河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业11 15页

1 河北省沧州市第一中学 2020 年高三数学寒假作业 11 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 复数 z 满足： 为虚数单位 ， 为复数 z 的共轭复数，则下列说法正确的是 A. B. C. D. 3. 如图网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何 体的三视图，其中曲线为半径为 1 的半圆，则该几何体的 体积为 A. B. C. D. 4. 中国最早的天文学和数学著作 周脾算经 里提到了七衡，即七 个等距的同心圆，七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的 一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡、次三衡 ，下图中的 七衡图中，若内一衡的直径和衡间距都是 1，若在七衡图内任 取一点，这点属于次三衡与次四衡之间的概率为 A. B. C. D. 5. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，A，B 分别为椭圆 C 与 x，y 正半轴的 交点，若直线 AB 与以 为直径端点的圆相切，则 的值为 A. B. C. D. 6. 已知函数 ，将函数 图象向右平移 个单位得到 的图象，若点 为 函数 图象的一个对称中心， 为 图象的一个对称中心，则 的最小值为 A. B. C. D. 2 7. 已知 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，AD 平分 与 BC 边交于 D 点， 若 ， ， ，则线段 AD 的长为 A. B. C. D. 8. 若定义域为 R 的函数 的图象关于直线 对称， ，则下列等式一 定成立的是 A. B. C. D. 9. 某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了 100 头仔猪的体重 单位：斤 ，经数据处理 得到如图 的频率分布直方图，其中体重最轻的 14 头仔猪的体重的茎叶图如图 ，为 了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中 的值为 A. B. C. D. 10. 已知点 是不等式组 所确定的平面区域 内的动点，若已知 ， ，则 最小值为 A. B. C. D. 3 11. 已知 ， 分别为双曲线 的左右焦点，点 P 为双曲线上任意一点， 则 的最小值为 A. B. C. D. ab 12. 已知函数 ，若 的最大值 为 M，则下列说法正确的是 A. M 的值与 a，b 均无关，且函数 的最小值为 B. M 的值与 a，b 有关，且函数 的最小值为 C. M 的值与 a，b 有关，且函数 的最小值为 D. M 的仅与 a 有关，且函数 的最小值为 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若 ，则 ______． 14. 在 的展开式中，含 的项的系数为______． 15. 已知 均为单位向量，若 ，则 的最大值为______． 3 16. 棱长为 4 的正方体 中，点 M，N 分别为 AD， 的中点，过点 C，M，N 的平面把正方体分成两部分，体积较大的那部分体积为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知数列 满足： ， ，数列 的前 n 项和为 ． 求 ； 若数列 ，求数列 前 n 项和 ． 18. 三棱台 中， ， ， ， ． 求证： 平面 ； 求二面角 的余弦值． 19. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线 与抛物线 C 交于原点 O 与点 P． 若 的面积为 2，求直线 PF 的方程； 设直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且直线 PA，PB 的斜率之积为 1，求证：直线 l 过定点，并求出这个定点的坐标． 4 20. 某厂生产一种设备零件用于航空航天工程建设，要求出厂的零件质量全部合格．该厂现 准备生产 n 个该零件，估计每个零件的合格率为 ，且每个零件是否合格相互独立， 为保证每个零件都合格，生产完后需进行检测．该厂计划先用检测机器进行一级检测， 若检测全部通过，则该批零件合格，若检测不通过，说明至少有一个零件不合格，则需 对每个零件进行人工二级检测．已知人工检测费用 500 元每个，机器检测费用 100 元每 个，且机器检测要另付使用费 1 万元． 若 ，估算这批零件需要进行人工二级检测的概率． 求每个零件检测费用的期望 ； 试估算使得 最小的 n 的值 用 进行估算 ． 21. 已知函数 有两个极值点 ， 求实数 a 的取值范围； 求证： ． 22. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 ． 以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程； 直线 l 的参数方程为 为参数 ，l 与 C 交于 A，B 两点，若 ，求 直线 l 的斜率． 23. 已知函数 ． Ⅰ 求不等式 的解集； Ⅱ 若直线 与 的图象所围成的多边形面积为 ，求实数 a 的值． 5 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解： ， ， 推不出 ， 是 的充分不必要条件 即 是 的充分不必要条件． 故选：A． 解出关于 x 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案． 