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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年北师大版数学选修2-2课时作业:第四章 定积分 单元质量评估

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第四章单元质量评估 时限:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.已知 错误!f(x)dx=m,则 错误!nf(x)dx=( C ) A.m+n B.m-n C.mn D.mn 解析:根据定积分的性质,错误!nf(x)dx=n错误!f(x)dx=mn. 解析:∵|x|是偶函数, 3.由曲线 y=f(x)(f(x)≤0),x∈[a,b],直线 x=a,x=b(a0)及 x 轴所围成的 x 轴上方的 图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( C ) A.2πa2 B.4πa2 C.12πa3 D.14πa3 解析: 6.由抛物线 y=-x2 与直线 y=2x-3 所围成的图形的面积是 ( B ) A.5 3 B.32 3 C.64 3 D.9 解析:如图所示,由 y=-x2, y=2x-3 得到 x=1 或 x=-3. 7.如图所示的阴影部分的面积是( C ) A.e+1 e B.e+1 e -1 C.e+1 e -2 D.e-1 e 解析:S=错误!(ex-e-x)dx=(ex+e-x)|10=e+e-1-(e0+e0)=e+1 e - 2. 8.定积分错误![ 1-x-12-x]dx=( A ) A.π-2 4 B.π-2 2 C.π-1 4 D.π-1 2 解析:错误![ 1-x-12-x]dx =错误! 1-x-12dx-错误!xdx =π 4 -1 2 =π-2 4 . 9.已知自由落体运动的速率 v=gt,则落体运动从 t=0 到 t=t0 所走的路程为( C ) A.gt20 B.gt20 3 C.gt20 2 D.gt20 6 解析: 10.物体 A 以速度 v=(3t2+1) m/s 在直线 l 上运动,物体 B 在直 线 l 上,且在物体 A 的正前方 5 m 处,同时以 v=10t(m/s)的速度与 A 同向运动,出发后物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( C ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:因为物体 A 在 t 秒内运动的路程为错误!(3t2+1)dt,物体 B 在 t 秒内运动的路程为 错误!10tdt,所以错误!(3t2+1-10t)dt=(t3+t- 5t2)|t0=t3+t-5t2=5,所以(t-5)(t2+1)=0,所以 t=5. ①f(x)=sin1 2x,g(x)=cos1 2x; ②f(x)=x+1,g(x)=x-1; ③f(x)=x,g(x)=x2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( C ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析: 12.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以 速度 v(t)=7-3t+ 25 1+t(t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在 此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( C ) A.1+25ln5 B.8+25ln11 3 C.4+25ln5 D.4+50ln2 解析:由 v(t)=0 得 t=4(舍负), 故刹车距离为 s=错误!v(t)dt=错误! 7-3t+ 25 1+t dt = -3 2t2+7t+25ln1+t |40=4+25ln5. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案 填写在题中横线上) 解析: 14.如果 错误!f(x)dx=1,错误!f(x)dx=-1,则 错误!f(x)dx=-2. 解析:∵错误!f(x)dx=错误!f(x)dx+错误!f(x)dx, ∴错误!f(x)dx=错误!f(x)dx-错误!f(x)dx=-1-1=-2. 15.已知函数 y=f(x)的图像是折线段 ABC,其中 A(0,0),B 1 2 ,5 , C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为5 4. 解析:由题意可得 f(x)= 10x,0≤x≤1 2 , 10-10x,1 20), 代入点 B 的坐标,得 p=25 4 , 故抛物线的方程为 y= 2 25x2. 从而曲边三角形 OEB 的面积为 错误! 2 25x2dx=2x3 75 |50=10 3 . 又 S△ABE=1 2 ×2×2=2, 故曲边三角形 OAB 的面积为4 3 , 从而图中阴影部分的面积为8 3. 又易知等腰梯形 ABCD 的面积为6+10 2 ×2=16, 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 16 16-8 3 =1.2. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)计算下列定积分: 解: 18.(12 分)求函数 f(a)=错误!(6x2+4ax+a2)dx 的最小值. 解:f(a)=错误!(6x2+4ax+a2)dx =(2x3+2ax2+a2x)|10=a2+2a+2=(a+1)2+1, 则 f(a)的最小值为 1. 19.(12 分)求由曲线 y=x2+2 与直线 y=3x,x=0,x=2 所围成 的平面图形的面积. 解:在坐标轴中画出 y=x2+2 与 y=3x 的图像(图略),由图可知 S=错误!(x2+2-3x)dx+错误!(3x-x2-2)dx = 1 3x3-3 2x2+2x 10+ -1 3x3+3 2x2-2x |21 =1 3 -3 2 +2+-1 3 ×8+3 2 ×4-4--1 3 +3 2 -2 =5 6 -2 3 +5 6 =5 3 -2 3 =1. 20.(12 分)求由曲线 y=1 2x2 与 y= 2x所围成的平面图形绕 x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 解:由曲线 y=1 2x2 与 y= 2x所围成的平面图形如图阴影部分所 示. 设所求旋转体的体积为 V,根据图像可以看出 V 等于由曲线 y= 2x,直线 x=2 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体 的体积(设为 V1)减去由曲线 y=1 2x2,直线 x=2 与 x 轴所围成的平面 图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为 V2). 21.(12 分)如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动, 记直线 OP,曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别为 S1,S2,若 S1=S2,求点 P 的坐标. 解: 整理得 1 2kx20-1 3x30=8 3 -2k- 1 3x30-1 2kx20 , 解得 k=4 3 ,即直线 OP 的方程为 y=4 3x, 所以点 P 的坐标为 4 3 ,16 9 . 22.(12 分)一物体按规律 x=bt3(b>0,且 b 为常数)做直线运动, 式子中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比, 比例系数为 k= 7.试求物体由 x=0 运动到 x=a 时阻力所做的功. 解:物体的速度 v=(bt3)′=3bt2.媒质阻力 F=kv2= 7(3bt2)2=