2020_2021学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册 4页

第2章 常用逻辑用语 ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 充分条件与必要条件的判断 ‎【例1】　(1)设p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，则p是q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)“a＝‎0”‎是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．‎ ‎(1)A　(2)充要　[(1)当1＜x＜2时，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p⇒q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp．‎ ‎(2)当a＝0时，二次函数y＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，关于y 轴对称；若二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象对称轴为x＝－，其关于y 轴对称，则－＝0，解得a＝0．‎ 综上可知，“a＝0”是“二次函数y＝x2＋ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的充要条件．]‎ 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.‎ (2)等价法：利用A⇒B与B⇒A，B⇒A与A⇒B，A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.‎ (3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A - 4 -‎ 的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.‎ ‎1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)‎ A．a＞b＋1 B．a＞b－1‎ C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ A　[a＞b＋1⇒a＞b，a＞ba＞b＋1．]‎ 充分、必要、充要条件的应用 ‎【例2】　已知非空集合A＝{x|‎2a－3b2的一个充分不必要条件是a>|b|．‎ ‎[证明]　充分性：因为a>|b|，所以a>0，‎ 即|a|>|b|≥0，所以a2>b2，‎ 所以a>|b|是a2>b2的充分条件，‎ 因为a＝－2，b＝1时a2>b2，但a<|b|，‎ - 4 -‎ 所以a>|b|不是a2>b2的必要条件．‎ 综上：a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|．‎ 利用命题的真假求参数的取值 ‎【例3】　(1)已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤‎0”‎是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1,3)‎ C．(－3，＋∞) D．(－3,1)‎ ‎(2)已知p：∃x0∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q都是假命题，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．m≥2 B．m≤－2‎ C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2‎ ‎(1)B　(2)A　[(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，命题的否定为真命题，‎ 则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，‎ 则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，故选B．‎ ‎(2)依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2．‎ 因此，由p，q均为假命题得 即m≥2，故选A．]‎ 含量词的命题中求参数范围的讨论步骤 (1)先根据条件推出每一个命题的真假．‎ (2)求出每个命题为真命题时参数的取值范围．‎ (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．‎ ‎3．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　由题意，∀x∈[－1，＋∞)，令y＝x2－2ax＋2≥a恒成立，‎ 所以y＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，ymin≥a恒成立，而∀x∈[－1，＋∞)，‎ - 4 -‎ ymin＝ 由f(x)的最小值ymin≥a，‎ 知a∈[－3,1]．即所求实数a的取值范围是[－3,1]．‎ - 4 -‎