高三数学第一轮复习资料基础篇 151页

高 三 数 学 一 轮 复 习 讲 义 高一数学新课标必修一复习 第一章 集合 第一节 集合的含义、表示及基本关系 A组 1．已知 A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合 A与 B的关系为________． 解析：由集合 B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B 2．若∅ {x|x2≤a，a∈R}，则实数 a的取值范围是________． 解析：由题意知，x2≤a有解，故 a≥0.答案：a≥0 3．已知集合 A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合 B＝{x|－2≤x<8}，则集合 A与 B的关系是________． 解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A. 答案：B A 4．已知全集 U＝R，则正确表示集合 M＝{－1,0,1}和 N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦 恩(Venn)图是________． 解析：由 N={x|x2+x=0}，得 N={-1,0}，则 N M.答案：② 5．已知集合 A＝{x|x>5}，集合 B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的 充分不必要条件，则实数 a的取值范围是________． 解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴A B，∴a<5. 答案：a<5 6．已知 m∈A，n∈B，且集合 A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}， 又 C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断 m＋n属于哪一个集合？ 解：∵m∈A，∴设 m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设 n＝2a2＋1，a2∈Z， ∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而 a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B. B组 1．设 a，b都是非零实数，y＝ a |a| ＋ b |b| ＋ ab |ab| 可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a>0 且 b>0；(2)a>0 且 b<0；(3)a<0 且 b>0；(4)a<0 且 b<0，讨论得 y＝3 或 y＝－1.答案：{3，－1} 2．已知集合 A＝{－1,3,2m－1}，集合 B＝{3，m2}．若 B⊆A，则实数 m＝________. 解析：∵B⊆A，显然 m2≠－1 且 m2≠3，故 m2＝2m－1，即(m－1)2＝0， ∴m＝1.答案：1 3．设 P，Q为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若 P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则 P＋Q中元素的个数是________个． 解析：依次分别取 a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互 异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8 4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合 N＝{x|ax＝1}，若 N M，那么 a的值是________． 解析：M＝{x|x＝1 或 x＝－1}，N M，所以 N＝∅时，a＝0；当 a≠0 时，x ＝ 1 a ＝1 或－1，∴a＝1 或－1.答案：0,1，－1 5．满足{1} A⊆{1,2,3}的集合 A的个数是________个． 解析：A中一定有元素 1，所以 A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3 6．已知集合 A＝{x|x＝a＋1 6 ，a∈Z}，B＝{x|x＝b 2 － 1 3 ，b∈Z}，C＝{x|x＝c 2 ＋ 1 6 ， c∈Z}，则 A、B、C之间的关系是________． 解析：用列举法寻找规律．答案：A B＝C 7．集合 A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的________． 解析：结合数轴若 A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条 件．答案：必要不充分条件 8．设集合 M＝{m|m＝2n，n∈N，且 m<500}，则 M中所有元素的和为________． 解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和 S＝1＋2＋22 ＋…＋28＝511.答案：511 9．设 A是整数集的一个非空子集，对于 k∈A，如果 k－1∉A，且 k＋1∉A，那么 称 k是 A的一个“孤立元”．给定 S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由 S的 3 个元素构成的 所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 解析：依题可知，由 S的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这 三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有 6 个．答案：6 10．已知 A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且 A＝B，试求 x，y的值． 解：由 lg(xy)知，xy>0，故 x≠0，xy≠0，于是由 A＝B得 lg(xy)＝0，xy＝1. ∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，1 x }． 于是必有|x|＝1，1 x ＝x≠1，故 x＝－1，从而 y＝－1. 11．已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}， (1)若 B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数 m的取值范围； (2)若 A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m的取值范围； (3)若 A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m的取值范围． 解：由 A＝{x|x2－3x－10≤0}，得 A＝{x|－2≤x≤5}， (1)∵B⊆A，∴①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1，即 m<2，此时满足 B⊆A. ②若 B≠∅，则 m＋1≤2m－1， －2≤m＋1， 2m－1≤5. 解得 2≤m≤3. 由①②得，m的取值范围是(－∞，3]． (2) 若 A⊆ B，则依题意应有 2m－1>m－6， m－6≤－2， 2m－1≥5. 解得 m>－5， m≤4， m≥3. 故 3≤m≤4， ∴m的取值范围是[3,4]． (3)若 A＝B，则必有 m－6＝－2， 2m－1＝5， 解得 m∈∅.，即不存在 m值使得 A＝B. 12．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}． (1)若 A是 B的真子集，求 a的取值范围； (2)若 B是 A的子集，求 a的取值范围； (3)若 A＝B，求 a的取值范围． 解：由 x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得 1≤x≤2，故 A＝{x|1≤x≤2}， 而集合 B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}， (1)若 A是 B的真子集，即 A B，则此时 B＝{x|1≤x≤ a}，故 a>2. (2)若 B是 A的子集，即 B⊆A，由数轴可知 1≤a≤2. (3)若 A=B，则必有 a=2 第二节 集合的基本运算 A组 1．设 U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则 A∩∁UB＝____. 解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|01}，集合 B＝{x|m≤x≤m＋3}． (1)当 m＝－1 时，求 A∩B，A∪B； (2)若 B⊆A，求 m的取值范围． 解：(1)当 m＝－1 时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|11，即 m 的取值范围为(1，＋∞) B组 1．若集合 M＝{x∈R|－33}＝ {x|－ 2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合 A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若 A∩B＝{2}，则 A∪B＝________. 解析：由 A∩B＝{2}得 log2a＝2，∴a＝4，从而 b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}． 答案：{2,3,4} 5．已知全集 U＝A∪B中有 m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有 n个元素．若 A∩B非 空，则 A∩B的元素个数为________． 解析：U＝A∪B中有 m个元素， ∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有 n个元素，∴A∩B中有 m－n个元素．答案：m－n 6．设 U＝{n|n是小于 9 的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}， B＝{n∈U|n是 3 的倍数}，则∁U(A∪B)＝________. 解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}， ∴A∪B＝{1,3,5,6,7}， 得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8} 7．定义 A⊗B＝{z|z＝xy＋x y ，x∈A，y∈B}．设集合 A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}， 则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________． 解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有 0,4,5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有 0,8,10，故所有元素之和为 18.答案：18 8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0 且 x－2y＋4＝0} {(x，y)|y＝3x＋b}，则 b＝________. 解析：由 x＋y－2＝0， x－2y＋4＝0. ⇒ x＝0， y＝2. 点(0,2)在 y＝3x＋b上，∴b＝2. 9．设全集 I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}， 则集合 M的所有子集是________． 解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且 a2＋2a－3＝5，解得 a＝－4 或 a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}． 答案：∅，{1}，{2}，{1,2} 10．设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若 A∩B＝{2}，求实数 a的值； (2)若 A∪B＝A，求实数 a的取值范围． 解：由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，故集合 A＝{1,2}． (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入 B中的方程，得 a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1 或 a＝－3；当 a＝－1 时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当 a＝－3 时，B ＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1 或－3. (2)对于集合 B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A， ①当Δ<0，即 a<－3 时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即 a＝－3 时，B＝{2} 满足条件；③当Δ>0，即 a>－3 时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数 的关系得 1＋2＝－2(a＋1) 1×2＝a2－5 ⇒ a＝－ 5 2 ， a2＝7， 矛盾.综上，a的取值范围是 a≤－3. 11．已知函数 f(x)＝ 6 x＋1 －1的定义域为集合 A，函数 g(x)＝lg(－x2＋2x＋m) 的定义域为集合 B. (1)当 m＝3 时，求 A∩(∁RB)； (2)若 A∩B＝{x|－19 8 . 综上可知，若 A＝∅，则 a的取值范围应为 a>9 8 . (2)当 a＝0 时，方程 ax2－3x＋2＝0 只有一根 x＝2 3 ，A＝{2 3 }符合题意． 当 a≠0 时，则Δ＝9－8a＝0，即 a＝9 8 时， 方程有两个相等的实数根 x＝4 3 ，则 A＝{4 3 }． 综上可知，当 a＝0 时，A＝{2 3 }；当 a＝9 8 时，A＝{4 3 }． (3)当 a＝0 时，A＝{2 3 }≠∅.当 a≠0 时，要使方程有实数根， 则Δ＝9－8a≥0，即 a≤9 8 . 综上可知，a的取值范围是 a≤9 8 ，即 M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤9 8 } 第二章 函数 第一节 对函数的进一步认识 A 组 1．函数 y＝ －x2－3x＋4 x 的定义域为________． 解析： －x2－3x＋4≥0， x≠0， ⇒x∈[－4,0)∪(0,1] 答案：[－4,0)∪(0,1] 2．如图，函数 f(x)的图象是曲线段 OAB，其中点 O，A， B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f( 1 f(3) )的值等于 ________． 解析：由图象知 f(3)＝1，f( 1 f(3) )＝f(1)＝2.答案：2 3．已知函数 f(x)＝ 3x，x≤1， －x，x>1. 若 f(x)＝2，则 x＝________. 解析：依题意得 x≤1 时，3x＝2，∴x＝log32； 当 x>1 时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故 x＝log32.答案：log32 4．函数 f：{1， 2}→{1， 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函数个 数有________个． 解析：如图．答案：1 5．(原创题)由等式 x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋ b2(x＋1)＋b3 定义一个映射 f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则 f(2,1，－1)＝________. 解析：由题意知 x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3， 令 x＝－1 得：－1＝b3； 再令 x＝0 与 x＝1 得 －1＝1＋b1＋b2＋b3 3＝8＋4b1＋2b2＋b3 ， 解得 b1＝－1，b2＝0. 答案：(－1,0，－1) 6．已知函数 f(x)＝ 1＋1 x (x>1)， x2＋1 (－1≤x≤1)， 2x＋3 (x<－1). (1)求 f(1－ 1 2－1 )，f{f[f(－2)]}的 值；(2)求 f(3x－1)；(3)若 f(a)＝3 2 ， 求 a. 解：f(x)为分段函数，应分段求解． (1)∵1－ 1 2－1 ＝1－( 2＋1)＝－ 2<－1，∴f(－ 2)＝－2 2＋3， 又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋1 2 ＝ 3 2 . (2)若 3x－1>1，即 x>2 3 ，f(3x－1)＝1＋ 1 3x－1 ＝ 3x 3x－1 ； 若－1≤3x－1≤1，即 0≤x≤3 2 ，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2； 若 3x－1<－1，即 x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1. ∴f(3x－1)＝ 3x 3x－1 (x>2 3 )， 9x2－6x＋2 (0≤x≤2 3 )， 6x＋1 (x<0). (3)∵f(a)＝3 2 ，∴a>1 或－1≤a≤1. 当 a>1 时，有 1＋1 a ＝ 3 2 ，∴a＝2； 当－1≤a≤1 时，a2＋1＝3 2 ，∴a＝± 2 2 . ∴a＝2 或± 2 2 . B 组 1．函数 y＝ 1 3x－2 ＋lg(2x－1)的定义域是________． 解析：由 3x－2>0,2x－1>0，得 x>2 3 .答案：{x|x>2 3 } 2．函数 f(x)＝ －2x＋1，(x<－1)， －3，(－1≤x≤2)， 2x－1，(x>2)， 则 f(f(f(3 2 )＋5))＝_. 解析：∵－1≤3 2 ≤2，∴f(3 2 )＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3， ∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7 3．