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题． 2.【答案】B 【解析】解：由 ，得 ， ， ， ， ， ． 故选：B． 由已知求得 z，然后逐一核对四个选项得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】D 【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为： 该几何体是由一个底面半径为 1，高为 2 的半圆柱和一个半径为 1 的半球组成， 故： ， ， 故选：D． 首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学 生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 4.【答案】C 【解析】解：由题意，次七衡内的面积为 ． 次三衡与次四衡之间的面积为 ． 在七衡图内任取一点，这点属于次三衡与次四衡之间的概率为 ． 6 故选：C． 由题意分别求出次七衡内的面积与次三衡与次四衡之间的面积，再由测度比是面积比得答 案． 本题考查几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题． 5.【答案】A 【解析】解：直线 AB 的方程为： ，即 ， 直线 AB 与以 为直径端点的圆相切， ，解得 ． 故选：A． 直线 AB 的方程为： ，即 ，根据直线 AB 与以 为直径端点的圆相切， 可得 ，解得 ． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题． 6.【答案】B 【解析】解：函数 ，点 为函数 图象的一个对称中心， 则： ， 解得： ， 将函数 图象向右平移 个单位得到 的图象， 若 为 图象的一个对称中心， 则： ， 解得： ， 所以： ， 当 时，取得最小值 ． 故选：B． 直接利用三角函数关系式的恒等变换，正切函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正切函数的性质的应用，主要考察学生 的运算能力和转换能力，属于基础题型． 7.【答案】C 【解析】解： 是 的平分线， ， 又 ， ， ， 7 在三角形 ABC 中由余弦定理得 ， 在三角形 ABD 中，由余弦定理得： ， ． 故选：C． 根据角平分线定理可得 BD，DC，分别在三角形 ABC 和 ABD 中用余弦定理列方程可解得． 本题考查了正余弦定理以及角平分线定理，属中档题． 8.【答案】B 【解析】解：易知 图象是由函数函数 的图象向左平移 个单位长度， 再向下平移 1 个单位长度得到， 又定义域为 R 的函数 的图象关于直线 对称，所以 图象关于直线 对称， 故 ． 故选：B． 利用平移知识得出函数 对称轴，借助对称轴进行判断． 本题考查函数的对称性、平移知识，是基础题． 9.【答案】B 【解析】解：由题意得 ， ． 故选：B． 根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系和茎叶图即可解答． 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量，茎叶图的应用问 题，是基础题． 10.【答案】D 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域 如图： ， ， 设 ， 则 z 的几何意义是区域内的动点 到定 点 距离的平方减去 2， 由图象知当 CM 的最小值为点 C 到直线 的距离 d， 8 则 ， 则 z 的最小值为 ， 故选：D． 作出不等式组对应的平面区域，利用向量数量积公式进行化简，结合两点间的距离公式进行 求解即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用向量数量积的公式结合两点间的距离公式，利用数形结 合进行转化是解决本题的关键． 11.【答案】B 【解析】解：不妨设 P 为双曲线右支上任意一点，则 ， ， ， ， 当 时， 有最小值为 ． 故选：B． 不妨设 P 为双曲线右支上任意一点，则 ，可得 ， ， 代入 ，整理后利用二次函数求最值． 本题考查双曲线的简单性质，训练了二次函数求最值，是中档题． 12.【答案】C 【解析】解： ； ； ，设 ； 则 为奇函数， ； 当 取得最大值时， 最大； 显然 a，b 的取值不同时， 的最大值不同； 所以 取得最大值时与 a，b 有关，且 的最大值与最小值互为相反数； 所以 最大值与最小值之和为 2，则最小值为 故选：C． 求出 ，设 ；则 为奇函数， 的最大 值与最小值互为相反数； 本题考查函数代值，奇函数的最值的性质，函数是最值，属于难题． 13.【答案】 【解析】解： ， ， 9 ， ． 故答案为： ． 利用诱导公式求出 ，再由二倍角公式求出 ，由此能求出结果． 本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 14.【答案】 【解析】解：由 的展开式的通项公式 ， 令 ， 则含 的项的系数为 ， 故答案为： ． 由二项式定理得： ，令 ，则含 的项的系数为 ，得解． 本题考查了二项式定理，属基础题． 15.【答案】 【解析】解：知 均为单位向量， ，设 ， 可得 则 ． 故答案为： ． 设出 ，利用向量的模的运算法则，转化求解最大值即可． 本题考查向量的数量积与向量的模的关系，向量模的最值的求法，考查转化思想以及计算能 力． 16.【答案】 10 【解析】解： 如图，取 中点 Q，再取 的中点 P， 易知， ， ， ， 故把截面 MNC 补全为平面 MCNP， ， ， 求得 ， 又 ， 故较大部分体积为 ． 故答案为： ． 取 的四等分点 P，把截面 MNC 补全为 MCNP，通过正方体与三棱台的体积差求得较大部 分的体积． 