人教A高中数学必修三 用样本的数字特征估计总体的数字特征学案 5页

高中数学必修三学案：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 ‎ 学习目标 ‎ ‎1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。‎ ‎2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。‎ ‎3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。‎ ‎ 学习过程 ‎ 一、课前准备 ‎1.预习众数、中位数、平均数的概念。‎ ‎2.标准差、方差的概念。‎ ‎(1).数据的离散程度可用极差、 、 来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，则定义 ‎ ，表示方差。‎ ‎(2).为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根 ‎= ，表示样本标准差。不要漏写单位。‎ ‎3.如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？‎ ‎①众数： 。‎ ‎②中位数： 。 ‎ ‎③平均数： 。‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 新知1：众数、中位数、平均数 ‎(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数．‎ ‎(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数．‎ ① 当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列中间的那个数．‎ ‎②当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的两个数的平均数．‎ ‎(3)平均数：如果有n个数，那么 叫这n个数的平均数．‎ 新知2：标准差、方差 ‎1.标准差 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。样本数据的标准差的算法：‎ ① 算出样本数据的平均数。‎ ① 算出每个样本数据与样本 ② 算出②中的平方。‎ ③ 算出③中n个平方数的平均数，即为样本方差。‎ ④ 算出④中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。‎ 其计算公式为：‎ 显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。‎ 思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？‎ ‎1.从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。‎ ‎2.方差 从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s2（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：‎ 在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。‎ ‎※ 典型例题 例1 甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．‎ ‎(1)分别求出两人得分的平均数与方差； ‎ ‎(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． ‎ ‎．‎ 例2若的平均数为8，方差为3，则的平均数为 ，方差为 ．‎ ‎※ 动手试试 练1.某工厂人员及工资构成如下：‎ 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 周工资 ‎2200‎ ‎250‎ ‎220‎ ‎200‎ ‎100‎ 人数 ‎1‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎1‎ ‎23‎ ‎（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数 ‎（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？‎ 练2.(2010·南通模拟)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：‎ 甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42‎ 乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40‎ 问：(1)哪种玉米苗长得高？‎ ‎ (2)哪种玉米苗长得齐？‎ 练3.若一组数据的平均数为4，方差为2，则 的平均数为 ，标准差为 ．‎ 三、总结提升 ‎1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：‎ ‎①用样本平均数估计总体平均数。 ‎ ‎②用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。‎ ‎2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。‎ ‎3.标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。‎ ‎ 学习评价 ‎ ‎※ 当堂检测 ‎1.下列说法正确的是（ ）‎ A． 在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B． 平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C． 方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D． 在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．‎ 2. 一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19‎ X,23,27,28,31,其中位数为22，则x=（ ）‎ A .21 B ‎.22 C .20 D.23‎ ‎3.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93 ‎ 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）‎ A.92 ,2 B.92,‎2.8 C.93 ,2 D.93 , 2.8‎ ‎4.样本101，98，102，100，99的标准差为（ ）‎ A． B．‎0 C．1 D．2 ‎ ‎5.一组数据的每一数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别是 、 ．‎ ‎6.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下：‎ 甲 乙 丙 丁 平均环数 ‎8．5‎ ‎8．8‎ ‎8．8‎ ‎8‎ 方 差 ‎3．5‎ ‎3．5‎ ‎2．1‎ ‎8．7‎ 则加奥运会的最佳人选是 ．‎ ‎ 课后作业 ‎ ‎1.某人5次上班途中所的花时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则的值为（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 2. 若数据这20个数据的平均数为；方差为0．20，则这21个数据的方差为 ．‎ 3. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：‎ 甲 ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ 乙 ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 分别计算两组数据的平均数与标准差，从计算结果看，哪台机床的性能较好？‎