定义在区间(－1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则 f(x)的解析式 为________． 解析：∵对任意的 x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)， 由 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，① 由 2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，② ①×2＋②消去 f(－x)，得 3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)， ∴f(x)＝2 3 lg(x＋1)＋1 3 lg(1－x)，(－1f(1)的解集是________． 解析：由已知，函数先增后减再增，当 x≥0，f(x)>f(1)＝3 时，令 f(x)＝3， 解得 x＝1，x＝3.故 f(x)>f(1)的解集为 0≤x<1 或 x>3. 当 x<0，x＋6＝3 时，x＝－3，故 f(x)>f(1)＝3，解得－33. 综上，f(x)>f(1)的解集为{x|－33}．答案：{x|－33} 8．定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x)＝ log2(4－x)， x≤0， f(x－1)－f(x－2)， x＞0， 则 f(3)的值 为________． 解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又 f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24 ＝2，∴f(3)＝－2.答案：－2 9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻 开始，5 分钟内只进水，不出水，在随后的 15 分钟内既进水，又出水，得到时 间 x与容器中的水量 y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则 这段时间内(即 x≥20)，y与 x之间函数的函数关系是________． 解析：设进水速度为 a1 升 /分钟，出水速度为 a2 升 /分钟，则由题意得 5a1＝20 5a1＋15(a1－a2)＝35 ，得 a1＝4 a2＝3 ，则 y＝35－3(x－20)，得 y＝－3x＋95，又 因为水放完为止，所以时间为 x≤95 3 ，又知 x≥20，故解析式为 y＝－3x＋ 95(20≤x≤95 3 )．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤95 3 ) 10．函数 f(x)＝ (1－a2)x2＋3(1－a)x＋6. (1)若 f(x)的定义域为 R，求实数 a的取值范围； (2)若 f(x)的定义域为[－2,1]，求实数 a的值． 解：(1)①若 1－a2＝0，即 a＝±1， (ⅰ)若 a＝1 时，f(x)＝ 6，定义域为 R，符合题意； (ⅱ)当 a＝－1 时，f(x)＝ 6x＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意． ②若 1－a2≠0，则 g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6 为二次函数． 由题意知 g(x)≥0 对 x∈R恒成立， ∴ 1－a2>0， Δ≤0， ∴ －10 ∴ a<－1 或 a>1， a＝2， a＝±2. a<－ 5 11 或 a>1 ∴a＝2. 11．已知 f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当 x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，求当 x∈[2k －1,2k＋1](k∈Z)时、f(x)的解析式． 解：由 f(x＋2)＝f(x)，可推知 f(x)是以 2 为周期的周期函数．当 x∈[2k－1,2k ＋1]时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1. 又 f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)， ∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z. 12．在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上，中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关 注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件 该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置 配套组成，每个工人每小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置．现将工人分 成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工 C 型装置的工人有 x位， 他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x)，其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x)．(单位：h，时间可不为整数) (1)写出 g(x)，h(x)的解析式； (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？ 解：(1)g(x)＝2000 3x (0f(x2)” 的是________． ①f(x)＝1 x ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1) 解析：∵对任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，当 x1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答 案：① 2．函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数 g(x) ＝f(logax)(00 时，f(x)＝ex＋a ex ，则满足 f′(x)＝ex－a ex ≥0 在 x∈[0,1]上恒成立．只需满足 a≤(e2x)min 成立即可，故 a≤1，综上－1≤a≤1. 答案：－1≤a≤1 5．(原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x，都有 f(x)≥M(M为常数)，称 M 为 f(x)的下界，下界 M中的最大值叫做 f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的 所有函数是________． ①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝ 1 (x>0) 0 (x＝0) －1 (x<－1) 解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即 f(x)＝sinx是有下确界 的函数；∵f(x)＝lgx的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝ex 的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex的下确界为 0，即 f(x)＝ex是有下确界的函数； ∵f(x)＝ 1 (x>0) 0 (x＝0) －1 (x<－1) 的下确界为－1.∴f(x)＝ 1 (x>0) 0 (x＝0) －1 (x<－1) 是有下确界 的函数．答案：①③④ 6．已知函数 f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)若存在 x∈R使 f(x)0 b<0 或 b>4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4， ①当Δ≤0 即－ 2 5 5 ≤m≤2 5 5 时，则必需 m 2 ≤0 － 2 5 5 ≤m≤2 5 5 － 2 5 5 ≤m≤0. ②当Δ>0 即 m<－2 5 5 或 m>2 5 5 时，设方程 F(x)＝0 的根为 x1，x2(x10. ∴ a 2 ≤2， 4－2a＋3a>0， ∴－40)在(3 4 ，＋∞)上是单调增函数，则实数 a的取值范围__． 解析：∵f(x)＝x＋a x (a>0)在( a，＋∞)上为增函数，∴ a≤3 4 ，00，a≠1)在区间(0，1 2 )内恒有 f(x)>0，则 f(x)的单 调递增区间为__________． 解析：令μ＝2x2＋x，当 x∈(0，1 2 )时，μ∈(0,1)，而此时 f(x)>0 恒成立，∴00，即 x>0 或 x< － 1 2 .∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 1 2 )．答案：(－∞，－ 1 2 ) 10．试讨论函数 y＝2(log1 2 x)2－2log1 2 x＋1 的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令 u＝g(x)＝log1 2 x，y＝f(u)＝2u2 －2u＋1，那么原函数 y＝f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数，而 u＝log1 2 x 在 x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－1 2 )2＋ 1 2 在 u∈(－∞， 1 2 )上是减 函数，在 u∈(1 2 ，＋∞)上是增函数．又 u≤1 2 ，即 log1 2 x≤1 2 ，得 x≥ 2 2 ；u>1 2 ，得 01 时， f(x)<0. (1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)＝－1，解不等式 f(|x|)<－2. 解：(1)令 x1＝x2>0，代入得 f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故 f(1)＝0. (2)任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1>x2，则 x1 x2 >1，由于当 x>1 时，f(x)<0， 所以 f(x1 x2 )<0，即 f(x1)－f(x2)<0，因此 f(x1)9，∴x>9 或 x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<－9}． 12．已知：f(x)＝log3 x2＋ax＋b x ，x∈(0，＋∞)，是否存在实数 a，b，使 f(x)同时 满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x) 的最小值是 1.若存在，求出 a、b；若不存在，说明理由． 解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1 时，f(x)最小， log3 1＋a＋b 1 ＝1.即 a＋b＝2. 设 0＜x1＜x2≤1，则 f(x1)＞f(x2)．即 x12＋ax1＋b x1 ＞ x22＋ax2＋b x2 恒成立． 由此得 (x1－x2)(x1x2－b) x1x2 ＞0 恒成立． 又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0 恒成立，∴b≥1. 设 1≤x3＜x4，则 f(x3)＜f(x4)恒成立．∴ (x3－x4)(x3x4－b) x3x4 ＜0 恒成立． ∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由 b≥1 且 b≤1 可知 b＝1， ∴a＝1.∴存在 a、b，使 f(x)同时满足三个条件． 第三节 函数的性质 A 组 1．设偶函数 f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则 f(a＋1)与 f(b＋2)的大小 关系为________． 解析：由 f(x)为偶函数，知 b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又 f(x)在(－∞，0)上单调 递增，所以 0f(b ＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2) 2．定义在 R上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数，则 f(1)＋f(4) ＋f(7)等于________． 解析：f(x)为奇函数，且 x∈R，所以 f(0)＝0，由周期为 2 可知，f(4)＝0，f(7) ＝f(1)，又由 f(x＋2)＝f(x)，令 x＝－1 得 f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以 f(1) ＋f(4)＋f(7)＝0.答案：0 3．已知定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数， 则 f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________． 解析：因为 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，所以 f(x－8)＝f(x)，所以函数是以 8 为 周期的周期函数，则 f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为 f(x)在 R 上是奇函数，f(0)＝0，得 f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由 f(x－4) ＝－f(x)得 f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为 f(x)在区间[0,2]上是增 函数，所以 f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即 f(－25)0)，由 f(1)＋f(4)＝0，得 a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)． (3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知 y＝f(x)在[0,1]上是一次函 数，∴可设 f(x)＝kx(0≤x≤1)，而 f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当 0≤x≤1 时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x<0 时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1 时，f(x) ＝－3x.∴当 4≤x≤6 时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋ 15.当 60，若 f(－1)＝0， 那么关于 x的不等式 xf(x)<0 的解集是________． 解析：在(0，＋∞)上有 f′(x)>0，则在(0，＋∞)上 f(x)是增函数，在(－∞， 0)上是减函数，又 f(x)在 R上是偶函数，且 f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知 x∈(－ ∞，－1)时，f(x)>0；x∈(－1,0)时，f(x)<0；x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时， f(x)>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x＋2)＝f(x)， 且当 x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则 f(－2009)＋f(2010)的值为________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在 x≥0 时 f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)周期为 2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21 ＝0＋1＝1.答案：1 6．已知函数 f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的 x，满足 f(x＋2)＝－ 1 f(x) ， 若当 2a，且|x1－a|<|x2－a|时，则 f(2a－x1)与 f(x2)的大小关系为________． 解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于 y轴对称，∴y＝f(x) 的图象关于 x＝a对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是 减函数．当 x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，有 a－x1f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2) 8．已知函数 f(x)为 R上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x(x＋1)．若 f(a)＝－2，则 实数 a＝________. 解析：当 x≥0 时，f(x)＝x(x＋1)>0，由 f(x)为奇函数知 x<0 时，f(x)<0，∴a<0， f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或 a＝－1.答案：－1 9．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函 数．若方程 f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1 ＋x2＋x3＋x4＝________. 解析：因为定义在 R上的奇函数，满足 f(x－4)＝－f(x)，所以 f(4－x)＝f(x)， 因此，函数图象关于直线 x＝2 对称且 f(0)＝0.由 f(x－4)＝－f(x)知 f(x－8)＝f(x)， 所以函数是以 8 为周期的周期函数．