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- 2021-06-16 发布
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第四章单元质量评估
时限:120 分钟 满分:150 分
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小
题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.已知 错误!f(x)dx=m,则 错误!nf(x)dx=( C )
A.m+n B.m-n
C.mn D.mn
解析:根据定积分的性质,错误!nf(x)dx=n错误!f(x)dx=mn.
解析:∵|x|是偶函数,
3.由曲线 y=f(x)(f(x)≤0),x∈[a,b],直线 x=a,x=b(a0)及 x 轴所围成的 x 轴上方的
图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( C )
A.2πa2 B.4πa2
C.12πa3 D.14πa3
解析:
6.由抛物线 y=-x2 与直线 y=2x-3 所围成的图形的面积是
( B )
A.5
3 B.32
3
C.64
3 D.9
解析:如图所示,由 y=-x2,
y=2x-3
得到 x=1 或 x=-3.
7.如图所示的阴影部分的面积是( C )
A.e+1
e B.e+1
e
-1
C.e+1
e
-2 D.e-1
e
解析:S=错误!(ex-e-x)dx=(ex+e-x)|10=e+e-1-(e0+e0)=e+1
e
-
2.
8.定积分错误![ 1-x-12-x]dx=( A )
A.π-2
4 B.π-2
2
C.π-1
4 D.π-1
2
解析:错误![ 1-x-12-x]dx
=错误! 1-x-12dx-错误!xdx
=π
4
-1
2
=π-2
4 .
9.已知自由落体运动的速率 v=gt,则落体运动从 t=0 到 t=t0
所走的路程为( C )
A.gt20 B.gt20
3
C.gt20
2 D.gt20
6
解析:
10.物体 A 以速度 v=(3t2+1) m/s 在直线 l 上运动,物体 B 在直
线 l 上,且在物体 A 的正前方 5 m 处,同时以 v=10t(m/s)的速度与 A
同向运动,出发后物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( C )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:因为物体 A 在 t 秒内运动的路程为错误!(3t2+1)dt,物体 B
在 t 秒内运动的路程为 错误!10tdt,所以错误!(3t2+1-10t)dt=(t3+t-
5t2)|t0=t3+t-5t2=5,所以(t-5)(t2+1)=0,所以 t=5.
①f(x)=sin1
2x,g(x)=cos1
2x;
②f(x)=x+1,g(x)=x-1;
③f(x)=x,g(x)=x2.
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( C )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:
12.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以
速度 v(t)=7-3t+ 25
1+t(t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在
此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( C )
A.1+25ln5 B.8+25ln11
3
C.4+25ln5 D.4+50ln2
解析:由 v(t)=0 得 t=4(舍负),
故刹车距离为 s=错误!v(t)dt=错误!
7-3t+ 25
1+t dt
= -3
2t2+7t+25ln1+t |40=4+25ln5.
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案
填写在题中横线上)
解析:
14.如果 错误!f(x)dx=1,错误!f(x)dx=-1,则 错误!f(x)dx=-2.
解析:∵错误!f(x)dx=错误!f(x)dx+错误!f(x)dx,
∴错误!f(x)dx=错误!f(x)dx-错误!f(x)dx=-1-1=-2.
15.已知函数 y=f(x)的图像是折线段 ABC,其中 A(0,0),B
1
2
,5 ,
C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为5
4.
解析:由题意可得 f(x)=
10x,0≤x≤1
2
,
10-10x,1
20),
代入点 B 的坐标,得 p=25
4
,
故抛物线的方程为 y= 2
25x2.
从而曲边三角形 OEB 的面积为 错误! 2
25x2dx=2x3
75
|50=10
3 .
又 S△ABE=1
2
×2×2=2,
故曲边三角形 OAB 的面积为4
3
,
从而图中阴影部分的面积为8
3.
又易知等腰梯形 ABCD 的面积为6+10
2
×2=16,
则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 16
16-8
3
=1.2.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤)
17.(10 分)计算下列定积分:
解:
18.(12 分)求函数 f(a)=错误!(6x2+4ax+a2)dx 的最小值.
解:f(a)=错误!(6x2+4ax+a2)dx
=(2x3+2ax2+a2x)|10=a2+2a+2=(a+1)2+1,
则 f(a)的最小值为 1.
19.(12 分)求由曲线 y=x2+2 与直线 y=3x,x=0,x=2 所围成
的平面图形的面积.
解:在坐标轴中画出 y=x2+2 与 y=3x 的图像(图略),由图可知
S=错误!(x2+2-3x)dx+错误!(3x-x2-2)dx
=
1
3x3-3
2x2+2x 10+ -1
3x3+3
2x2-2x |21
=1
3
-3
2
+2+-1
3
×8+3
2
×4-4--1
3
+3
2
-2
=5
6
-2
3
+5
6
=5
3
-2
3
=1.
20.(12 分)求由曲线 y=1
2x2 与 y= 2x所围成的平面图形绕 x 轴
旋转一周所得旋转体的体积.
解:由曲线 y=1
2x2 与 y= 2x所围成的平面图形如图阴影部分所
示.
设所求旋转体的体积为 V,根据图像可以看出 V 等于由曲线 y=
2x,直线 x=2 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体
的体积(设为 V1)减去由曲线 y=1
2x2,直线 x=2 与 x 轴所围成的平面
图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为 V2).
21.(12 分)如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动,
记直线 OP,曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别为 S1,S2,若
S1=S2,求点 P 的坐标.
解:
整理得 1
2kx20-1
3x30=8
3
-2k-
1
3x30-1
2kx20 ,
解得 k=4
3
,即直线 OP 的方程为 y=4
3x,
所以点 P 的坐标为
4
3
,16
9 .
22.(12 分)一物体按规律 x=bt3(b>0,且 b 为常数)做直线运动,
式子中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比,
比例系数为 k= 7.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时阻力所做的功.
解:物体的速度 v=(bt3)′=3bt2.媒质阻力 F=kv2= 7(3bt2)2=
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