)1时,f(x)在[t,t+2]上为增函数,
f(x)min=f(t)=t2-2t-3.
设函数f(x)的最小值为g(t),则有
素养
提升 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关,求解时
要注意这两个因素.利用二次函数图象,通过直观想象,进行分类讨论.
3 随堂演练
PART THREE
1 2 3 4 5
A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值
C.有最大值也有最小值
D.无最大值也无最小值
√
1 2 3 4 5
2.函数y=x2-2x+2在区间[-2,3]上的最大值、最小值分别是
A.10,5 B.10,1
C.5,1 D.以上都不对
√
解析 因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],
所以当x=1时,ymin=1,
当x=-2时,ymax=(-2-1)2+1=10.故选B.
1 3 4 52
A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.以上都不对
√
1 3 4 52
4.已知函数f(x)=2x-3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是
A.R B.(-∞,-1]
C.[-1,+∞) D.∅
√
解析 因为f(x)=2x-3在x∈[1,+∞)上为增函数,
所以f(x)min=-1,故满足f(x)≥-1.
又因为在x≥1时,f(x)≥m恒成立,
所以m≤-1,故m∈(-∞,-1].
1 3 4 52
2
解析 f(x)的图象如图:
则f(x)的最大值为f(2)=2.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单:函数的最大值、最小值定义.
2.方法归纳:配方法、分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区:
(1)最值M一定是一个函数值,是值域中的一个元素.
(2)在利用单调性求最值时,勿忘求函数的定义域.
本课结束
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