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  • 2021-06-16 发布

高二年级学科知识竞赛数学试卷

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高二年级学科知识竞赛数学试卷 第 I 卷(选择题) 一、填空题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.命题 :p 方程 115 22  m y m x 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则使命题 p 成立的充分不必要条件是 A. 53  m B. 1m C. 51  m D. 54  m 2.已知集合  2| 2 0A x x x    , 1 2 | log 1B x x       ,则 A B  ( ) A. 1(0, )2 B. (0,1) C. 1( 2, )2  D. 1( ,1)2 3.若数列 na 满足   2 1 1 15, 2 2 n n n n a aa a n Na       ,则其前 10 项和为( ) A. 200 B.150 C.100 D.50 4.已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的离心率为 6 2 ,左顶点到一条渐近线的距离为 2 6 3 ,则该双 曲线的标准方程为( ) A. 2 2 18 4 x y  B. 2 2 116 8 x y  C. 2 2 116 12 x y  D. 2 2 112 8 x y  5.设 ,m n 是两条不同的直线, ,  是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) ①若 ,m     ,则 / /m  ; ②若 , / / ,m n     ,则 m n ; ③若 , , / /m n m n   ,则 / /  ; ④若 , ,n n m     ,则 m  . A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设 0,0 1x y a b     ,则下列恒成立的是( ) A. a bx y B. a bx y C. x ya b D. x ya b 7.已知函数 ( ) sin( )f x A x   ( 0A  , 0  ,0 2   )的部分图像如图所示,则函数 ( )f x 的 解析式为( ) A. ( ) 2 sin(2 )3f x x   B. ( ) 2 sin(2 )6f x x   C. ( ) 2sin(2 )3f x x   D. ( ) 2sin(2 )6f x x   8.正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, M 是 1DD 的中点, O 为底 面 ABCD 的中心, P 为棱 1 1A B 上的任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角为( ) A. 45o B. 60o C. 90o D.与点 P 的位置有关 9.一只蚂蚁从正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的顶点 A 处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点 1C 位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( ) A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 10.函数 lncos 2 2y x x        的图象是( ) A. B. C. D. 11.设点 1 2,F F 分别为椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左右焦点,l 为右准线,若在椭圆上存在点 M,使 1MF , 2MF ,点 M 到l 的距离 d 成等比数列,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( ) A. 2 1,1  B. 2 1,1   C.0, 2 1  D. 20, 2      12. 已知全集 },|),{( RyxyxU  ,集合 }20,1sin)4(cos|),{(   yxyxA ,集合 A 的补集 ACU 所对应区域的对称中心为 M ,点 P 是线段 )0,0(8  yxyx 上的动点,点Q 是 x 轴 上的动点,则 MPQ 周长的最小值为( ) A. 24 B. 104 C.14 D. 248  第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量AB→与AC→的夹角为 120°,且|AB→|=2,|AC→|=3.若AP→=λAB→+AC→,且AP→⊥BC→,则λ= . 14.正数 yx, 满足 22  yx ,则 xy yx 8 的最小值为 . 15.设 nS 为等差数列 na 的前 n 项之和,  9 418, 30 9 , 336n nS a n S    ,则 n  . 16.