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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设随机变量 X~B(40,p),且 E(X)=16,则 p 等于( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
【解析】 ∵E(X)=16,∴40p=16,∴p=0.4.故选D.
【答案】 D
2.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数ξ的期望为( )
A.0.6 B.1
C.3.5 D.2
【解析】 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
所以 E(ξ)=1×1
6
+2×1
6
+3×1
6
+4×1
6
+5×1
6
+6×1
6
=3.5.
【答案】 C
3.设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 1
6
1
6
1
3
1
3
又设η=2ξ+5,则 E(η)等于( )
A.7
6 B.17
6
C.17
3 D.32
3
【解析】 E(ξ)=1×1
6
+2×1
6
+3×1
3
+4×1
3
=17
6
,所以 E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)
+5=2×17
6
+5=32
3 .
【答案】 D
4.某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独
立的,遇到红灯的概率都是1
3
,遇到红灯时停留的时间都是 2 min,这名学生在上
学路上因遇到红灯停留的总时间 Y 的期望为( )
A.1
3 B.1
C.4
3 D.8
3
【解析】 遇到红灯的次数 X~B 4,1
3 ,∴E(X)=4
3.
∴E(Y)=E(2X)=2×4
3
=8
3.
【答案】 D
5.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=1
4
,k=1,2,3,4,则 E(X)的值为( )
A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2
【解析】 E(X)=1×1
4
+2×1
4
+3×1
4
+4×1
4
=2.5.
【答案】 A
二、填空题
6.今有两台独立工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9和0.85,
设发现目标的雷达的台数为 X,则 E(X)=________. 【导学号:97270049】
【解析】 X 可能的取值为 0,1,2,P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015,P(X
=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22,P(X=2)=0.9×0.85=0.765,所以 E(X)
=1×0.22+2×0.765=1.75.
【答案】 1.75
7.(2016·邯郸月考)一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字 0,两
个面上标有数字 1,一个面上标有数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次,则向上的数之
积的数学期望是________.
【解析】 随机变量 X 的取值为 0,1,2,4,P(X=0)=3
4
,P(X=1)=1
9
,P(X=2)
=1
9
,P(X=4)= 1
36
,因此 E(X)=4
9.
【答案】 4
9
8.如图 232,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小
正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的
均值 E(X)=________.
图 232
【解析】 依题意得 X 的取值可能为 0,1,2,3,且 P(X=0)= 33
125
= 27
125
,P(X=1)
=9×6
125
= 54
125
,P(X=2)=3×12
125
= 36
125
,P(X=3)= 8
125.故 E(X)=0× 27
125
+1× 54
125
+
2× 36
125
+3× 8
125
=6
5.
【答案】 6
5
三、解答题
9.某俱乐部共有客户 3 000 人,若俱乐部准备了 100 份小礼品,邀请客户在
指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为 4%.问俱乐部能否向每一位客户都
发出领奖邀请?
【解】 设来领奖的人数ξ=k(k=0,1,…,3 000),
∴P(ξ=k)=Ck3 000(0.04)k(1-0.04)3 000-k,
则ξ~B(3 000,0.04),那么 E(ξ)=3 000×0.04=120(人)>100(人).
∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请.
10.(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽
子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同.从中
任意选取 3 个.
(1)求三种粽子各取到 1 个的概率;
(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.
【解】 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概型的概率计
算公式有 P(A)=C12C13C15
C310
=1
4.
(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且
P(X=0)= C38
C310
= 7
15
,P(X=1)=C12C28
C310
= 7
15
,
P(X=2)=C22C18
C310
= 1
15.
综上知,X 的分布列为
X 0 1 2
P 7
15
7
15
1
15
故 E(X)=0× 7
15
+1× 7
15
+2× 1
15
=3
5(个).
[能力提升]
1.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X 表示甲车床生产 1 000 件产品中
的次品数,Y 表示乙车床生产 1 000 件产品中的次品数,经一段时间考察,X,Y
的分布列分别是:
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
X 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定( )
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
【解析】 E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,
E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7.
由于 E(Y)>E(X),
故甲比乙质量好.
【答案】 A
2.某船队若出海后天气好,可获得 5 000 元;若出海后天气坏,将损失 2 000
元;若不出海也要损失 1 000 元.根据预测知天气好的概率为 0.6,则出海的期望
效益是( )
A.2 000 元 B.2 200 元
C.2 400 元 D.2 600 元
【解析】 出海的期望效益 E(ξ)=5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-
800=2 200(元).
【答案】 B
3.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假
定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3
,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且
三个公司是否让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数,若
P(X=0)= 1
12
,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________.
【解析】 ∵P(X=0)= 1
12
=(1-p)2×1
3
,∴p=1
2.随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3,
因此 P(X=0)= 1
12
,P(X=1)=2
3
×
1
2 2+2×1
3
×
1
2 2=1
3
,P(X=2)=2
3
×
1
2 2×2+
1
3
×
1
2 2= 5
12
,P(X=3)=2
3
×
1
2 2=1
6
,因此 E(X)=1×1
3
+2× 5
12
+3×1
6
=5
3.
【答案】 5
3
4.(2015·山东高考)若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,
十位数字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等).
在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1
个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之
积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得-1 分;
若能被 10 整除,得 1 分.
(1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”;
(2)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X).
【解】 (1)个位数字是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C39=84,随机变量 X 的取值为:
0,-1,1,因此,
P(X=0)=C38
C39
=2
3
,
P(X=-1)=C24
C39
= 1
14
,
P(X=1)=1- 1
14
-2
3
=11
42.
所以 X 的分布列为
X 0 -1 1
P 2
3
1
14
11
42
则 E(X)=0×2
3
+(-1)× 1
14
+1×11
42
= 4
21.
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