此题考查了截面问题，台体体积等，难度适中． 17.【答案】解： 由已知的 ， ， 故 ． 由 ， 可得 ， ， 由错位相减法得： ． 【解析】 推出 ，通过 ，利用等差数 列求和公式求解即可． 11 由 ，利用错位相减法求解数列的和即可． 本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用，错位相减法以及并项求和方法的应 用，是基本知识的考查． 18.【答案】 证明：由已知可得：侧面 与侧面 为全等的直角梯形， 易求 ，又 ， 故 ， ， ， 又 ， 故 AA 平面 ． 解：取 BC， 的中点 D， ，连接 AD， ， 为等边三角形， 连接 ，AD， 易知 ， 侧面 为等腰梯形， 故 D ， 则在四边形 中， 即为二面角 的平面角，记为 ， 由 可得 ， ， ， ， ，在三角形 中， ， 可得 ． 【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想 象能力以及计算能力． 说明侧面 与侧面 为全等的直角梯形，证明 ， ，可证明 平面 ． 取 BC， 的中点 D， ，连接 AD， ， 为等边三角形，连接 ，AD， 即为二面角 的平面角，记为 ，通过求解三角形利用余弦定理求解即可． 19.【答案】解： 联立方程 与 ，得 ， ，解得 ， 于是 ， ，所以直线 PF 的方程 ； 设直线 l： ，与抛物线 C 联立得： ， ， ，由 得 ， 于是 12 ， ，即 ， 所以直线 l： 恒过定点 ． 【解析】 联立方程 与 ，得 ，利用三角形的面积求解 p，然后求解直线 方程即可． 设直线 l： ，与抛物线 C 联立得： ，利用韦达定理求出直线的斜 率，推出 ，然后求出直线 l： 恒过定点 ． 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，直线系方程的求法，考查转 化思想以及计算能力． 20.【答案】解： 时，记这批零件通过一级检测为事件 A， 则这批零件需要进行人工二级检测为 ， 则 ． 设 n 个零件的检测费用为 X， 则 X 的可能取值为 ， ． ， ， 故 E ， ． ， 当且仅当 即 时等号成立 使得 最小的 n 为 100． 【解析】 时，记这批零件通过一级检测为事件 A，则这批零件需要进行人工二级检 测为 ，利用对立事件概率计算公式能估算这批零件需要进行人工二级检测的概率． 设 n 个零件的检测费用为 X，求出 X 的可能取值为 ， 分别求出 相应的概率，由此能求出每个零件检测费用的期望 ． ，由此能求出使得 最小的 n． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，估算使得 最小的 n 的值 的求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 21.【答案】解： 方法一： 的定义域为 ， ， 设 ，则 ，由题， 有两个零点， 13 当 时， 0'/>， 单调递增；当 时， ， 单调递减， 所以 ， 若 ，即 时， 无零点；若 ， 仅一个零点，故 ， 当 时， ， ， ， 在区间 上有一个零点， 又 ， ，记 ，则 ， 在 上递减， ， ， 在区间 上有一个零点， 综上，实数 a 的取值范围是 ． 方法二： 的定义域为 ， ， 由题， 有两个实数根，即 与 的图象有两个公共点， 而不难求得 在 处的切线为 ，结合图象可知： 当 时， 与 的图象没有公共点，不符合题设要求； 当 时， 与 的图象有一个公共点，不符合题设要求； 当 时， 与 的图象有两个公共点，符合题设要求． 综上，实数 a 的取值范围是 ． 方法一：由题， ，即 ，即 ， 设 ，则 ，解得 ， ， 要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，其中 ， 令 ，则 ， 在 上单调递减， ， 原不等式 得证． 方法二：由 知 ，由 可得 ， 不难证明 ，于是 ， 所以 ，得证． 【解析】 方法一：设 ，则 ，判断函数的单调性，求出函数的最大 值然后通过函数的零点，求解 a 的范围． 方法二： 的定义域为 ， ， 与 的图象有两个公共点， 求得 在 处的切线为 ，通过当 时，当 时，当 时，判断两个函数 与 的图象有两个公共点，得到实数 a 的取值范围． 方法一：由题， ，得到 ，设 ，通过分析法证明 ， 其中 ，令 ，利用函数的导数，转化证明 ． 14 方法二：由 知 ，由 可得 ，然后证明 ． 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思 想的应用． 22.【答案】解： 由 ， ， ： ； 方法一：将直线的参数方程代入圆方程得： ， ； 方法二：设圆心到直线的距离为 d，则： 为圆半径 ， 直线方程化为： ，则 ． 【解析】 根据互化公式可得圆 C 的极坐标方程； 根据直线参数方程中参数的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解： Ⅰ ，由 可知： 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ，与 矛盾， 舍去； 当 时， ，即 ； 综上可知解集为 或 ． Ⅱ 画出函数 的图象，如图所示，其中 ， ， 由 ，知 图象与直线 AB 平行，若要围成多边形，则 ． 易得 与 图象交于两点 ， ，则 平行线 AB 与 Cd 间的距离 ， ， 梯形 ABCD 的面积 ， ． 即 15 故所求实数 a 的值为 4． 【解析】 Ⅰ 分 2 段去绝对值解不等式，在相并； Ⅱ 画出函数 的图象，如图所示，其中 ， ，由 ，知 图象与 直线 AB 平行，若要围成多边形，则 ，然后求出 以及两平行线间的距离，用梯形面 积公式可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．