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  • 2021-06-16 发布

2020_2021学年新教材高中数学第2章常用逻辑用语章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册

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第2章 常用逻辑用语 ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 充分条件与必要条件的判断 ‎【例1】 (1)设p:1<x<2,q:|x-1|<1,则p是q成立的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)“a=‎0”‎是“二次函数y=x2+ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.‎ ‎(1)A (2)充要 [(1)当1<x<2时,0<x-1<1,所以|x-1|<1,即p⇒q;但由|x-1|<1,得0<x<2,所以qp.‎ ‎(2)当a=0时,二次函数y=x2+ax(x∈R)即为f(x)=x2,关于y 轴对称;若二次函数y=x2+ax(x∈R)的图象对称轴为x=-,其关于y 轴对称,则-=0,解得a=0.‎ 综上可知,“a=0”是“二次函数y=x2+ax(x∈R)的图象关于y 轴对称”的充要条件.]‎ 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假.‎ (2)等价法:利用A⇒B与B⇒A,B⇒A与A⇒B,A⇔B与B⇔A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.‎ (3)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A - 4 -‎ 的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.‎ ‎1.下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要条件是(  )‎ A.a>b+1 B.a>b-1‎ C.a2>b2 D.a3>b3‎ A [a>b+1⇒a>b,a>ba>b+1.]‎ 充分、必要、充要条件的应用 ‎【例2】 已知非空集合A={x|‎2a-3b2的一个充分不必要条件是a>|b|.‎ ‎[证明] 充分性:因为a>|b|,所以a>0,‎ 即|a|>|b|≥0,所以a2>b2,‎ 所以a>|b|是a2>b2的充分条件,‎ 因为a=-2,b=1时a2>b2,但a<|b|,‎ - 4 -‎ 所以a>|b|不是a2>b2的必要条件.‎ 综上:a2>b2的一个充分不必要条件是a>|b|.‎ 利用命题的真假求参数的取值 ‎【例3】 (1)已知命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+≤‎0”‎是假命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1) B.(-1,3)‎ C.(-3,+∞) D.(-3,1)‎ ‎(2)已知p:∃x0∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p和q都是假命题,则实数m的取值范围为(  )‎ A.m≥2 B.m≤-2‎ C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2‎ ‎(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0,由题意知,命题的否定为真命题,‎ 则Δ=(a-1)2-4×2×<0,‎ 则-2<a-1<2,则-1<a<3,故选B.‎ ‎(2)依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,∀x∈R,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.‎ 因此,由p,q均为假命题得 即m≥2,故选A.]‎ 含量词的命题中求参数范围的讨论步骤 (1)先根据条件推出每一个命题的真假.‎ (2)求出每个命题为真命题时参数的取值范围.‎ (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.‎ ‎3.若命题“∀x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a”是真命题,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] 由题意,∀x∈[-1,+∞),令y=x2-2ax+2≥a恒成立,‎ 所以y=(x-a)2+2-a2≥a可转化为∀x∈[-1,+∞),ymin≥a恒成立,而∀x∈[-1,+∞),‎ - 4 -‎ ymin= 由f(x)的最小值ymin≥a,‎ 知a∈[-3,1].即所求实数a的取值范围是[-3,1].‎ - 4 -‎