又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以 f(x) 在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程 f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8] 上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，不妨设 x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知 x1＋x2＝－ 12，x3＋x4＝4，所以 x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8. 答案：-8 10．已知 f(x)是 R上的奇函数，且当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求 f(x) 的解析式． 解：∵f(x)是奇函数，可得 f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当 x>0 时，－x<0，由已 知 f(－x)＝xlg(2＋x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，即 f(x)＝－xlg(2＋x) (x>0)． ∴f(x)＝ －xlg(2－x) (x<0)， －xlg(2＋x) (x≥0). 即 f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)． 11．已知函数 f(x)，当 x，y∈R 时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇 函数；(2)如果 x∈R＋ ，f(x)<0，并且 f(1)＝－ 1 2 ，试求 f(x)在区间[－2,6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为 R，其定义域关于原点对称． ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令 y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令 x＝y＝0，∴f(0) ＝f(0)＋f(0)，得 f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (2)法一：设 x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)． ∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)x，∴f(x)在(0， ＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函 数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－ 1 2 ，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝ 1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求 f(x)在区间[－2,6]上的最大值为 1，最小 值为－3. 法二：设 x10，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即 f(x)在 R上单调递减．∴f(－ 2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－ 1 2 ，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3) ＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求 f(x)在区间[－2,6]上的最大值为 1，最小值为－3. 12．已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x＋2)＝－f(x)． (1)求证：f(x)是周期函数； (2)若 f(x)为奇函数，且当 0≤x≤1 时，f(x)＝1 2 x，求使 f(x)＝－ 1 2 在[0,2010]上 的所有 x的个数． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数． (2)当 0≤x≤1 时，f(x)＝1 2 x， 设－1≤x≤0，则 0≤－x≤1，∴f(－x)＝1 2 (－x)＝－ 1 2 x.∵f(x)是奇函数，∴f(－ x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－ 1 2 x，即 f(x)＝1 2 x.故 f(x)＝1 2 x(－1≤x≤1) 又设 11，b<0，且 ab＋a－b＝2 2，则 ab－a－b的值等于________． 解析：∵a>1，b<0，∴01.又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8， ∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2.答案：－2 2．已知 f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则 f(3)＝________. 解析：由图象知 f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又 f(2) ＝a2－3＝0，∴a＝ 3，则 f(3)＝( 3)3－3＝3 3－3. 答案：3 3－3 3．函数 y＝(1 2 )2x－x2的值域是________． 解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， ∴(1 2 )2x－x2≥ 1 2 .答案：[1 2 ，＋∞) 4．若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a的取值范围是 ________． 解析：函数 f(x)的零点的个数就是函数 y＝ax与函数 y＝x＋a交点的个数， 由函数的图象可知 a>1 时两函数图象有两个交点，01. 答案：(1，+∞) 5．(原创题)若函数 f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数 a 等于________． 解析：由题意知 01 a0－1＝0 a2－1＝2 ⇒a＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为 R的函数 f(x)＝－2x＋b 2x＋1＋a 是奇函数．(1)求 a，b的值； (2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k的取值范围． 解：(1)因为 f(x)是 R上的奇函数，所以 f(0)＝0，即 －1＋b 2＋a ＝0，解得 b＝1. 从而有 f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋a .又由 f(1)＝－f(－1)知－2＋1 4＋a ＝－ － 1 2 ＋1 1＋a ，解得 a＝2. (2)法一：由(1)知 f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋2 ＝－ 1 2 ＋ 1 2x＋1 ， 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因 f(x)是奇函数，从而不等式 f(t2－2t) ＋f(2t2－k)<0⇔f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因 f(x)是 R上的减函数，由上式推得 t2－2t>－2t2＋k. 即对一切 t∈R有 3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1 3 . 法二：由(1)知 f(x)＝－2x＋1 2x＋1＋2 ，又由题设条件得 －2t2－2t＋1 2t2－2t＋1＋2 ＋ －22t2－k＋1 22t2－k＋1＋2 <0 即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0 整理得 23t2－2t－k>1，因底数 2>1，故 3t2－2t－k>0 上式对一切 t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1 3 . B 组 1．如果函数 f(x)＝ax＋b－1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过 第三象限，那么一定有________． ①00 ②01 且 b<0 ④a>1 且 b>0 解析：当 01 ⇒00， a≠1)；②g(x)≠0；若 f(1) g(1) ＋ f(－1) g(－1) ＝ 5 2 ，则 a等于________． 解析：由 f(x)＝ax·g(x)得 f(x) g(x) ＝ax，所以 f(1) g(1) ＋ f(－1) g(－1) ＝ 5 2 ⇒a＋a－1＝ 5 2 ，解得 a ＝2 或 1 2 .答案：2 或 1 2 4．已知函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，其反函数为 f－1(x)．若 f(2)＝9，则 f－1(1 3 )＋f(1) 的值是________． 解析：因为 f(2)＝a2＝9，且 a>0，∴a＝3，则 f(x)＝3x＝1 3 ，∴x＝－1， 故 f－1(1 3 )＝－1.又 f(1)＝3，所以 f－1(1 3 )＋f(1)＝2.答案：2 5．已知 f(x)＝(1 3 )x，若 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称的图象对应的函数为 g(x)， 则 g(x)的表达式为________． 解析：设 y＝g(x)上任意一点 P(x，y)，P(x，y)关于 x＝1 的对称点 P′(2－x， y)在 f(x)＝(1 3 )x上，∴y＝(1 3 )2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R) 6．函数 y＝ex＋e－x ex－e－x 的图象大致为________． 解析：∵f(－x)＝e－x＋ex e－x－ex ＝－ ex＋e－x ex－e－x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④. 又∵y＝ex＋e－x ex－e－x ＝ e2x＋1 e2x－1 ＝ e2x－1＋2 e2x－1 ＝1＋ 2 e2x－1 在(－∞，0)、(0，＋∞)上都 是减函数，排除②、③.答案：① 7．已知函数 f(x)满足：当 x≥4 时，f(x)＝(1 2 )x；当 x<4 时，f(x)＝f(x＋1)，则 f(2 ＋log23)＝________. 解析：∵2<3<4＝22，∴1K. 取函数 f(x)＝2－|x|，当 K＝1 2 时，函数 fK(x)的单调递增区间为 ________． 解 析 ： 由 f(x) ＝ 2 － |x|≤ 1 2 得 x≥1 或 x≤ － 1 ， ∴fK(x) ＝ 2－|x|，x≥1 或 x≤－1， 1 2 ，－10，且a≠1)在区间[－ 1,1]上的最大值为 14，求实数 a的值． 解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1,1]， (1)当 01 时， 1 a ≤ax≤a，∴当 ax＝a时，f(x)取得最大值． ∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数 a的值为 1 3 或 3. 11．已知函数 f(x)＝ －2 2x－a＋1 .(1)求证：f(x)的图象关于点 M(a，－1)对称； (2)若 f(x)≥－2x在 x≥a上恒成立，求实数 a的取值范围． 解：(1)证明：设 f(x)的图象 C上任一点为 P(x，y)，则 y＝－ 2 2x－a＋1 ， P(x，y)关于点 M(a，－1)的对称点为 P′(2a－x，－2－y)． ∴－2－y＝－2＋ 2 2x－a＋1 ＝ －2·2x－a 2x－a＋1 ＝ －2 1＋2－(x－a) ＝ －2 2(2a－x)－a＋1 ， 说明点 P′(2a－x，－2－y)也在函数 y＝ －2 2x－a＋1 的图象上，由点 P的任意性 知，f(x)的图象关于点 M(a，－1)对称． (2)由 f(x)≥－2x得 －2 2x－a＋1 ≥－2x，则 2 2x－a＋1 ≤2x，化为 2x－a·2x＋2x－2≥0， 则有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0 在 x≥a上恒成立．令 g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有 g(t)≥0 在 t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在 t＝0 的左侧，∴g(t)在 t≥2a上为增函数． ∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则 a≥0.即实数 a的取值范 围为 a≥0. 12．若 f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且 f(x)＝ f1(x)，f1(x)≤f2(x)， f2(x)，f1(x)>f2(x). (1)求 f(x)＝f1(x)对所有实数 x成立的充要条件(用 p1、p2表示)；(2)设 a，b是两个实数，满足 ap2 时，g(x)＝ p1－p2，xp1. 所以 g(x)max＝p1－p2，故只需 p1－p2≤log32. 当 p1p2. 所以 g(x)max＝p2－p1，故只 需 p2－p1≤log32. 综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数 x成立的充要条件是|p1－p2|≤log32. (2)证明：分两种情形讨论． ①当|p1－p2|≤log32 时，由(1)知 f(x)＝f1(x)(对所有实数 x∈[a，b])，则由 f(a) ＝f(b)及 alog32 时，不妨设 p1log32.于是，当 x≤p1 时，有 f1(x)＝3p1－x<3p2－x3log32·3x－p2＝f2(x)，从而 f(x)＝f2(x)． 当 p10，且 a≠1)的反函数，其图象经过点( a，a)， 则 f(x)＝________. 解析：由题意 f(x)＝logax，∴a＝logaa 1 2 ＝ 1 2 ，∴f(x)＝log1 2 x.答案：log1 2 x 2．设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则 a、b、c的大小关系是________． 解析：a＝log3π>1，b＝log2 3＝1 2 log23∈(1 2 ，1)，c＝log3 2＝1 2 log32∈(0，1 2 )， 故有 a>b>c.答案：a>b>c 3．若函数 f(x)＝             ]1,0[,4 )0,1[, 4 1 x x x x ，则 f(log43)＝________. 解析：01. 又 1 x＋1 是单调递减的，故 g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④ 5．(原创题)已知函数 f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且 f( 1 2010 )＝4，则 f(2010)的值为_． 解析：设 F(x)＝f(x)－2，即 F(x)＝alog2x＋blog3x，则 F(1 x )＝alog2 1 x ＋blog3 1 x ＝ －(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F( 1 2010 )＝－[f( 1 2010 )－2]＝－2， 即 f(2010)－2＝－2，故 f(2010)＝0.答案：0 6．若 f(x)＝x2－x＋b，且 f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0 且 a≠1)．(1)求 f(log2x)的 最小值及相应 x的值；(2)若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)2， log2(x2－x＋2)<2. ∴ log2x<0 或 log2x>1， 02， －10；④f(x1＋x2 2 )lg x1x2，所以④错误． 答案：②③ 3．对任意实数 a、b，定义运算“*”如下： a*b＝ a(a≤b) b(a>b) ，则函数 f(x)＝log1 2 (3x－2)*log2x的值域为________． 解析：在同一直角坐标系中画出 y＝log1 2 (3x－2)和 y＝log2x两个函数的图象， 由图象可得 f(x)＝ log2x (01) ，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0] 4．已知函数 y＝f(x)与 y＝ex互为反函数，函数 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图象关 于 x轴对称，若 g(a)＝1，则实数 a的值为________． 解析：由 y＝f(x)与 y＝ex互为反函数，得 f(x)＝lnx，因为 y＝g(x)的图象与 y ＝f(x)的图象关于 x轴对称，故有 g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以 a＝1 e . 答案： 1 e 5．已知函数 f(x)满足 f( 2 x＋|x| )＝log2 x|x|，则 f(x)的解析式是________． 解析：由 log2 x|x|有意义可得 x>0，所以，f( 2 x＋|x| )＝f(1 x )，log2 x|x|＝log2x， 即有 f(1 x )＝log2x，故 f(x)＝log2 1 x ＝－log2x.答案：f(x)＝－log2x，(x>0) 6．若 x1 满足 2x＋2x＝5，x2满足 2x＋2log2(x－1)＝5，则 x1＋x2＝________. 解析：由题意 2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以 2x1＝5－2x1， x1＝log2(5－2x1)，即 2x1＝2log2(5－2x1)．令 2x1＝7－2t，代入上式得 7－2t＝2log2(2t －2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得 t＝x2，于是 2x1＝7－ 2x2.∴x1＋x2＝ T 2 .答案： 7 2 7．