2020_2021学年新教材高中数学第1章集合1 6页

第2课时　集合的表示 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)‎ ‎2．通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．‎ ‎3．了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)‎ ‎4．了解集合的不同的分类方法．‎ 通过学习本节内容，培养学生的数学运算、逻辑推理的核心素养．‎ 要研究集合，要在集合的基础上研究其它问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何表示这类集合？‎ ‎1．集合的表示方法 表示方法 定义 一般形式 列举法 将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内 ‎{a1，a2，…，an，…}‎ 描述法 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来 ‎{x|p(x)}‎ Venn图法 用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合 ‎2．集合的分类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合，记作∅‎ ‎3．集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}． (　　)‎ ‎(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2． (　　)‎ ‎(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}相等． (　　)‎ - 6 -‎ ‎[提示]　(1)由集合元素的互异性知错．‎ ‎(2)集合{(1,2)}中的元素为有序实数对(1,2)．‎ ‎(3)∵A＝{x|x－1＝0}＝{1}＝B，故正确．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1} 相等集合．(填“是”或“不是”)‎ ‎(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝ ．‎ ‎(1)是　(2)3　[(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．‎ ‎(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3．]‎ ‎3．(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为 ．‎ ‎(2)集合{(x，y)|y＝x＋1}表示的意义是 ．‎ ‎(1){x|x<10}　(2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合　[(1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x<10}．‎ ‎(2)集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．]‎ ‎4．若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C．‎ 则集合A，B，C中， 是有限集， 是空集， 是无限集．‎ A　C　B　[∵x2－4＝0，∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个，则B为无限集；x2＝－1无实根，则C为空集．]‎ 集合的表示方法 ‎【例1】　用适当的方法表示下列集合：‎ ‎(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；‎ ‎(2)不等式3x－8≥7－2x的解集；‎ ‎(3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；‎ ‎(4)．‎ ‎[思路点拨]　(1)(4)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．‎ ‎[解]　(1)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，‎ ‎∴或或 ‎∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．‎ ‎(2)由3x－8≥7－2x，可得x≥3，‎ 所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．‎ - 6 -‎ ‎(3){(x，y)|y＝x2－2}．‎ ‎(4)∵∈N，x∈N，∴当x＝0,6,8这三个自然数时，＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．‎ ‎1．集合表示法的选择 对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；对于无明显规律的无限集，可采用描述法．‎ ‎2．用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．‎ ‎3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．‎ ‎1．试分别用列举法和描述法表示下列集合：‎ ‎(1)方程x2－x－2＝0的解集；‎ ‎(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．‎ ‎[解]　(1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．‎ ‎(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－10．‎ ‎【例3】　已知关于x，y的方程组的解集中只有一个元素，则实数k的取值集合为(　　)‎ A． B．{0}‎ C． D． - 6 -‎ ‎[思路点拨]　二元一次方程组的解集中只有一个元素说明消元后关于y的方程ky2－4y＋8＝0可能是一次方程，也可能是二次方程，但Δ＝0．‎ C　[由消去x得，ky2－4y＋8＝0．当k＝0时，y＝2，满足题意；当k≠0时，Δ＝16－32k＝0，k＝，综上k＝0或k＝．故选C．]‎ ‎1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法．一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．‎ ‎2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．‎ ‎3．已知y＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y＋ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B．‎ ‎[解]　∵A＝{1，－3}，‎ ‎∴，∴ ‎∴y＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x)＝x2－3，‎ ‎∴y＋ax＝0，即x2－3＝0，‎ ‎∴x＝±，∴B＝{，－}．‎ 集合表示的要求 ‎(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．‎ ‎(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．‎ ‎1．方程组的解集不可表示为(　　)‎ A． B． C．{1,2} D．{(1,2)}‎ C　[方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解．]‎ ‎2．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为 ．‎ ‎{1,2,3,4}　[∵x－3<2，∴x<5．‎ 又x∈N*，∴x＝1,2,3,4．]‎ - 6 -‎ ‎3．已知M＝{2，a，b}，N＝{‎2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝ ．‎ ‎1或　[∵M＝N，则有或解得或∴a＋b＝1或．]‎ ‎4．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．‎ ‎[解]　三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．‎ - 6 -‎