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- 2021-06-16 发布
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正弦函数的图像和性质(第一课时)
一、教学具准备
直尺、圆规、投影仪
二、教学目标
1.了解作正弦函数图像的三种常见方法;
2.掌握五点作图法,并会用此方法作出[0, 2 ] 上的正弦曲线;
3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像。
三、教学过程(课件辅助教学)
1.设置情境
引导学生观看 Flash 动画(沙漏实验):红色漏斗中装有细沙,当它左右摆动时,细沙
漏出,均匀撒在匀速移动的平板上,问:细沙在平板上构成何种曲线?
引出本节课我们将一起来学习作正弦函数图像的方法.
2.探索研究
(1)通过练习:比较 o125sin 与 o145sin 的大小复习正弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法,请同学们回忆一下什么叫正弦线?什么
叫余弦线?(师画图 1)
设任意角 的终边与单位圆相交于点 ( , )P x y ,过点作 x 轴的
垂线,垂足为M ,则有向线段 MP 叫做角 的正弦线,有向线段OM
叫做角 的余弦线.
(2)通过描点法作图发现 ( ,sin )
3 3
C
不能做出该点的精确位置,如何利用已经学过的
知识来解决此问题?
在直角坐标系中如何作点 ( ,sin ) 由单位圆中的正弦线
知识,我们只要已知一个角 的大小,就能用几何方法作出对应的
正弦值 sin 的大小来,请同学们思考一下,如何用几何方法在直
角坐标系中作出点 ( ,sin )
3 3
C
?
教师引导学生用图 2的方法画出点C .
我们能否借助上面作点C 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 sin ,y x x R 的图像
呢?
y
O
x
M
P
α的终边
图 1
O
x
M
P
y
π
3
C )(π
3
π
3, nis
O1
图 2
①用几何方法作 sin , [0, 2 ]y x x 的图像
(边画图边讲解),我们先作 siny x 在[0, 2 ] 上的图像,具体分为如下五个步骤:
a.作直角坐标系,并在直角坐标系中 y 轴左侧画单位圆.
b.把单位圆分成 12 等份(等份越多,画出的图像越精确).过单位圆上的各分点作 x 轴的
垂线,可
以得到对应于 0,
6
,
3
,
2
,…, 2 角的正弦线.
O
A
y
O1
x
B B )(
π
2
π
2
3
2ππ
1
1
y nis= x x, ∈ ][ ,20 π
c.找横坐标:把 x 轴上从 0 到 2 (2 6.28) 这一段分成 12 等分.
d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应 12 个点.
e.连线:用平滑的曲线将 12 个点依次从左到右连接起来,即得 sin , [0, 2 )y x x 的
图像.
②作正弦曲线的 sin ,y x x R 图像.
图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数 sin , [2 , 2( 1) )y x x k k 且
0k 的图像与函数 sin , [0, 2 )y x x 的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是我们
只要将函数 sin , [0, 2 )y x x 的图像向左、右平移(每次 2 个单位长度),就可以得到正
弦函数数 sin ,y x x R 的图像,如图.
y
O
x
π
2
π
2
3
2ππ
1
1
π
2
5
3π π
2
7
4π
y nis= x x, ∈R
π
2ππ
2
32ππ
2
5
3ππ
2
74π
正弦函数 sin ,y x x R 的图像叫做正弦曲线.
③五点法作 sin , [0, 2 ]y x x 的简图
师:在作正弦函数 sin , [0, 2 ]y x x 的图像时,我们描述了 12 个点,但其中起关键作
用的是函数 sin , [0, 2 ]y x x 与 x 轴的交点及最高点和最低点这五个点,你能依次它们
的坐标吗?
生:
3(0,0), ( ,1), ( ,0), ( , 1), (2 ,0)
2 2
师:事实上,只要指出这五个点, sin , [0, 2 ]y x x 的图像的形状就基本确定了,以后
我们常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连结起来,就得到函数的简图,这种作
图的方法称为“五点法”作图.
3.例题分析
例.画出函数 1 sin , [0,2 ]y x x 的简图:
解:(1)按五个关键点列表
x 0
2
3
2
2
sin x 0 1 0 -1 0
1 sin x 1 2 1 0 1
利用五点法作出简图
y
O
x
π
2
π
2
3 2ππ
1
1
y nis= 1+ x x, ∈ ][ ,20 π2
y nis= x x, ∈ ][ ,20 π
师:请说出函数 1 siny x 与 siny x 的图像之间有何联系?
生:函数 1 sin , [0,2 ]y x x 的图像可由 sin , [0, 2 ]y x x 的图像向上平移 1 个单位
得到.
4、巩固练习:(1)画出函数 ]
2
3,
2
[),
2
sin(
xxy 的简图。
解:按五个关键点列表
x 0
2
3
2
2
2
x 1 0 -1 0 1
)
2
sin(
x -1 0 1 0 -1
利用五点法作出简图
师: sin , [0, 2 ]y x x 与 ]
2
3,
2
[),
2
sin(
xxy 的图像有何联系?
生: 函数 1 sin , [0,2 ]y x x 的图像可由 sin , [0, 2 ]y x x 的图像向上平移 1
个单位得到.
(2)求满足方程 xx
2
1sin 解的个数。
5、本章小结:(1)如何利用正弦线作正弦函数的图象;
(2)掌握用五点法作正弦函数的简图。
6、作业:(1)、阅读本节教材内容
(2)、整理笔记(重点:“五点法”作图)
(3)、教材 P39 练习 B 1、2
五、板书设计
课题
1.描点法
2.几何法
作法:(1)作单位园;(2)等分;
(3)作正弦线;(4)平移;(5)
4.例题
5、演练反馈
总结提炼
连线
3、.五点法作正弦函数图像
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