当 x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方 程 f(x)＝log2x根的个数是________． 解析：当 n＝0 时，x∈[0,1)，f(x)＝－2； 当 n＝1 时，x∈[1,2)，f(x)＝－1； 当 n＝2 时，x∈[2,3)，f(x)＝0； 当 n＝3 时，x∈[3,4)，f(x)＝1； 当 n＝4 时，x∈[4,5)，f(x)＝2； 当 n＝5 时，x∈[5,6)，f(x)＝3.答案：2 8．已知 lga＋lgb＝0，则函数 f(x)＝ax与函数 g(x)＝－logbx的图象可能是________． 解析：由题知，a＝1 b ，则 f(x)＝(1 b )x＝b－x，g(x)＝－logbx，当 01 时，f(x)单调递减，g(x)单调递减． 答案：② 9．已知曲线 C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数 y＝log3x及函数 y＝3x的图象分别 交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x12＋x22的值为________． 解析：∵y＝log3x与 y＝3x互为反函数，所以 A与 B两点关于 y＝x对称，所 以 x1＝y2，y1＝x2，∴x12＋x22＝x12＋y12＝9.答案：9 10．已知函数 f(x)＝lgkx－1 x－1 (k∈R且 k>0)．(1)求函数 f(x)的定义域； (2)若函数 f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求 k的取值范围． 解：(1)由kx－1 x－1 >0 及 k>0 得 x－1 k x－1 >0，即(x－1 k )(x－1)>0. ①当 01 k ；②当 k＝1 时，x∈R且 x≠1；③当 k>1 时，x<1 k 或 x>1.综上可得当 00，∴k> 1 10 . 又 f(x)＝lgkx－1 x－1 ＝lg(k＋k－1 x－1 )，故对任意的 x1，x2，当 10≤x1 1 x2－1 ，∴k－1<0，∴k<1.综上可知 k∈( 1 10 ，1)． 11．已知 f(x)＝loga 1＋x 1－x (a>0，a≠1)．(1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使 f(x)>0 的 x的取值范围． 解：(1)由1＋x 1－x >0 ，解得 x∈(－1,1)． (2)f(－x)＝loga 1－x 1＋x ＝－f(x)，且 x∈(－1,1)，∴函数 y＝f(x)是奇函数． (3)若 a>1，f(x)>0，则 1＋x 1－x >1，解得 00，则 0<1＋x 1－x <1， 解得－10 且 a≠1. (1)对于函数 f(x)，当 x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数 m的集合； (2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4 的值恒为负数，求 a的取值范围． 解：令 logax＝t(t∈R)，则 x＝at，∴f(t)＝ a a2－1 (at－a－t)， ∴f(x)＝ a a2－1 (ax－a－x)．∵f(－x)＝ a a2－1 (a－x－ax)＝－f(x)， ∴f(x)是 R上的奇函数． 当 a>1 时， a a2－1 >0，ax是增函数，－a－x是增函数，∴f(x)是 R上的增函数； 当 00 且 a≠1 时，f(x)是 R上的增函数． (1)由 f(1－m)＋f(1－m2)<0 有 f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)， ∴ 1－m1 且 01 的解集为________． 解析：∵a>1,01⇔logb(x－3)>0⇔logb(x－3)>logb1⇔01 时， 3 2 x x ＝x 3 1 >1，∴x>x 3 2 ， ∴排除①.答案：④ 3．(2010 年江苏海门质检)若 x∈(0,1)，则下列结论正确的是__________． ①2x>x 2 1 >lgx ②2x>lgx>x 2 1 ③x 2 1 >2x>lgx ④lgx>x 2 1 >2x 解析：∵x∈(0,1)，∴2>2x>1,00，即 a<0.由 a2≥1 知 a≤－1.因此， a的取值范围为(－∞，－1]． (2)记 f(x)的最小值为 g(a)．则有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| ＝ 3(x－a 3 )2＋ 2a2 3 ，x>a， ① (x＋a)2－2a2，x≤a， ② (ⅰ)当 a≥0 时，f(－a)＝－2a2，由①②知 f(x)≥－2a2，此时 g(a)＝－2a2. (ⅱ)当 a<0 时，f(a 3 )＝2 3 a2.若 x>a，则由①知 f(x)≥2 3 a2； 若 x≤a，则 x＋a≤2a<0，由②知 f(x)≥2a2>2 3 a2.此时 g(a)＝2 3 a2. 综上，得 g(a)＝ －2a2， a≥0， 2a2 3 ， a<0. (3)(ⅰ)当 a∈(－∞，－ 6 2 ]∪[ 2 2 ，＋∞)时，解集为(a，＋∞)； (ⅱ)当 a∈[－ 2 2 ， 2 2 )时，解集为[a＋ 3－2a2 3 ，＋∞)； (ⅲ)当 a∈(－ 6 2 ，－ 2 2 )时，解集为(a，a－ 3－2a2 3 ]∪[a＋ 3－2a2 3 ，＋∞)． B 组 1．幂函数 y＝f(x)的图象经过点(－2，－1 8 )，则满足 f(x)＝27的 x的值是__________． 解析：设幂函数为 y＝xα，图象经过点(－2，－ 1 8 )，则－ 1 8 ＝(－2)α，∴α＝－ 3，∵x－3＝27，∴x＝1 3 .答案： 1 3 2．已知幂函数 f(x)＝xα的部分对应值如下表： x 1 1 2 f(x) 1 2 2 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________． 解析：由表知 2 2 ＝(1 2 )α，∴α＝1 2 ，∴f(x)＝x 1 2 .∴(|x|) 1 2 ≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 答案：{x|－4≤x≤4} 3．设 k∈R，函数 f(x)＝ 1 x (x>0)， ex(x≤0)， F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.当 k＝1 时，F(x)的 值域为__________． 解析：当 x>0 时，F(x)＝1 x ＋x≥2；当 x≤0 时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数 与幂函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以 k＝1 时，F(x) 的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 4．设函数 f(x)＝ －2 (x>0)， x2＋bx＋c (x≤0)， 若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于 x的 不等式 f(x)≤1 的解集为__________． 解析：由 f(－4)＝f(0)，得 b＝4.又 f(－2)＝0，可得 c＝4，∴ x≤0， x2＋4x＋4≤1 或 x>0， －2≤1， 可得－3≤x≤－1 或 x>0.答案：{x|－3≤x≤－1 或 x>0} 5．已知函数 f(x)＝ x2＋4x， x≥0， 4x－x2， x<0. 若 f(2－a2)>f(a)，则实数 a的取值范围是 __________． 解析：函数 f(x)＝ x2＋4x，x≥0， 4x－x2，x<0， 的图象如图． 知 f(x)在 R上为增函数． ∵f(2－a2)>f(a)，即 2－a2>a. 解得－20， －x2＋bx＋c，x≤0. 若 f(0)＝－2f(－1)＝1，则函数 g(x)＝f(x) ＋x的零点的个数为__________． 解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又 f(－1)＝－ 1 2 ，∴－1－b＋1＝－ 1 2 ，∴b＝1 2 .当 x>0 时，g(x)＝－2＋2x＝0，∴x＝1；当 x≤0 时，g(x)＝－x2＋ 1 2 x＋1＋x＝0，∴x2－ 3 2 x －1＝0，∴x＝2(舍)或 x＝－ 1 2 ，所以有两个零点．答案：2 8．设函数 f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0 时，f(x)是奇函数；②b ＝0，c>0 时，方程 f(x)＝0 只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程 f(x)＝0 至多有两个实根．其中正确的命题是__________． 解析：c＝0 时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故 f(x)是奇函 数；b＝0，c>0 时，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0 时，x2＋c＝0 无解，x<0 时，f(x)＝ －x2＋c＝0，∴x＝－ c，有一个实数根．答案：①②③ 9．对于区间[a，b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，如果对于区间[a，b]中的任 意数 x均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a， b]称为密切区间．若 m(x)＝x2－3x＋4 与 n(x)＝2x－3 在某个区间上是“密切函 数”，则它的一个密切区间可能是________． ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4] 解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得 2≤x≤3，故 在区间[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域为[0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1 在[2,3]上恒成立． 答案：③ 10．设函数 f(x)＝x2＋2bx＋c(c0， ∴f(m－4)的符号为正． 11．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f(1)＝－ a 2 ，3a>2c>2b，求证：(1)a>0 且－32c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又 2c＝－3a－2b，由 3a>2c>2b， ∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－30 时，∵a>0，∴f(0)＝c>0 且 f(1)＝－ a 2 <0， ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点． ②当 c≤0 时，∵a>0，∴f(1)＝－ a 2 <0 且 f(2)＝a－c>0，∴函数 f(x)在区间(1,2) 内至少有一个零点．综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点． (3)∵x1、x2 是函数 f(x)的两个零点，则 x1、x2是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， ∴x1 ＋ x2 ＝ － b a ， x1x2 ＝ c a ＝ － 3 2 － b a ， ∴|x1 － x2| ＝ (x1＋x2)2－4x1x2 ＝ (－b a )2－4(－3 2 － b a )＝ (b a ＋2)2＋2.∵－30，α＋β＝－ 3 a ，α·β＝b a .由|α－β|＝1 得(α－β)2＝1， 即(α＋β)2－4αβ＝ 9 a2 － 4b a ＝1，∴9－4ab＝a2，即 a2＋4ab＝9(a<0，a、b∈R)． (2)由(1)得 a(a＋4b)＝9，∵a、b均为负整数， ∴ a＝－1 a＋4b＝－9 或 a＝－9 a＋4b＝－1 或 a＝－3， a＋4b＝－3， 显然后两种情况不 合题意，应舍去，从而有 a＝－1， a＋4b＝－9， ∴ a＝－1， b＝－2. 故所求函数解析式为 f(x)＝－x2＋4x－2. (3)证明：由已知得 x1＋x2＝－ 4 a ，x1·x2＝ b a ，又由α<1<β<2 得α＋β＝－ 3 a <3，α·β ＝ b a <2，∴－ 1 a <1，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1·x2＋(x1＋x2)＋1＝b a － 4 a ＋1<2＋4＋1＝7， 即(x1＋1)(x2＋1)<7. 第四节 函数的图像特征 A 组 1．命题甲：已知函数 f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝1 对 称．命题乙：函数 f(1＋x)与函数 f(1－x)的图象关于直线 x＝1 对称．则甲、乙命 题正确的是__________． 解析：可举实例说明如 f(x)＝2x，依次作出函数 f(1＋x)与函数 f(1－x)的图象 判断．答案：甲 2．函数 y＝ x |x| ·ax(a>1)的图象的基本形状是_____． 解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析 式：y＝ ax(x>0) －ax(x<0) ，由指数函数图象易知①正确． 答案：① 3．已知函数 f(x)＝(1 5 )x－log3x，若 x0 是方程 f(x)＝0 的 解，且 0log3x1， ∴f(x1)>0.答案：正值 4．设 ab时，y>0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可 知，只有③正确．答案：③ 5．(原创题)已知当 x≥0 时，函数 y＝x2与函数 y＝2x的图 象如图所示，则当 x≤0 时，不等式 2x·x2≥1 的解集是 __________． 解析：在 2x·x2≥1 中，令 x＝－t，由 x≤0 得 t≥0， ∴2－t·(－t)2≥1，即 t2≥2t，由所给图象得 2≤t≤4， ∴2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2. 答案：－4≤x≤－2 6．已知函数 f(x)＝    ．(2,5]∈，3－ ，1,2]－[∈，－3 2 xx xx (1)画出 f(x)的图象；(2)写出 f(x)的单调递增区间． 解：(1)函数 f(x)的图象如图所示．, (2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]． B 组 1.函数 f(x)＝ln 1－x 1＋x 的图象只可能是__________． 解析：本题中 f(x)的定义域为{x|－10 时，g(x)＝log2x，则函数 y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________． 解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点 对称，当 x→＋∞时，f(x)→－∞，g(x)→＋∞，所以 f(x)·g(x)→－∞答案：② 5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运 输机的余油量为 Q1(吨)，加油机加油箱内余油 Q2(吨)， 加油时间为 t分钟，Q1、Q2 与时间 t的函数关系式的图 象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地，问运输机的油料是否够用？________. 解析：加油时间 10 分钟，Q1 由 30 减小为 0.Q2 由 40增加到 69，因而 10分钟时间内运输机用油 1吨．以后的 11小时需用油 66吨．因 69>66，故运输机的油料够用．答案：够用 6．已知函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋2)＝f(x)，且 x∈(－1,1]时，f(x)＝|x|，则 y＝ f(x)与 y＝log7x的交点的个数为__________． 解析：由 f(x＋2)＝f(x)知函数 y＝f(x)为周期为 2 的周期函数，作图． 答案：6 7．函数 y＝x m n(m，n∈Z，m≠0，|m|，|n|互质)图象如图所示， 则下列结论正确的是__________． ①mn>0，m，n均为奇数 ②mn<0，m，n一奇一偶 ③mn<0，m，n均为奇数 ④mn>0，m，n一奇一偶 解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减， 此时只需保证 m n <0，即 mn<0，有 y＝x m n ＝x－ |m| |n| ；同时函数只在第一象限有图象， 则函数的定义域为(0，＋∞)，此时|n|定为偶数，n即为偶数，由于两个数互质， 则 m定为奇数．答案：② 8．定义在 R上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中 与 f(x)的单调性不同的是 ①y＝x2＋1 ②y＝|x|＋1 ③y＝ 2x＋1，x≥0 x3＋1，x<0 ④y＝ ex，x≥0 e－x，x<0 解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0) 上为减函数，而 y＝x3＋1 在(－∞，0)上为增函数．答案：③ 9．(2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1 关于 直线 y＝x对称，且图象 C′关于点(2，－3)对称，则 a的值为__________． 解析：∵C′与 C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1 关于直线 y＝x对称， ∴C′为 x(y＋a＋1)＝ay＋a2＋1.整理得，y＋1＋a＝1－a x－a . ∵C′关于点(2，－3)对称，∴a＝2.答案：2 10．作下列函数的图象： (1)y＝ 1 |x|－1 ；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝1－|x| |1－x| ；(4)y＝|log2x－1|；(5)y＝2|x－1|. 解：(1)定义域{x|x∈R且 x≠±1}，且函数是偶函数．又当 x≥0 且 x≠1 时， y＝ 1 x－1 .先作函数 y＝1 x 的图象，并将图象向右平移 1 个单位，得到函数 y＝ 1 x－1 (x≥0 且 x≠1)的图象(如图(a)所示)． 又函数是偶函数，作关于 y轴对称图象，得 y＝ 1 |x|－1 的图象(如图(b)所示)． (2)函数式可化为 y＝ (x－1 2 )2－ 9 4 (x≥2)， －(x－1 2 )2＋ 9 4 (x<2). 