对于函数         sin , 0,2 1 2 , 2,2 x x f x f x x       ,有下列 4 个命题: ①任取  1 2, 0,x x   ,都有    1 2 2f x f x  恒成立; ②     *2 2f x kf x k k N   ,对于一切  0,x  恒成立; ③函数    ln 1y f x x   有 3 个零点; ④对任意 0x  ,不等式   2f x x  恒成立. 则其中所有真命题的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)已知 0a  ,设命题 p :函数   2 2 1 2f x x ax a    在区间 0,1 上与 x轴有两个不同的 交点;命题 q :  g x x a ax   有最小值.若 p q  是真命题,求实数 a 的取值范围. 18.(12 分)如图所示,已知二面角αMNβ的大小为 60°,菱形 ABCD 在面β内,A,B 两点在棱 MN 上, ∠BAD=60°,E 是 AB 的中点,DO⊥面α,垂足为 O. (1)证明:AB⊥平面 ODE; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值. 19 .( 12 分 ) 如 图 所 示 , 在 ABC 中 , 点 D 为 BC 边 上 一 点 , 且 1,BD E 为 AC 的 中 点, 3 2 7 2,cos ,2 7 3AE B ADB     . (1)求 AD 的长; (2)求 ADE 的面积. 20.(12 分)设函数  f x 是定义域为 1,1 的奇函数;当  1,0x  时,   23f x x  . (1)当  0,1x 时,求  f x ; (2)对任意的    1,1 , 1,1a x    ,不等式   22cos sin 1f x a    都成立,求 的取值范围. 21、(12 分)已知椭圆的两个焦点为    1 21,0 , 1,0F F ,且椭圆与直线 3y x  相切. ⑴求椭圆的方程; ⑵过 1F 作互相垂直的直线 1 2,l l ,与椭圆分别交于 ,P Q 及 ,M N ,求四边形 PQMN 面积的最大值和最小值. 22.(12 分)已知数列 na 的前 n 项和为 nA ,对任意 *n N 满足 1 1 1 2 n nA A n n    ,且 1 1a  ,数列 nb 满 足  * 2 1 32 0 , 5n n nb b b n N b      ,其前 9 项和为 63. (1)求数列 na 和 nb 的通项公式; (2)令 n n n n n b ac a b   ,数列 nc 的前 n 项和为 nT ,若对任意正整数 n ,都有 2nT n a  ,求实数 a 的取 值范围; (3)将数列   ,n na b 的项按照“当 n 为奇数时, na 放在前面;当 n 为偶数时, nb 放在前面”的要求进 行“交叉排列”,得到一个新的数列: 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6, , , , , , , , , ,a b b a a b b a a b b , ,求这个新数列的前 n 项和 nS . 参考答案 一、选择题 1.D 解析:方程表示焦点在 y 轴上的充要条件是 5 0 1 0 1 5 m m m m          ,解得 3 5m  ,所以选项中是 3 5m  的充分不必要条件的是 4 5m  ,故选 D. 2.A 解析:依题意   12,1 , 0, 2A B        ,故 10, 2A B      . 3.D 解析:由已知 1n na a  4. A 解析: 6 6 , 22 2e c a a b    ,渐近线方程 2 2 2 2 0 22 x y y xb b      ,因此左顶点到一条 渐近线的距离为 | | 2 6 2 2, 233 a a b    ,即该双曲线的标准方程为 2 2 18 4 x y  ,选 A. 5. D 解析:对于①,有可能 m  ,故错误;对于③ ,  可能相交,故错误.所以选 D. 6 .D 解析: x y ya a b  7. D 解析: 0x  时, 1y  ,代入验证,排除 A,B,C 选项,故选 D. 8. C. 解析:如下图所示建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为 2 ,设 ( ,0,0)P x , (1,1,2)O , (0,2,1)M , (0,0,2)A ,∴ ( 1, 1, 2)OP x    , (0,2, 1)AM   , ∴ ( 1) 0 1 2 ( 2) ( 1) 0OP AM x            ,即OP AM ,故夹角为 2  ,故选 C. 9.D 解析:最短距离是正方体侧面展开图,即矩形 1 1 1ABCC B A A 的对角线 1AC (经过 1BB )、或矩形 1 1ABCC D DA 的对角线 1AC (经过CD ),故视图为②④. 