高中人教a版数学必修4：第15课时 简谐运动、由图象求解析式 word版含解析 5页

第 15 课时 简谐运动、由图象求解析式 课时目标 了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)与简谐运动的关系，了解振幅、周期、频率、相 位、初相的含义．解根据 y＝Asin(ωx＋φ)图象求出其解析式． 识记强化 当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A 就表示 这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需 要的时间 T＝2π ω ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数 f＝1 T ＝ω 2π ，它叫做振动的 频率；ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相(即当 x＝0 时的相位)． 课时作业 一、选择题 1．最大值为1 2 ，周期为2π 3 ，初相为π 6 的函数表达式可能是( ) A．y＝1 2sin x 3 ＋π 6 B．y＝2sin x 2 －π 6 C．y＝1 2sin 3x＋π 6 D．y＝2sin 2x－π 6 答案：C 2．已知简谐运动 f(x)＝2sin π 3x＋φ |φ|<π 2 的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正 周期 T 和初相φ分别为( ) A．T＝6，φ＝π 6 B. T＝6，φ＝π 3 C．T＝6π，φ＝π 6 D．T＝6π，φ＝π 3 答案：A 解析：依题意，得 2sinφ＝1，sinφ＝1 2. 又|φ|<π 2 ，初相φ>0，故φ＝π 6. 又 T＝2π π 3 ＝6，故 T＝6，φ＝π 6. 3．将函数 f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移π 4 个单位长度，所得图象经过点 3π 4 ，0 ， 则ω的最小值是( ) A.1 3 B．1 C.5 3 D．2 答案：D 解析：将函数 f(x)＝sinωx 的图象向右平移π 4 个单位长度，得到的图象对应的函数解析式 为 f(x)＝sinω x－π 4 ＝sin ωx－ωπ 4 .又因为函数图象过点 3π 4 ，0 所以 sin 3ωπ 4 －ωπ 4 ＝sinωπ 2 ＝0，所以ωπ 2 ＝kπ， 即ω＝2k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为 2. 4．下列函数中，图象的一部分如图所示，则该函数解析式为( ) A．y＝sin x＋π 6 B．y＝sin 2x－π 6 C．y＝cos 4x－π 3 D．y＝cos 2x－π 6 答案：D 解析：由图可知T 4 ＝ π 12 ＋π 6 ，∴T＝4×3π 12 ＝π，∴ω＝2. 由“五点法”作图知 2× －π 6 ＋φ＝0，∴φ＝π 3. ∴解析式为 y＝sin 2x＋π 3 ＝cos 2x－π 6 ，故选 D. 5．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A＞0，ω＞0)的最大值是 4，最小值是 0，最小正周期 是π 2 ，直线 x＝π 3 是其图象的一条对称轴，则下面各解析式中符合条件的是( ) A．y＝4sin 4x＋π 6 ＋2 B．y＝2sin 2x＋π 3 ＋2 C．y＝2sin 4x＋π 3 ＋2 D．y＝2sin 4x＋π 6 ＋2 答案：D 解析：最大值为 4，最小值为 0.所以 A＝4－0 2 ＝2，又 T＝π 2 ＝2π ω ，所以ω＝4.又由 4×π 3 ＋ φ＝kπ＋π 2(k∈Z)得φ＝kπ－5π 6 (k∈Z)．当 k＝1 时，φ＝π 6.所以所求解析式可能为 y＝2sin 4x＋π 6 ＋2. 6．设 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的定义域为 R，周期为2π 3 ，初相为π 6 ，值域为[－1,3]，则其 函数式的最简形式为( ) A．y＝2sin 3x＋π 6 ＋1 B．y＝2sin 3x＋π 6 －1 C．y＝－2sin 3x＋π 6 －1 D．y＝2sin 3x－π 6 ＋1 答案：A 解析：由 T＝2π 3 知：ω＝3，初相为π 6 ，∴φ＝π 6 ，值域[－1,3]，∴最简形式为 y＝2sin 3x＋π 6 ＋1. 二、填空题 7．函数 y＝3sin 4x－π 3 ，x∈R 的振幅是________，周期是________，频率是________， 相位是________，初相是________． 答案：3 解析：π 2 2 π 4x－π 3 －π 3 频率和周期互为倒数关系． 8．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________. 答案：3 2 解析：由图，知T 4 ＝2π 3 －π 3 ＝π 3 ，∴T＝4π 3 .又 T＝2π ω ＝4π 3 ，∴ω＝3 2. 9．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图，则函数的解析式是________． 答案：y＝2sin 2x＋π 6 三、解答题 10．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)在同一周期内，x＝π 9 时取得最大值1 2 ，x＝4 9π 时取得最小值－1 2 ，求该函数解析式． 解：由已知得 A＝1 2 ，T 2 ＝π 3 ，∴T＝2π 3 ，则ω＝3. 把 π 9 ，1 2 代入 y＝1 2sin(3x＋φ)，得 sin π 3 ＋φ ＝1. ∵0<φ<π，∴π 3 ＋φ＝π 2 ，φ＝π 6. 因此，函数的解析式为 y＝1 2sin 3x＋π 6 . 11．已知曲线 y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－π 2<φ<π 2 上的一个最高点的坐标为 π 8 ， 2 ， 此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点 3π 8 ，0 . (1)试求这条曲线的函数表达式； (2)用“五点法”画出(1)中函数在 －π 8 ，7π 8 上的图象． 解：(1)由题意，知 A＝ 2，T＝4× 3π 8 －π 8 ＝π， ∴ω＝2π T ＝2，∴y＝ 2sin(2x＋φ)． 又 sin π 8 ×2＋φ ＝1，∴π 4 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋π 4 ，k∈Z， 又φ∈ －π 2 ，π 2 ， ∴φ＝π 4 ，∴y＝ 2sin 2x＋π 4 . (2)列出 x，y 的对应值表： x －π 8 π 8 3π 8 5π 8 7π 8 2x＋π 4 0 π 2 π 3π 2 2π y 0 2 0 － 2 0 描点、连线，得题中函数在 －π 8 ，7π 8 上的图象如图所示： 能力提升 12．已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，且 f π 2 ＝－2 3 ，则 f(0)＝( ) A．－2 3 B.2 3 C．－1 2 D.1 2 答案：B 解析：由图象可得函数的最小正周期为2π 3 ， 于是 f(0)＝f 2π 3 .又从图象可知.2π 3 与π 2 关于7π 12 对称，所以 f 2π 3 ＝－f π 2 ＝2 3. 13．如图为函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π 2 的一个周期内的图象． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若 g(x)的图象与 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，求函数 g(x)的解析式； (3)求函数 g(x)的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图，知 A＝2，T＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2π T ＝2π 8 ＝π 4 ，∴f(x)＝2sin π 4x＋φ . 将点(－1,0)代入，得 0＝2sin －π 4 ＋φ . ∵|φ|<π 2 ， ∴φ＝π 4 ， ∴f(x)＝2sin π 4x＋π 4 . (2)作出与 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称的图象(图略)，可以看出 g(x)的图象相当于将 f(x) 的图象向右平移 2 个单位长度得到的， ∴g(x)＝2sin π 4 x－2＋π 4 ＝2sin π 4x－π 4 . (3)由(2)，知 g(x)的最小正周期为2π π 4 ＝8， 频率为1 8 ，振幅为 2，初相为－π 4.