其图象如图①所示． (3)函数式化为 y＝ 1＋x 1－x (x<0)， 1 (0≤x<1)， －1 (x>1). 其图象如图②所示． (4)先作出 y＝log2x的图象，再将其图象向下平移 1 个单位长度，保留 x轴 上方的部分，将 x轴下方的图象翻折到 x轴上方，即得 y＝|log2x－1|的图象，如 图③所示． (5)先作出 y＝2x的图象，再将其图象在 y轴左边的部分去掉，并作出 y轴右 边的图象关于 y轴对称的图象，即得 y＝2|x|的图象，再将 y＝2|x|的图象向右平移 1 个单位长度，即得 y＝2|x－1|的图象，如图④所示． 11．已知函数 f(x)＝－ a ax＋ a (a>0 且 a≠1)．(1)证明：函数 y＝f(x)的图象关于点(1 2 ， － 1 2 )对称；(2)求 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． 解：(1)证明：函数 f(x)的定义域为 R，任取一点(x，y)，它关于点(1 2 ，－ 1 2 ) 对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知，y＝－ a ax＋ a ，则－1－y＝－1＋ a ax＋ a ＝－ ax ax＋ a .,f(1－x)＝－ a a1－x＋ a ＝－ a a ax ＋ a ＝－ a·ax a＋ a·ax ＝－ ax ax＋ a . ∴－1－y＝f(1－x)．即函数 y＝f(x)的图象关于点(1 2 ，－ 1 2 )对称． (2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即 f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1. 则 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. 12．设函数 f(x)＝ x＋b ax－1 (x∈R，且 a≠0，x≠1 a )．(1)若 a＝1 2 ，b＝－ 3 2 ，指出 f(x) 与g(x)＝1 x 的图象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若 ab＋1≠0， 则 f(x)的图象必关于直线 y＝x对称． 解：(1)a＝1 2 ，b＝－ 3 2 ，f(x)＝ x－3 2 1 2 x－1 ＝ 2x－3 x－2 ＝2＋ 1 x－2 ， ∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x轴右移 2 个单位，再沿 y轴上移 2 个单位 得到，f(x)的图象的对称中心为点(2,2)． (2)证明：设 P(x0，y0)为 f(x)图象上任一点，则 y0＝ x0＋b ax0－1 ，P(x0，y0)关于 y ＝x的对称点为 P′(y0，x0)．由 y0＝ x0＋b ax0－1 得 x0＝ y0＋b ay0－1 .∴P′(y0，x0)也在 f(x) 的图象上．故 f(x)的图象关于直线 y＝x对称. 第四章 函数应用 A 组 1．已知函数 f(x)＝ x(x＋4)，x<0， x(x－4)，x≥0. 则函数 f(x)的零点个数为________． 解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与 x轴有三个交点，即函 数的零点有 3 个．答案：3 2．根据表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为___． x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x＋2 1 2 3 4 5 解析：据题意令 f(x)＝ex－x－2，由于 f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2 －4＝7.39－4>0，故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根． 答案：(1,2) 3．偶函数 f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且 f(0)·f(a)<0，则方程 f(x)＝0 在 区间[－a，a]内根的个数是__________． 解析：由题意函数 f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且 f(0)·f(a)<0，根据 零点存在定理知：在区间[0，a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0，又函数 f(x)是偶函数，故其在[－a,0]也惟一存在一个零点，所以方程 f(x)＝0 在区间[－a， a]内根的个数为 2.答案：2 4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电 网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位：千瓦时) 高峰电价 (单位：元/千 瓦时) 低谷月用电量 (单位：千瓦时) 低谷电价 (单位：元/千瓦 时) 50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过 50至 200的部 分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元 解析：高峰时段电费 a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)． 低谷时段电费 b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)． 故该家庭本月应付的电费为 a＋b＝148.4(元)．答案：148.4 5．(原创题)已知 f(x)＝|x|＋|x－1|，若 g(x)＝f(x)－a的零点个数不为 0，则 a的最 小值为________． 解析：作 f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即 f(x)=a，当 a=1 时，g(x)有无 数个零点；当 a>1 时，g(x)有 2 个零点；∴a的最小值为 1.答案：1 6．(2009 年高考上海卷)有时可用函数 f(x)＝ 0.1＋15ln a a－x ，x≤6， x－4.4 x－4 ，x＞6， 描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数 (x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数 a与学科知识有关． (1)证明：当 x≥7 时，掌握程度的增长量 f(x＋1)－f(x)总是下降； (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]， (127,133]．当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科． 解：(1)证明：当 x≥7 时，f(x＋1)－f(x)＝ 0.4 (x－3)(x－4) .而当 x≥7 时，函数 y ＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故 f(x＋1)－f(x)单调递减． ∴当 x≥7，掌握程度的增长量 f(x＋1)－f(x)总是下降． (2)由题意可知 0.1＋15ln a a－6 ＝0.85，整理得 a a－6 ＝e0.05， 解得 a＝ e0.05 e0.05－1 ·6≈20.50×6＝123.0，123．0∈(121,127]． 由此可知，该学科是乙学科． B 组 1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的 一个是________ ①y＝2x－2 ②y＝(1 2 )x ③y＝log2x ④y＝1 2 (x2－1) 解析：代入点(2,1.5)，(3,4)检验．答案：④ 2．函数 f(x)＝2x＋x－7 的零点所在的区间是____． ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 解析：因为 f(0)＝－6<0，f(1)＝2＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0， f(3)＝23＋3－7＝4>0，所以函数的零点在区间(2,3)内．答案：③ 3．已知函数 f(x)＝x＋log2x，则 f(x)在[1 2 ，2]内的零点的个数是______． 解析：易知 g(x)＝x 与 h(x)＝log2x 均为增函数，故函数 f(x)为增函数，且 f(2)·f(1 2 )<0，故函数有且只有一个零点．答案：1 4．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻 t(单位：分钟)与细胞数 n(单位：个) 的部分数据如下： t 0 20 60 140 n 1 2 8 128 根据表中数据，推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t最接近于________分钟． 解析：由表格中所给数据可以得出 n与 t的函数关系为 n＝2 t 20，令 n＝1000， 得 2 t 20 ＝1000，又 210＝1024，所以时刻 t最接近 200 分钟．答案：200 5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生 产．已知该生产线连续生产 n年的累计产量为 f(n)＝1 2 n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果 年产量超过 150 吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条 生产线拟定最长的生产期限是________年． 解析：由题知第一年产量为 a1＝ 1 2 ×1×2×3＝3；以后各年产量分别为 an＝ f(n)－f(n－1)＝1 2 n·(n＋1)(2n＋1)－1 2 n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令 3n2≤150， 得 1≤n≤5 2⇒1≤n≤7，故生产期限最长为 7 年．答案：7 6．某市出租车收费标准如下： 起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但 不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每 千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付 费 22.6 元，则此次出租车行驶了________km. 解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元，由题意可得： f(x) ＝ )，(8∈，2.85×8)－(＋2.15×5＋9 (3,8]∈，2.15×3)－(＋9 (0,3]∈，1＋8 ∞＋xx xx x 令 f(x)＝22.6，解得 x＝9.答案：9 7.(2010 年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD中设计图案， 他分别以 A、B、C、D为圆心，以 b(015000，解得 00，f(x)是增函数； 当 x∈(5 9 ，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数． ∴当 x＝5 9 时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(5 9 )＝20000. 即当 x＝5 9 时，本年度的年利润最大，最大利润为 20000 万元 第五章三角函数 第一节 角的概念的推广与弧度制 A 组 1．点 P从(－1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 顺时针方向运 动 π 3 弧长到达 Q点，则 Q点的坐标为________． 解析：由于点 P从(－1,0)出发，顺时针方向运动 π 3 弧 长到达 Q点，如图，因此 Q点的坐标为(cos2π 3 ，sin2π 3 )， 即 Q(－1 2 ， 3 2 )．答案：(－1 2 ， 3 2 ) 2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________． ①tanα 2 ②sinα 2 ③cosα 2 ④cos2α 解析：α为第四象限角，则 α 2 为第二、四象限角，因此 tanα 2 <0 恒成立，应填 ①，其余三个符号可正可负．答案：① 3．若 sinα<0 且 tanα>0，则α是第_______象限的角． 答案：三 4．函数 y＝|sinx| sinx ＋ cosx |cosx| ＋ |tanx| tanx 的值域为________． 解析：当 x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3； 当 x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1； 当 x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1； 当 x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3} 5．(原创题)若一个α角的终边上有一点 P(－4，a)，且 sinα·cosα＝ 3 4 ，则 a的值 为________． 解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点 P(－4，a)在其终边上且 sinα·cosα ＝ 3 4 ，易得 tanα＝ 3或 3 3 ，则 a＝－4 3或－ 4 3 3.答案：－4 3或－ 4 3 3 6．已知角α的终边上的一点 P的坐标为(－ 3，y)(y≠0)，且 sinα＝ 2 4 y，求 cosα， tanα的值． 解：因为 sinα＝ 2 4 y＝ y (－ 3)2＋y2 ，所以 y2＝5， 当 y＝ 5时，cosα＝－ 6 4 ，tanα＝－ 15 3 ； 当 y＝－ 5时，cosα＝－ 6 4 ，tanα＝ 15 3 . B组 1．已知角α的终边过点 P(a，|a|)，且 a≠0，则 sinα的值为________． 解析：当 a>0 时，点 P(a，a)在第一象限，sinα＝ 2 2 ； 当 a<0 时，点 P(a，－a)在第二象限，sinα＝ 2 2 .答案： 2 2 2．已知扇形的周长为 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为 R，则 2R＋α·R＝6 1 2 R2·α＝2 ，解得α＝1 或α＝4.答案：1 或 4 3．如果一扇形的圆心角为 120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________． 解析：S＝1 2 |α|r2＝ 1 2 × 2 3 π×100＝100 3 π(cm2)．答案： 100 3 π cm2 4．若角θ的终边与 168°角的终边相同，则在 0°～360°内终边与 θ 3 角的终边相同的 角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限． 解析：当 k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第 三象限角；当 k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角． 答案：一或三 6．设角α的终边经过点 P(－6a，－8a)(a≠0)，则 sinα－cosα的值是________． 解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝ (－6a)2＋(－8a)2＝10|a|， ∴sinα－cosα＝y r － x r ＝ －8a＋6a 10|a| ＝ －a 5|a| ＝±1 5 .答案：±1 5 7．若点 A(x，y)是 300°角终边上异于原点的一点，则 y x 的值为________． 解析： y x ＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 3 8．已知点 P(sin3π 4 ，cos3π 4 )落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________． 解析：由 sin3π 4 >0，cos3π 4 <0 知角θ在第四象限，∵tanθ＝ cos3π 4 sin3π 4 ＝－1，θ∈[0,2π)， ∴θ＝7π 4 .答案： 7π 4 9．已知角α的始边在 x轴的非负半轴上，终边在直线 y＝kx上，若 sinα＝ 2 5 ，且 cosα<0，则 k的值为________． 解析：设α终边上任一点 P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx， ∴r＝ x2＋(kx)2＝ 1＋k2|x|.又 sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0， ∴r＝－ 1＋k2x，且 k<0.∴sinα＝y r ＝ kx － 1＋k2x ＝－ k 1＋k2 ，又 sinα＝ 2 5 . ∴－ k 1＋k2 ＝ 2 5 ，∴k＝－2.答案：－2 10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是 R.若α＝60°，R＝10 cm，求扇形 的弧长及该弧所在的弓形面积． 解：设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，∵α＝60°＝π 3 ，R＝10，∴l＝10 3 π(cm)， S 弓＝S 扇－S△＝ 1 2 ·10 3 π·10－1 2 ·102sin60°＝50(π 3 － 3 2 )(cm2)． 11．扇形 AOB的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解：设扇形 AOB的半径为 r，弧长为 l，圆心角为α， (1)由题意可得 2r＋l＝8， 1 2 lr＝3， 解得 r＝3， l＝2， 或 r＝1 l＝6， ∴α＝l r ＝ 2 3 或α＝l r ＝6. (2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝ 8 2＋α .∴S 扇＝ 1 2 αr2＝ 1 2 α· 64 (2＋α)2 ＝ 32 α＋4 α ＋4 ≤4， 当且仅当α＝4 α ，即α＝2 时，扇形面积取得最大值 4.此时，r＝ 8 2＋2 ＝2 (cm)， ∴|AB|＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)． 