10. A 解析:由偶函数排除 B、D,  ,0,1cos0 yx 排除 C. 11.A 解 析 : 由 题 意 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 1 aMF MF MF e MF MF a MF MF a ce e            21 2 2 1 1e e      12.B 解 析 : ∵ 点(0,4)到 直 线 cos ( 4)sin 1x y    的 距 离 2 2 1 1d cos sin     ,∴ 直 线 cos ( 4)sin 1x y    始终与圆  22 4 1x y   相切, ∴集合 A 表示除圆  22 4 1x y   以外所有的点组成的集合, ∴集合 ACU 表示圆  22 4 1x y   ,其对称中心  0,4M 如图所示:设 M是点  0,4M 关于直线线段 )0,0(8  yxyx 的对称点,设 M a b( , ), 则由 1    0 4 4 2 0 82 a b a b          = 求得 4   8 a b    ,可得 M(4,8). 设 M关于 x 轴的对称点为 M m n( , ),易得 M(4,-8),则直线QM  ,和线段的交点为 P ,则此时, MPQ 的周长为 4 10MP PQ QM PM PQ QM M Q QM M Q QM M M              ,为最 小值, 二、填空题 13. 12 7 解析:由AP→·BC→=(λAB→+AC→)·(AC→-AB→)=λAB→·AC→-λ(AB→)2+(AC→)2-AC→·AB→=0, 得-3λ-4λ+9+3=0,解得λ=12 7 . 14.9 解析: 8 1 8 1 8 2 1 16 1 1610 10 2 92 2 2 x y x y y x y x xy y x y x x y x y                            15. 21 解析:      1 5 4 2 30 336 212 2 2 n n n n a a n a a nS n        16.①③④ 【解析】:         sin , 0,2 1 2 , 2,2 x x f x f x x       的图象如图所示,① )(xf 的最大值为1,最小值为 1 ,所以 任 取  1 2, 0,x x   , 都 有    1 2 2f x f x  恒 成 立 , 正 确 ; ② )82 1(8)62 1(6)42 1(4)22 1(2)2 1(  fffff , 故 不 正 确 ; ③ 如 图 所 示 , 函 数    ln 1y f x x   有3个零点;④由题意,可得, )22,2(  kkx , kxf 2 1)( max  , 1k 1 x k min )( .证 明 k2 1 1k 1  ,即证明 1k2k  ,又 1k2k  , )1( k ,所以 k2 1 1k 1  ,所以对任意 0x ,不等 式 x kxf )( 恒成立,所以对任意 0x ,不等式   2f x x  恒成立正确.故答案:①③④. 三、解答题 17. 解析:若  p q  是真命题,则 p 为假命题且 q 为真命题.分别求出 ,p q 为真时,参数 a 的范围,取 其补集即得 p 为假时,参数 a 的范围,取交集即得实数 a 的取值范围. 试题解析:若 p 真,则     0, 0 1, 0 0, 1 0, a f f         即 2 2 1 0, 0 1, 1 2 0, 2 4 0, a a a a a             ∴ 12 1 2a   . 若 q 真,       1 , , 01 , , a x a x ag x aa x a x a         ∴  1 0a   , 即  g x 在 ,a 上是单调递减的,要使  g x 有最小值,则  g x 在 ,a  上单调递增或为常数, 即1 0a  ,∴ 0 1a  . 若 p q  是真命题,则 p 为假命题且 q 为真命题, ∴ 10 2 1 ,2 0 1 a a a         或 即 0 2 1a   或 1 12 a  . ∴实数 a 的取值范围为 10, 2 1 ,12       . 18.解:(1)证明:如图,因为 DO⊥α,AB⊂α,所以 DO⊥AB. 连接 BD,由题设知,△ABD 是正三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE⊥AB.而 DO∩DE=D,故 AB ⊥平面 ODE. (2)因为 BC∥AD,所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角,即∠ADO 是 BC 与 OD 所成的 角. 由(1)知,AB⊥平面 ODE,所以 AB⊥OE.又 DE⊥AB,于是∠DEO 是二面角αMNβ的平面角,从而 ∠DEO=60°. 不妨设 AB=2,则 AD=2,易知 DE= 3. 在 Rt△DOE 中,DO=DE·sin 60°=3 2. 连接 AO,在 Rt△AOD 中,cos∠ADO=DO AD = 3 32 2 4  19.(1)在 ABD 中,   2 22 7 2 7 21cos , 0, , sin 1 cos 17 7 7B B B B              ,   21 1 2 7 3 21sin sin 7 2 7 2 14BAD B ADB              , 由正弦定理 sin sin AD BD B BAD   , 知 211 7 2sin 21 14 BDAD BAD     . (2)由(1)知 2AD  ,依题意得 2 3AC AE  ,在 ACD 中,由余弦定理得 2 2 2 2 cosAC AD DC AD CD ADC    ,即 29 4 2 2 cos 3DC CD      , 2 2 5 0DC DC    ,解得 1 6DC   (负值舍去).  