12．(1)角α的终边上一点 P(4t，－3t)(t≠0)，求 2sinα＋cosα的值； (2)已知角β的终边在直线 y＝ 3x上，用三角函数定义求 sinβ的值． 解：(1)根据题意，有 x＝4t，y＝－3t，所以 r＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|， ①当 t＞0 时，r＝5t，sinα＝－ 3 5 ，cosα＝4 5 ，所以 2sinα＋cosα＝－ 6 5 ＋ 4 5 ＝－ 2 5 . ②当 t＜0 时，r＝－5t，sinα＝－3t －5t ＝ 3 5 ，cosα＝ 4t －5t ＝－ 4 5 ， 所以 2sinα＋cosα＝6 5 － 4 5 ＝ 2 5 . (2)设 P(a， 3a)(a≠0)是角β终边 y＝ 3x上一点，若 a＜0，则β是第三象限 角，r＝－2a，此时 sinβ＝ 3a －2a ＝－ 3 2 ；若 a＞0，则β是第一象限角，r＝2a， 此时 sinβ＝ 3a 2a ＝ 3 2 . 第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 A 组 1．若 cosα＝－ 3 5 ，α∈(π 2 ，π)，则 tanα＝________. 解析：cosα＝－ 3 5 ，α∈(π 2 ，π)，所以 sinα＝4 5 ，∴tanα＝sinα cosα ＝－ 4 3 . 答案：－ 4 3 2．若 sinθ＝－ 4 5 ，tanθ>0，则 cosθ＝________. 解析：由 sinθ＝－ 4 5 <0，tanθ>0 知，θ是第三象限角，故 cosθ＝－ 3 5 . 答案：－ 3 5 3．若 sin(π 6 ＋α)＝3 5 ，则 cos(π 3 －α)＝________. 解析：cos(π 3 －α)＝cos[π 2 －(π 6 ＋α)]＝sin(π 6 ＋α)＝3 5 .答案： 3 5 4．已知 sinx＝2cosx，则 5sinx－cosx 2sinx＋cosx ＝______. 解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴ 5sinx－cosx 2sinx＋cosx ＝ 5tanx－1 2tanx＋1 ＝ 9 5 . 答案： 9 5 5．(原创题)若 cos2θ＋cosθ＝0，则 sin2θ＋sinθ＝________. 解析：由 cos2θ＋cosθ＝0，得 2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以 cosθ＝－1 或 cosθ ＝ 1 2 ，当 cosθ＝－1 时，有 sinθ＝0，当 cosθ＝1 2 时，有 sinθ＝± 3 2 .于是 sin2θ＋sinθ ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0 或 3或－ 3.答案：0 或 3或－ 3 6．已知 sin(π－α)cos(－8π－α)＝ 60 169 ，且α∈(π 4 ， π 2 )，求 cosα，sinα的值． 解：由题意，得 2sinαcosα＝120 169 .①又∵sin2α＋cos2α＝1，② ①＋②得：(sinα＋cosα)2＝ 289 169 ，②－①得：(sinα－cosα)2＝ 49 169 . 又∵α∈(π 4 ， π 2 )，∴sinα>cosα>0，即 sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0， ∴sinα＋cosα＝17 13 .③sinα－cosα＝ 7 13 ，④ ③＋④得：sinα＝12 13 .③－④得：cosα＝ 5 13 . B 组 1．已知 sinx＝2cosx，则 sin2x＋1＝________. 解析：由已知，得 tanx＝2，所以 sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝ 2sin2x＋cos2x sin2x＋cos2x ＝ 2tan2x＋1 tan2x＋1 ＝ 9 5 .答案： 9 5 2．cos10π 3 ＝________. 解析：cos10π 3 ＝cos4π 3 ＝－cosπ 3 ＝－ 1 2 .答案：－ 1 2 3．已知 sinα＝3 5 ，且α∈(π 2 ，π)，那么 sin2α cos2α 的值等于________． 解析：cosα＝－ 1－sin2α＝－ 4 5 ， sin2α cos2α ＝ 2sinαcosα cos2α ＝ 2sinα cosα ＝ 2×3 5 － 4 5 ＝－ 3 2 . 答案：－ 3 2 4．若 tanα＝2，则 sinα＋cosα sinα－cosα ＋cos2α＝_________________. 解析： sinα＋cosα sinα－cosα ＋cos2α＝sinα＋cosα sinα－cosα ＋ cos2α sin2α＋cos2α ＝ tanα＋1 tanα－1 ＋ 1 tan2α＋1 ＝ 16 5 .答案： 16 5 5．已知 tanx＝sin(x＋π 2 )，则 sinx＝___________________. 解析：∵tanx＝sin(x＋π 2 )＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得 sinx＝ 5－1 2 .答案： 5－1 2 6．若θ∈[0，π)，且 cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________. 解析：由 cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ) ＝0⇒sinθ＝0 或 sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0 或 π 4 .答案：0 或 π 4 7．已知 sin(α＋ π 12 )＝1 3 ，则 cos(α＋7π 12 )的值等于________． 解析：由已知，得 cos(α＋7π 12 )＝cos[(α＋ π 12 )＋π 2 ]＝－sin(α＋ π 12 )＝－ 1 3 . 答案：－ 1 3 8．若 cosα＋2sinα＝－ 5，则 tanα＝________. 解析：由 cosα＋2sinα＝－ 5， ① sin2α＋cos2α＝1， ② 将①代入②得( 5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－ 2 5 5 ，cosα＝－ 5 5 ，∴tanα＝2. 答案：2 9．已知 f(α)＝ sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π 2 ) cos(－π－α) ，则 f(－31π 3 )的值为________． 解析：∵f(α)＝sinα·cosα·cotα －cosα ＝－cosα，∴f(－31 3 π)＝－cosπ 3 ＝－ 1 2 .答案：－ 1 2 10．求 sin(2nπ＋2π 3 )·cos(nπ＋4π 3 )(n∈Z)的值． 解：(1)当 n为奇数时，sin(2nπ＋2π 3 )·cos(nπ＋4π 3 )＝sin2π 3 ·cos[(n＋1)π＋π 3 ] ＝sin(π－π 3 )·cosπ 3 ＝sinπ 3 ·cosπ 3 ＝ 3 2 × 1 2 ＝ 3 4 . (2)当 n为偶数时，sin(2nπ＋2π 3 )·cos(nπ＋4π 3 )＝sin2π 3 ·cos4π 3 ＝sin(π－π 3 )·cos(π ＋ π 3 )＝sinπ 3 ·(－cosπ 3 )＝ 3 2 ×(－1 2 )＝－ 3 4 . 11．在△ABC中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA＝－ 2cos(π－B)，求 △ABC的三内角． 解：由已知，得 sinA＝ 2sinB， ① 3cosA＝ 2cosB， ② ①2＋②2得：2cos2A＝1，即 cosA＝± 2 2 . (1)当 cosA＝ 2 2 时，cosB＝ 3 2 ，又 A、B是三角形内角，∴A＝π 4 ，B＝π 6 ，∴C ＝π－(A＋B)＝ 7 12 π.(2)当 cosA＝－ 2 2 时，cosB＝－ 3 2 .又 A、B是三角形内角， ∴A＝3 4 π，B＝5 6 π，不合题意．综上知，A＝π 4 ，B＝π 6 ，C＝ 7 12 π. 12．已知向量 a＝( 3，1)，向量 b＝(sinα－m，cosα)． (1)若 a∥b，且α∈[0,2π)，将 m表示为α的函数，并求 m的最小值及相应的α 值；(2)若 a⊥b，且 m＝0，求 cos(π 2 －α)·sin(π＋2α) cos(π－α) 的值． 解：(1)∵a∥b，∴ 3cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－ 3cosα＝2sin(α－π 3 )． 又∵α∈[0,2π)，∴当 sin(α－π 3 )＝－1 时，mmin＝－2. 此时α－π 3 ＝ 3 2 π，即α＝11 6 π. (2)∵a⊥b，且 m＝0，∴ 3sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－ 3 3 . ∴ cos(π 2 －α)·sin(π＋2α) cos(π－α) ＝ sinα·(－sin2α) －cosα ＝tanα·2sinα·cosα ＝tanα· 2sinα·cosα sin2α＋cos2α ＝tanα· 2tanα 1＋tan2α ＝ 1 2 . 第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质 A 组 1．已知函数 f(x)＝sin(x－π 2 )(x∈R)，下面结论错误的是． ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0，π 2 ]上是增函数 ③函数 f(x)的图象关于直线 x＝0 对称④函数 f(x)是奇函数 解析：∵y＝sin(x－π 2 )＝－cosx，y＝－cosx为偶函数， ∴T＝2π，在[0，π 2 ]上是增函数，图象关于 y轴对称．答案：④ 2．函数 y＝2cos2(x－π 4 )－1 是________． ①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为 π 2 的奇函数 ④最小正周期为 π 2 的偶函数 解析：y＝2cos2(x－π 4 )－1＝cos(2x－π 2 )＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数． 答案：① 3．若函数 f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx，0≤x<π 2 ，则 f(x)的最大值为________． 解析：f(x)＝(1＋ 3·sinx cosx )·cosx＝cosx＋ 3sinx＝2sin(x＋π 6 )， ∵0≤x<π 2 ，∴ π 6 ≤x＋π 6 <2π 3 ，∴当 x＋π 6 ＝ π 2 时，f(x)取得最大值 2.答案：2 4．已知函数 f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x＝ π 12 ，则 a的 值为________． 解析：∵x＝ π 12 是对称轴，∴f(0)＝f(π 6 )，即 cos0＝asinπ 3 ＋cosπ 3 ，∴a＝ 3 3 . 答案： 3 3 5．(原创题)设 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线 x＝π 3 对称，它的最 小正周期是π，则 f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)． 解析：∵T＝2π ω ＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线 x＝π 3 对称，所以有 sin(2×π 3 ＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－π 6 (k1∈Z)，由 sin(2x＋k1π－π 6 )＝0 得 2x＋k1π－π 6 ＝ k2π(k2∈Z)，∴x＝ π 12 ＋(k2－k1) π 2 ，当 k1＝k2 时，x＝ π 12 ，∴f(x)图象的一个对称中 心为( π 12 ，0)．答案：( π 12 ，0) 6．(2010 年宁波调研)设函数 f(x)＝ 3cos2x＋sinxcosx－ 3 2 . (1)求函数 f(x)的最小正周期 T，并求出函数 f(x)的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x的和． 解：(1)f(x)＝ 3 2 (cos2x＋1)＋1 2 sin2x－ 3 2 ＝ 3 2 cos2x＋1 2 sin2x＝sin(2x＋π 3 )， 故 T＝π.由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)，得 kπ－ 5 12 π≤x≤kπ＋ π 12 ， 所以单调递增区间为[kπ－ 5 12 π，kπ＋ π 12 ](k∈Z)． (2)令 f(x)＝1，即 sin(2x＋π 3 )＝1，则 2x＋π 3 ＝2kπ＋π 2 (k∈Z)．于是 x＝kπ＋ π 12 (k∈Z)，∵0≤x<3π，且 k∈Z，∴k＝0,1,2，则 π 12 ＋(π＋ π 12 )＋(2π＋ π 12 )＝13π 4 . ∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x的和为 13 4 π. B组 1．函数 f(x)＝sin(2 3 x＋π 2 )＋sin2 3 x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________． 解析：f(x)＝cos2x 3 ＋sin2x 3 ＝ 2sin(2x 3 ＋ π 4 )，相邻的两条对称轴之间的距离是 半个周期，T＝ 2π 2 3 ＝3π，∴ T 2 ＝ 3π 2 .答案： 3π 2 2．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线 x＝π 3 对称．则下列四个函数中， 同时具有性质 ab 的是________． ①y＝sin(x 2 ＋ π 6 ) ②y＝sin(2x＋π 6 ) ③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－π 6 ) 解析：④中，∵T＝2π ω ＝π，∴ω＝2.又 2×π 3 － π 6 ＝ π 2 ，所以 x＝π 3 为对称轴． 答案：④ 3．若 π 4 1，令 tan2x－1＝t>0，则 y＝tan2xtan3x＝ 2tan4x 1－tan2x ＝ 2(t＋1)2 －t ＝－2(t＋1 t ＋2)≤－8，故填－8.答案：－8 4．函数 f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[－2 3 π，θ]上的最大值为 1，则θ的值是________． 解析：因为 f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其 在区间[－2π 3 ，θ]上的最大值为 1，可知θ只能取－ π 2 . 答案：－ π 2 5．若函数 f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－2π 3 ， 2π 3 ]上单调递增，则ω的最大值为________． 解析：由题意，得 2π 4ω ≥ 2π 3 ，∴0<ω≤3 4 ，则ω的最大值为 3 4 .答案： 3 4 6．设函数 y＝2sin(2x＋π 3 )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称，若 x0∈[－π 2 ，0]，则 x0＝________. 解析：因为图象的对称中心是其与 x轴的交点，所以由 y＝2sin(2x0＋ π 3 )＝0， x0∈[－π 2 ，0]，得 x0＝－ π 6 .答案：－ π 6 7．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为 π 2 ， 直线 x＝π 3 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________． ①y＝4sin(4x＋π 6 )②y＝2sin(2x＋π 3 )＋2③y＝2sin(4x＋π 3 )＋2 ④y＝2sin(4x＋π 6 )＋2 解析：因为已知函数的最大值为 4，最小值为 0，所以 A＋m＝4 m－A＝0 ，解得 A ＝m＝2，又最小正周期为 2π ω ＝ π 2 ，所以ω＝4，又直线 x＝π 3 是其图象的一条对称 轴，将 x＝π 3 代入得 sin(4×π 3 ＋φ)＝±1，所以φ＋4π 3 ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，即φ＝kπ－ 5π 6 (k∈Z)，当 k＝1 时，φ＝π 6 .答案：④ 8．有一种波，其波形为函数 y＝sinπ 2 x的图象，若在区间[0，t]上至少有 2 个波峰 (图象的最高点)，则正整数 t的最小值是________． 解析：函数 y＝sinπ 2 x的周期 T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则 t≥5 4 T＝5.答案：5 9．已知函数 f(x)＝ 3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线 y＝2 的两个相邻 交点的距离等于π，则 f(x)的单调递增区间是________． 解析：∵y＝ 3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π 6 )，且由函数 y＝f(x)与直线 y＝2 的 两个相邻交点间的距离为π知，函数 y＝f(x)的周期 T＝π，∴T＝2π ω ＝π，解得ω＝ 2，∴f(x)＝2sin(2x＋π 6 )．令 2kπ－π 2 ≤2x＋π 6 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)，得 kπ－π 3 ≤x≤kπ＋ π 6 (k∈Z)．答案：[kπ－π 3 ，kπ＋π 6 ](k∈Z) 10．已知向量 a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量 b＝(cosωx,2 3)，其中ω>0，函数 f(x) ＝a·b，若 f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求 f(x)的解析式；(2)若对任意 实数 x∈[π 6 ， π 3 ]，恒有|f(x)－m|<2 成立，求实数 m的取值范围． 解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,2 3)＝sin2ωx＋ 3(1＋cos2ωx)＝ 2sin(2ωx＋π 3 )＋ 3.∵相邻两对称轴的距离为π，∴ 2π 2ω ＝2π，∴ω＝1 2 ， ∴f(x)＝2sin(x＋π 3 )＋ 3. (2)∵x∈[π 6 ， π 3 ]，∴x＋π 3 ∈[π 2 ， 2π 3 ]，∴2 3≤f(x)≤2＋ 3.又∵|f(x)－m|<2， ∴－2＋m0)的最小正周期为 3π，且当 x∈[0， π]时，函数 f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式；(2)在△ABC中，若 f(C)＝ 1，且 2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求 sinA的值． 解：(1)f(x)＝ 3sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋π 6 )－1＋m. 依题意，函数 f(x)的最小正周期为 3π，即 2π ω ＝3π，解得ω＝2 3 . ∴f(x)＝2sin(2x 3 ＋ π 6 )－1＋m. 当 x∈[0，π]时， π 6 ≤ 2x 3 ＋ π 6 ≤ 5π 6 ， 1 2 ≤sin(2x 3 ＋ π 6 )≤1， ∴f(x)的最小值为 m.依题意，m＝0.∴f(x)＝2sin(2x 3 ＋ π 6 )－1. (2)由题意，得 f(C)＝2sin(2C 3 ＋ π 6 )－1＝1，∴sin(2C 3 ＋ π 6 )＝1. 而 π 6 ≤ 2C 3 ＋ π 6 ≤ 5π 6 ，∴ 2C 3 ＋ π 6 ＝ π 2 ，解得 C＝π 2 .∴A＋B＝π 2 . 在 Rt△ABC中，∵A＋B＝π 2 ，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)． ∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得 sinA＝－1± 5 2 .∵01 时，T<2π.当 0<|a|<1 时，T>2π， 观察图形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④ 2．(2009 年高考湖南卷改编)将函数 y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后， 得到函数 y＝sin(x－π 6 )的图象，则φ等于________． 解析：y＝sin(x－π 6 )＝sin(x－π 6 ＋2π)＝sin(x＋11π 6 )．答案： 11π 6 3．将函数 f(x)＝ 3sinx－cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函 数为奇函数，则φ的最小值为________． 解析：因为 f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x－π 6 )，f(x)的图象向右平移φ个单位所 得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为 5π 6 . 答案： 5π 6 4．如图是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)， x∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为 ________． ①函数 f(x)的最小正周期为 π 2 ； ②函数 f(x)的振幅为 2 3； ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x＝ 7 12 π； ④函数 f(x)的单调递增区间为[ π 12 ， 7 12 π]； ⑤函数的解析式为 f(x)＝ 3sin(2x－2 3 π)． 解析：据图象可得：A＝ 3，T 2 ＝ 5π 6 － π 3 ⇒T＝π，故ω＝2，又由 f(7π 12 )＝ 3⇒ sin(2×7π 12 ＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－2π 3 (k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－ 2π 3 ，故 f(x)＝ 3sin(2x－2π 3 )，依次判断各选项，易知①②是错误的，由图象易知 x＝7π 12 是函数 图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[ π 12 ， 7π 12 ] 只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤ 5．已知函数 f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数 x1，使得对任意的实数 x，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，则ω的最小值为________． 解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个 完整的单调区间即可，且 f(x)＝sinωx＋cosωx＝ 2sin(ωx＋π 4 )，则 2010≥ 2π ω 2 ⇒ ω≥ π 2010 .答案： π 2010 6．已知函数 f(x)＝sin2ωx＋ 3sinωx·sin(ωx＋π 2 )＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在 y轴右 侧的第一个最高点的横坐标为 π 6 . (1)求ω； (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 π 6 个单位后，再将得到的图象上各点横坐标 伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)的最大 值及单调递减区间． 解：(1)f(x)＝ 3 2 sin2ωx＋1 2 cos2ωx＋3 2 ＝sin(2ωx＋π 6 )＋3 2 ， 令 2ωx＋π 6 ＝ π 2 ，将 x＝π 6 代入可得：ω＝1. (2)由(1)得 f(x)＝sin(2x＋π 6 )＋3 2 ， 经过题设的变化得到的函数 g(x)＝sin(1 2 x－π 6 )＋3 2 ， 当 x＝4kπ＋4 3 π，k∈Z时，函数取得最大值 5 2 . 令 2kπ＋π 2 ≤ 1 2 x－π 6 ≤2kπ＋3 2 π(k∈Z)， ∴4kπ＋4π 3 ≤x≤4kπ＋10 3 π(k∈Z)． 即 x∈[4kπ＋4π 3 ，4kπ＋10 3 π]，k∈Z为函数的单调递减区间． B组 1．已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________. 解析：由图可知， T 2 ＝2π－3 4 π， ∴T＝5 2 π，∴ 2π ω ＝ 5 2 π，∴ω＝4 5 ， ∴y＝sin(4 5 x＋φ)． 又∵sin(4 5 × 3 4 π＋φ)＝－1， ∴sin(3 5 π＋φ)＝－1， ∴ 3 5 π＋φ＝3 2 π＋2kπ，k∈Z. ∵－π≤φ<π，∴φ＝ 9 10 π. 答案： 9 10 π 2．已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象 如图所示，则φ＝________. 解析：由图象知 T＝2(2π 3 － π 6 )＝π. ∴ω＝2π T ＝2，把点(π 6 ，1)代入，可得 2×π 6 ＋ φ＝π 2 ，φ＝π 6 .答案： π 6 3．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π 4 )(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数 g(x) ＝cosωx的图象，只要将 y＝f(x)的图象________． 解析：∵f(x)＝sin(ωx＋π 4 )(x∈R，ω>0)的最小正周期为π， ∴ 2π ω ＝π，故ω＝2. 又 f(x)＝sin(2x＋π 4 )∴g(x)＝sin[2(x＋π 8 )＋π 4 ]＝sin(2x＋π 2 )＝cos2x. 答案：向左平移 π 8 个单位长度 4．已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ) 的图象如图所示， f(π 2 )＝－ 2 3 ，则 f(0)＝________. 解析： T 2 ＝ 11 12 π－ 7 12 π＝π 3 ，∴ω＝2π T ＝3. 又( 7 12 π，0)是函数的一个上升段的零点， ∴3× 7 12 π＋φ＝3π 2 ＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－ π 4 ＋2kπ，k∈Z， 代入 f(π 2 )＝－ 2 3 ，得 A＝2 2 3 ，∴f(0)＝2 3 . 答案： 2 3 5．将函数 y＝sin(2x＋π 3 )的图象向________平移________个单位长度后所得的图 象关于点(－ π 12 ，0)中心对称． 解析：由 y＝sin(2x＋π 3 )＝sin2(x＋π 6 )可知其函数图象关于点(－π 6 ，0)对称，因 此要使平移后的图象关于(－ π 12 ，0)对称，只需向右平移 π 12 即可．答案：右 π 12 6．(2010 年深圳调研)定义行列式运算：|a1 a2 a3 a4 |＝a1a4－a2a3，将函数 f(x)＝ | 3 cosx 1 sinx |的图象向左平移 m个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数， 则 m的最小值是________． 解析：由题意，知 f(x)＝ 3sinx－cosx＝2( 3 2 sinx－1 2 cosx)＝2sin(x－π 6 )， 其图象向左平移 m个单位后变为 y＝2sin(x－π 6 ＋m)，平移后其对称轴为 x－π 6 ＋m＝kπ＋π 2 ，k∈Z.若为偶函数，则 x＝0，所以 m＝kπ＋2π 3 (k∈Z)，故 m的最小 值为 2π 3 .答案： 2π 3 7．若将函数 y＝tan(ωx＋π 4 )(ω>0)的图象向右平移 π 6 个单位长度后，与函数 y＝ tan(ωx＋π 6 )的图象重合，则ω的最小值为________． 解析：y＝tan(ωx＋π 4 )向右平移 π 6 个单位长度后得到函数解析式 y＝tan[ω(x－π 6 ) ＋ π 4 ]，即 y＝tan(ωx＋π 4 － πω 6 )，显然当 π 4 － πω 6 ＝ π 6 ＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此 时ω＝1 2 －6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0 时，ω的最小值为 1 2 .答案： 1 2 8．给出三个命题：①函数 y＝|sin(2x＋π 3 )|的最小正周期是 π 2 ；②函数 y＝sin(x－3π 2 ) 在区间[π，3π 2 ]上单调递增；③x＝5π 4 是函数 y＝sin(2x＋5π 6 )的图象的一条对称轴．其 中真命题的个数是________． 解析：由于函数 y＝sin(2x＋π 3 )的最小正周期是π，故函数 y＝|sin(2x＋π 3 )|的最 小正周期是 π 2 ，①正确；y＝sin(x－3π 2 )＝cosx，该函数在[π，3π 2 )上单调递增， ② 正确；当 x＝5π 4 时，y＝sin(2x＋5π 6 )＝sin(5π 2 ＋ 5π 6 )＝sin(π 2 ＋ 5π 6 )＝cos5π 6 ＝－ 3 2 ，不 等于函数的最值，故 x＝5π 4 不是函数 y＝sin(2x＋5π 6 )的图象的一条对称轴，③不 正确．答案：2 9．当 0≤x≤1 时，不等式 sinπx 2 ≥kx恒成立，则实数 k的取值范围是________． 解析：当 0≤x≤1 时，y＝sin πx 2 的图象如图所示，y ＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当 k≤0 时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在 x轴下方，原不等 式成立． 当 k>0，kx≤sin πx 2 时，在 x∈[0,1]上恒成立，k≤1 即可． 故 k≤1 时，x∈[0,1]上恒有 sinπx 2 ≥kx.答案：k≤1 10．设函数 f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 2π 3 .(1)求ω的值； (2)若函数 y＝g(x)的图象是由 y＝f(x)的图象向右平移 π 2 个单位长度得到，求 y＝g(x) 的单调增区间． 解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx ＋2＝ 2sin(2ωx＋π 4 )＋2，依题意，得 2π 2ω ＝ 2π 3 ，故ω＝3 2 . (2)依题意，得 g(x)＝ 2sin[3(x－π 2 )＋π 4 ]＋2＝ 2sin(3x－5π 4 )＋2. 由 2kπ－π 2 ≤3x－5π 4 ≤2kπ＋π 2 (k∈Z)，解得 2 3 kπ＋π 4 ≤x≤2 3 kπ＋7π 12 (k∈Z)． 故 g(x)的单调增区间为[2 3 kπ＋π 4 ， 2 3 kπ＋7π 12 ](k∈Z)． 11．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0,0<φ<π 2 )的周期为π，且图 象上一个最低点为 M(2π 3 ，－2)． (1)求 f(x)的解析式；(2)当 x∈[0， π 12 ]时，求 f(x)的最值． 解：(1)由最低点为 M(2π 3 ，－2)得 A＝2.由 T＝π得ω＝2π T ＝ 2π π ＝2. 由点 M(2π 3 ，－2)在图象上得 2sin(4π 3 ＋φ)＝－2，即 sin(4π 3 ＋φ)＝－1， ∴ 4π 3 ＋φ＝2kπ－π 2 (k∈Z)，即φ＝2kπ－11π 6 ，k∈Z.又φ∈(0，π 2 )，∴φ＝π 6 ， ∴f(x)＝2sin(2x＋π 6 )． (2)∵x∈[0， π 12 ]，∴2x＋π 6 ∈[π 6 ， π 3 ]，∴当 2x＋π 6 ＝ π 6 ，即 x＝0 时，f(x)取得最 小值 1；当 2x＋π 6 ＝ π 3 ，即 x＝ π 12 时，f(x)取得最大值 3. 12．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<π 2 . (1)若 cosπ 4 cosφ－sin3π 4 sinφ＝0，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 π 3 ， 求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m，使得函数 f(x)的图象向左平移 m个单 位后所对应的函数是偶函数． 解：法一：(1)由 cosπ 4 cosφ－sin3π 4 sinφ＝0 得 cosπ 4 cosφ－sinπ 4 sinφ＝0， 即 cos(π 4 ＋φ)＝0.又|φ|<π 2 ，∴φ＝π 4 . (2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π 4 )．依题意， T 2 ＝ π 3 ，又 T＝2π ω ，故ω＝3， ∴f(x)＝sin(3x＋π 4 )．函数 f(x)的图象向左平移 m个单位后所对应的函数为 g(x)＝sin[3(x＋m)＋π 4 ]，g(x)是偶函数当且仅当 3m＋π 4 ＝kπ＋π 2 (k∈Z)， 即 m＝kπ 3 ＋ π 12 (k∈Z)．从而，最小正实数 m＝ π 12 . 法二：(1)同法一． (2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋π 4 )．依题意， T 2 ＝ π 3 .又 T＝2π ω ，故ω＝3， ∴f(x)＝sin(3x＋π 4 )． 函数 f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为 g(x)＝sin[3(x＋m)＋π 4 ]． g(x)是偶函数当且仅当 g(－x)＝g(x)对 x∈R恒成立， 亦即 sin(－3x＋3m＋π 4 )＝sin(3x＋3m＋π 4 )对 x∈R恒成立． ∴sin(－3x)cos(3m＋π 4 )＋cos(－3x)·sin(3m＋π 4 ) ＝sin3xcos(3m＋π 4 )＋cos3xsin(3m＋π 4 )， 即 2sin3xcos(3m＋π 4 )＝0 对 x∈R 恒成立．∴cos(3m＋π 4 )＝0，故 3m＋π 4 ＝kπ ＋ π 2 (k∈Z)，∴m＝kπ 3 ＋ π 12 (k∈Z)，从而，最小正实数 m＝ π 12 . 第六章 三角恒等变形 第一节 同角三角函数的基本关系 A组 1．已知 sinα＝ 5 5 ，sin(α－β)＝－ 10 10 ，α、β均为锐角，则β等于________． 解析：∵α、β均为锐角，∴－ π 2 <α－β<π 2 ，∴cos(α－β)＝ 1－sin2(α－β)＝3 10 10 . ∵sinα＝ 5 5 ，∴cosα＝ 1－( 5 5 )2＝2 5 5 . ∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝ 2 2 . ∵0<β<π 2 ，∴β＝π 4 .答案： π 4 2．已知 0<α<π 2 <β<π，cosα＝3 5 ，sin(α＋β)＝－ 3 5 ，则 cosβ的值为________． 解析：∵0<α<π 2 ， π 2 <β<π，∴ π 2 <α＋β<3 2 π.∴sinα＝4 5 ，cos(α＋β)＝－ 4 5 ， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝ (－4 5 )×3 5 ＋ (－ 3 5 )×4 5 ＝－ 24 25 .答案：－ 24 25 3．如果 tanα、tanβ是方程 x2－3x－3＝0 的两根，则 sin(α＋β) cos(α－β) ＝________. 解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则 sin(α＋β) cos(α－β) ＝ sinαcosβ＋cosαsinβ cosαcosβ＋sinαsinβ ＝ tanα＋tanβ 1＋tanαtanβ ＝ 3 1－3 ＝－ 3 2 .答案：－ 3 2 4．已知 cos(α－π 6 )＋sinα＝4 5 3，则 sin(α＋7π 6 )的值是___． 解析：由已知得 3 2 cosα＋1 2 sinα＋sinα＝4 5 3，即 1 2 cosα＋ 3 2 sinα＝4 5 ， 得 sin(α＋π 6 )＝4 5 ，sin(α＋7 6 π)＝－sin(α＋π 6 )＝－ 4 5 .答案：－ 4 5 5．(原创题)定义运算 a b＝a2－ab－b2，则 sin π 12 cos π 12 ＝________. 