1 1 3 3 3 2sin 2 1 62 2 2 2ADS AD DC ADC          , 从而 1 3 3 2 2 4AD ADCS S    . 20.(1)设  0,1x ,则  1,0x   ,所以     23f x f x x    ; (2)由(1)知,       2 2 3 , 1,0 3 , 0,1 x xf x x x      ,所以    max 1 3f x f  , 因为   22cos sin 1f x a    对  1,1x   都成立,即  2 max2cos sin 1 3a f x     , 即 22cos sin 1 3a    对  1,1a   恒成立, 所以 2 2 2cos sin 1 3 2cos sin 1 3             ,即 2 2 2sin sin 0 2sin sin 0           , 所以 sin 0  ,即  k k Z   ,所以 的取值范围为 | ,k k Z    . 21.⑴设椭圆的方程为   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ; 联立 2 2 2 2 1 3 x y a b y x       得 2 2 2 2 2 2 22 3 3 0b a x a x a a b     有唯一根; 所以     22 2 2 2 2 22 3 4 3 0a b a a a b      ,得 2 2 3b a  又 2 2 1a b  ,所以 2 22, 1a b  ,所以椭圆的方程为: 2 2 12 x y  ⑵若 PQ 的斜率不存在或为 0 时, 22PQMN PQ MNS   ’ 若 PQ 的斜率存在,设为  0k k  ,则 MN 的斜率为 1 k  直线 PQ 的方程为 y kx k  ,设    1 1 2 2, , ,P x y Q x y 联立   2 2 2 2 2 21 2 1 4 2 2 02 x y k x k x k y kx k            得 ,则 2 2 1 2 2 11 2 2 1 2 kPQ k x x k      同理 2 2 12 2 2 kMN k   , 所以 2 4 2 4 2 4 2 1 2 1 1 24 42 2 5 2 2 2 5 2PQMN kPQ MN k kS k k k k                = 2 2 1 14 42 4 10k k          , 因为 2 2 44 8k k   ,当 2 1k  时取等号,所以 2 2 1 10,4 184 10k k      , 所以 2 2 1 1 164 ,242 94 10k k               ,所以四边形 PQMN 面积的最小值为16 9 ,最大值为 2。 22.(1)∵ 1 1 1 2 n nA A n n    ,∴数列 nA n     是首项为 1,公差为 1 2 的等差数列, ∴  1 1 1 11 2 2 2 nA A n nn       ,即    *1 2n n nA n N   , ∴       * 1 1 1 2 1 12 2n n n n n n na A A n n N           , 又 1 1a  ,∴  * na n n N  . ∵ 2 12 0n n nb b b    ,∴数列 nb 是等差数列, 设 nb 的前 n 项和为 nB ,∵  3 7 9 9 632 b bB   且 3 5b  , ∴ 7 9b  ,∴ nb 的公差为  *7 3 9 5 1, 27 3 7 3 n b b b n n N       (2)由(1)知 2 1 12 22 2 n n n n n b a n nc a b n n n n             , ∴ 1 2 1 1 1 1 12 2 1 3 2 4 2n nT c c c n n n                 1 1 1 1 12 2 1 2 3 22 1 2 1 2n nn n n n                      , ∴ 1 12 3 2 1 2nT n n n         设 1 13 2 1 2nR n n        ,则   1 1 1 42 01 3 1 3n nR R n n n n            , ∴数列 nR 为递增数列, ∴  1min 4 3nR R  , ∵对任意正整数 n ,都有 2nT n a  恒成立,∴ 4 3a  . (3)数列 na 的前 n 项和  1 2n n nA  ,数列 nb 的前 n 项和  5 2n n nB  , ①当  *2n k k N  时,     21 5 32 2n k k k k k kS A B k k        ; ②当  *4 1n k k N   时,      2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 5 4 8 12 2n k k k k k kS A B k k          , 特别地,当 1n  时, 1 1S  也符合上式; ③当  *4 1n k k N   时,     2 2 1 2 2 1 2 2 2 5 4 42 2n k k k k k kS A B k k        . 综上: 2 2 * 2 1 3 , 24 2 6 3 , 4 3,4 6 5 , 4 14 n n n n k n nS n k k N n n n k               