解析：sin π 12 cos π 12 ＝sin2 π 12 －sin π 12 cos π 12 －cos2 π 12 ＝－(cos2 π 12 －sin2 π 12 )－ 1 2 ×2sin π 12 cos π 12 ＝－cosπ 6 － 1 2 sinπ 6 ＝－ 1＋2 3 4 .答案：－ 1＋2 3 4 6．已知α∈(π 2 ，π)，且 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 . (1)求 cosα的值；(2)若 sin(α－β)＝－ 3 5 ，β∈(π 2 ，π)，求 cosβ的值． 解：(1)因为 sinα 2 ＋cosα 2 ＝ 6 2 ，两边同时平方得 sinα＝1 2 . 又 π 2 <α<π.所以 cosα＝－ 3 2 . (2)因为 π 2 <α<π，π 2 <β<π，所以－π<－β<－π 2 ，故－ π 2 <α－β<π 2 . 又 sin(α－β)＝－ 3 5 ，得 cos(α－β)＝4 5 . cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝－ 3 2 × 4 5 ＋ 1 2 ×(－3 5 )＝－ 4 3＋3 10 . B组 1. cos2α 1＋sin2α ·1＋tanα 1－tanα 的值为________． 解析： cos2α 1＋sin2α ·1＋tanα 1－tanα ＝ cos2α－sin2α (sinα＋cosα)2 ·1＋tanα 1－tanα ＝ cosα－sinα sinα＋cosα ·1＋tanα 1－tanα ＝ 1－tanα 1＋tanα ·1＋tanα 1－tanα ＝1. 2．已知 cos(π 4 ＋x)＝3 5 ，则 sin2x－2sin2x 1－tanx 的值为________． 解析：∵cos(π 4 ＋x)＝3 5 ，∴cosx－sinx＝3 5 2， ∴1－sin2x＝18 25 ，sin2x＝ 7 25 ，∴ sin2x－2sin2x 1－tanx ＝ 2sinx(cosx－sinx) cosx－sinx cosx ＝sin2x＝ 7 25 . 3．已知 cos(α＋π 3 )＝sin(α－π 3 )，则 tanα＝________. 解析：cos(α＋π 3 )＝cosαcosπ 3 －sinαsinπ 3 ＝ 1 2 cosα－ 3 2 sinα，sin(α－π 3 ) ＝sinαcosπ 3 －cosαsinπ 3 ＝ 1 2 sinα－ 3 2 cosα， 由已知得：(1 2 ＋ 3 2 )sinα＝(1 2 ＋ 3 2 )cosα，tanα＝1. 4．设α∈(π 4 ， 3π 4 )，β∈(0，π 4 )，cos(α－π 4 )＝3 5 ，sin(3π 4 ＋β)＝ 5 13 ，则 sin(α＋β)＝________. 解析：α∈(π 4 ， 3π 4 )，α－π 4 ∈(0，π 2 )，又 cos(α－π 4 )＝3 5 ，∴sin(α－π 4 )＝4 5 . ∵β∈(0，π 4 )，∴ 3π 4 ＋β∈(3π 4 ，π)．∵sin(3π 4 ＋β)＝ 5 13 ，∴cos(3π 4 ＋β)＝－ 12 13 ， ∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π 4 )＋(3π 4 ＋β)] ＝－cos(α－π 4 )·cos(3π 4 ＋β)＋sin(α－π 4 )·sin(3π 4 ＋β)＝－ 3 5 ×(－12 13 )＋4 5 × 5 13 ＝ 56 65 ， 即 sin(α＋β)＝56 65 . 5．已知 cosα＝1 3 ，cos(α＋β)＝－ 1 3 ，且α，β∈(0，π 2 )，则 cos(α－β)的值等于________． 解析：∵α∈(0，π 2 )，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝1 3 ，∴cos2α＝2cos2α－1＝－ 7 9 ， ∴sin2α＝ 1－cos22α＝4 2 9 ，而α，β∈(0，π 2 )，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝ 1－cos2(α＋β) ＝ 2 2 3 ，∴cos(α－ β) ＝ cos[2α－ (α＋ β)] ＝ cos2αcos(α＋ β) ＋ sin2αsin(α＋β)＝(－7 9 )×(－1 3 )＋4 2 9 × 2 2 3 ＝ 23 27 . 6．已知角α在第一象限，且 cosα＝3 5 ，则 1＋ 2cos(2α－π 4 ) sin(α＋π 2 ) ＝________. 解析：∵α在第一象限，且 cosα＝3 5 ，∴sinα＝4 5 ，则 1＋ 2cos(2α－π 4 ) sin(α＋π 2 ) ＝ 1＋ 2( 2 2 cos2α＋ 2 2 sin2α) cosα ＝ 2cos2α＋2sinαcosα cosα ＝2(sinα＋cosα)＝2(4 5 ＋ 3 5 )＝14 5 . 7．已知 a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(π 2 ，π)，若 a·b＝2 5 ，则 tan(α＋π 4 ) 的值为________． 解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝2 5 ， ∴sinα＝3 5 ，又α∈(π 2 ，π)，∴cosα＝－ 4 5 ，tanα＝－ 3 4 ，∴tan(α＋π 4 )＝tanα＋1 1－tanα ＝ 1 7 . 8. tan10°tan70° tan70°－tan10°＋tan120° 的值为______． 解析：由 tan(70°－10°)＝ tan70°－tan10° 1＋tan70°·tan10° ＝ 3， 故 tan70°－tan10°＝ 3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得： tan70°tan10° 3(1＋tan70°tan10°)＋tan120° ＝ tan70°tan10° 3(1＋tan70°tan10°)－ 3 ＝ tan70°tan10° 3tan70°tan10° ＝ 3 3 . 9．已知角α的终边经过点 A(－1， 15)，则 sin(α＋π 4 ) sin2α＋cos2α＋1 的值等于________． 解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－ 1 4 ，∴ sin(α＋π 4 ) sin2α＋cos2α＋1 ＝ 2 4cosα ＝－ 2. 10．求值： cos20° sin20° ·cos10°＋ 3sin10°tan70°－2cos40°. 解：原式＝ cos20°cos10° sin20° ＋ 3sin10°sin70° cos70° －2cos40° ＝ cos20°cos10°＋ 3sin10°cos20° sin20° －2cos40° ＝ cos20°(cos10°＋ 3sin10°) sin20° －2cos40° ＝ 2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°) sin20° －2cos40° ＝ 2cos20°sin40°－2sin20°cos40° sin20° ＝2. 11．已知向量 m＝(2cosx 2 ，1)，n＝(sinx 2 ，1)(x∈R)，设函数 f(x)＝m·n－1. (1)求函数 f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为 A，B，C，若 f(A)＝ 5 13 ，f(B)＝3 5 ，求 f(C)的值． 解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cosx 2 ，1)·(sinx 2 ，1)－1＝2cosx 2 sinx 2 ＋1－1＝sinx. ∵x∈R，∴函数 f(x)的值域为[－1,1]． (2)∵f(A)＝ 5 13 ，f(B)＝3 5 ，∴sinA＝ 5 13 ，sinB＝3 5 . ∵A，B都为锐角，∴cosA＝ 1－sin2A＝12 13 ，cosB＝ 1－sin2B＝4 5 . ∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB ＝ 5 13 × 4 5 ＋ 12 13 × 3 5 ＝ 56 65 .∴f(C)的值为 56 65 . 12．已知：0<α<π 2 <β<π，cos(β－π 4 )＝1 3 ，sin(α＋β)＝4 5 . (1)求 sin2β的值；(2)求 cos(α＋π 4 )的值． 解：(1)法一：∵cos(β－π 4 )＝cosπ 4 cosβ＋sinπ 4 sinβ＝ 2 2 cosβ＋ 2 2 sinβ＝1 3 ， ∴cosβ＋sinβ＝ 2 3 ，∴1＋sin2β＝2 9 ，∴sin2β＝－ 7 9 . 法二：sin2β＝cos(π 2 －2β)＝2cos2(β－π 4 )－1＝－ 7 9 . (2)∵0<α<π 2 <β<π，∴ π 4 <β－π 4 <3π 4 ， π 2 <α＋β<3π 2 ，∴sin(β－π 4 )>0，cos(α＋β)<0. ∵cos(β－π 4 )＝1 3 ，sin(α＋β)＝4 5 ，∴sin(β－π 4 )＝2 2 3 ，cos(α＋β)＝－ 3 5 . ∴cos(α＋π 4 )＝cos[(α＋β)－(β－π 4 )]＝cos(α＋β)cos(β－π 4 )＋sin(α＋β)sin(β－π 4 ) ＝－ 3 5 × 1 3 ＋ 4 5 × 2 2 3 ＝ 8 2－3 15 . 第二节 两角和与差及二倍角的三角函数 A组 1．若 sinα＝3 5 ，α∈(－π 2 ， π 2 )，则 cos(α＋5π 4 )＝________. 解析：由于α∈(－π 2 ， π 2 )，sinα＝3 5 得 cosα＝4 5 ，由两角和与差的余弦公式得： cos(α＋5π 4 )＝－ 2 2 (cosα－sinα)＝－ 2 10 . 2．已知π<θ<3 2 π，则 1 2 ＋ 1 2 1 2 ＋ 1 2 cosθ＝________. 解析：∵π<θ<3π 2 ，∴ π 2 <θ 2 <3π 4 ， π 4 <θ 4 <3π 8 . 1 2 ＋ 1 2 1 2 ＋ 1 2 cosθ＝ 1 2 ＋ 1 2 cos2θ 2 ＝ 1 2 － 1 2 cosθ 2 ＝sinθ 4 . 3．计算： cos10°＋ 3sin10° 1－cos80° ＝________. 解析： cos10°＋ 3sin10° 1－cos80° ＝ 2cos(10°－60°) 2sin240° ＝ 2cos50° 2sin40° ＝ 2. 4．函数 y＝2cos2x＋sin2x的最小值是__________________． 解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1 ＝ 2sin(2x＋π 4 )＋1≥1－ 2. 5．函数 f(x)＝(sin2x＋ 1 2010sin2x )(cos2x＋ 1 2010cos2x )的最小值是________． 解析：f(x)＝(2010sin4x＋1)(2010cos4x＋1) 20102sin2xcos2x ＝ 20102sin4xcos4x＋2010(sin4x＋cos4x)＋1 20102sin2xcos2x ＝sin2xcos2x＋ 2011 20102sin2xcos2x － 2 2010 ≥ 2 2010 ( 2011－1)． 6．已知角α∈(π 4 ， π 2 )，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0. (1)求 tan(α＋π 4 )的值；(2)求 cos(π 3 －2α)的值． 解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0， 又α∈(π 4 ， π 2 )，∴tanα＝4 3 ，sinα＝4 5 ，cosα＝3 5 ， (1)tan(α＋π 4 )＝ tanα＋tanπ 4 1－tanαtanπ 4 ＝ 4 3 ＋1 1－4 3 ＝－7. (2)cos2α＝2cos2α－1＝－ 7 25 ，sin2α＝2sinαcosα＝24 25 ， cos(π 3 －2α)＝cosπ 3 cos2α＋sinπ 3 sin2α＝1 2 ×(－ 7 25 )＋ 3 2 × 24 25 ＝ 24 3－7 50 . B组 1．若 tan(α＋β)＝2 5 ，tan(β－π 4 )＝1 4 ，则 tan(α＋π 4 )＝_____. 解析：tan(α＋π 4 )＝tan[(α＋β)－(β－π 4 )]＝ tan(α＋β)－tan(β－π 4 ) 1＋tan(α＋β)tan(β－π 4 ) ＝ 2 5 － 1 4 1＋2 5 × 1 4 ＝ 3 22 . 2．(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα＋cosα＝0，则 1 cos2α＋sin2α 的值为________． 解析：由3sinα＋cosα＝0得 cosα＝－3sinα，则 1 cos2α＋sin2α ＝ sin2α＋cos2α cos2α＋2sinαcosα ＝ 9sin2α＋sin2α 9sin2α－6sin2α ＝ 10 3 . 3．设 a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝ 6 2 ，则 a、b、c的大小关系是 解析：a＝ 2sin59°，c＝ 2sin60°，b＝ 2sin61°，∴a1＋1 2 ＝ 3 2 ，c2＝ 3 2 ，∴a0) ． （1）若 ,1,2  dq 求 43,aa 并猜测 2006a ； （2）若 12 na 是等比数列，且 na2 是等差数列，求 dq, 满足的条件． 解：（1）  ,22,11,2,1 342321 aaaaaa 猜测 22006 a ． （2）由 nnnn aaqaa 212,122   ( ), , 0d q d R q+ ，得 dqaa nn   1212 ． 当 0d 时，显然 1212   nn qaa ， 12 na 是等比数列． 当 0d 时，因为 ,11 a 只有 112 na 时， 12 na 才是等比数列． 由 dqaa nn   1212 ，得 ,1 dq 即 0,0  qd ，或 1q d+ = ． 由 daaqaa nnnn   2212,122 得 )2(222   nqdqaa nn ． 当 )2(,1 222   ndaaq nn ，显然 na2 是等差数列， 当 1q 时， qqaa  12 ， 只有 qa n 2 时， na2 才是等差数列． 由 )( 222 daqa nn  ，得 ,1 dq 即 1,1  dqq ． 综上所述： 1q d+ = ． 19.已知一个等差数列的前 10 项和是 310，前 20 项和是 1220，试求其前 n项和。 解：由题设： 31010 S 122020 S 得：      122019020 3104510 1 1 da da       6 41 d a ∴ nnnnnSn    236 2 )1(4 第九章 平面向量 1．已知三个向量 a=(cos 1 ，sin 1 )，b=(cos 2 ，sin 2 )，c= 3(cos ，sin 3 )，满 足 0 cba ，则 a与 b的夹角为  3 2 2、．下列命题： (1)若 a 与 b 为非零向量，且 a∥b时，则 a—b 必与 a 或 b 中之一的方向相同； (2)若 e 为单位向量，且 a∥e，则 a=|a|e； (3)a·a·a=|a|3 (4)若 a 与 b 共线，又 b 与 c 共线，则 a 与 c 必共线 (5)若平面内四个点 A、B、C、D 则必有 AC+BD=BC+AD 正确的命题个数为（ D ） A、1 B、2 C、3 D、0 3、若 o 为平行四边形 ABCD 的中心， BA  =4 e 1, 122 23,6 eeeCB   则 等于 （ B ） A． OA  B． OB  C． OC  D． OD  4 、若 )2,1(),7,5(  ba  ， 且 （ ba   ） b   ， 则 实 数  的 值 为 ______ 5 19 ______. 5、已知 2||||  ba ，a与b的夹角为 3  ，则 ba  在 a上的投影为 3 。 6、在直角坐标平面上，向量 )1,4(OA ，向量 )3,2( OB ，两向量在直线 l上 的正射影长度相等，则直线 l的斜率为 2 1-3或 7、设平面向量 a =(-2,1)，b =(1, )，若 a与b的夹角为钝角，则的取值范围是 )2, 2 1() 2 1,(   。 8、．已知向量 )sin2,cos2(),2,2(),0,2(  CAOCOB ,则向量 OBOA, 的 夹角范围是 ] 12 5, 12 [  。 9、将函数 xy 2 的图象按向量  a平移后得到 62  xy 的图象，给出以下四 个命题： ①  a的坐标可以是 )0,3( ； ②  a的坐标可以是 )0,3( 和 )6,0( ； ③  a的坐标可以是 )6,0( ； ④  a的坐标可以有无数种情况。 上述说法正确的是 ①②③④ 。 10、已知 ABC 中， 5||,3||, 4 15,0,,   baSbabCAaCB ABC ，则 a与 b的 夹角为 0150 。 11、若△ABC 三边长 AB=5，BC=7，AC=8，则 BCAB  等于 5 。 12.已知 | | 4, | | 3, ,a b a b      的夹角为 120°，且 2c a b     ， 2d a kb     ，当 c d   时，k= . 13.已知 A（3，y），B（ 5 ，2），C（6， 9 ）三点共线，则 y=_________. 14. 若 a  =（1，2），b  =（ 3 ，2）， k为何值时: （1）k a  +b  与a  －3b  垂直；（2）k a  +b  与 a  －3b  平行？ 15. 已知| a  |=4，|b  |=3，（2 a  －3b  ）·（2 a  +b  ）=61，求：(i) a  与b  的夹角θ; (ii) | 2 |a b   . 16. 已知 ABC 的顶点坐标分别为 A（1,2），B（2,3），C（－2,5），求 cos A . 17. 设 a  =（sinx－1，cosx－1），b  =（ 2 2 ， 2 2 ）. （1）若 a  为单位向量，求 x的值；（2）设 f（x）= a  ·b  ，则函数 y=f（x）的图象是由 y=sinx 的图象如何 平移得到？ 18.已知 3 3(cos ,sin ), (cos , sin ) 2 2 2 2 x xa x x b     ,且 [0, ] 2 x   . （i）求 a b   及 a b   ; （ii）求函数 ( ) sinf x a b a b x        的最小值. 第十章 算法 第一节 程序框图 A组 1．(2009 年高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序，输出的结果是________． 解析：试将程序分步运行： 第一循环：S＝ 1 1－2 ＝－1，n＝2； 第二循环：S＝ 1 1－(－1) ＝ 1 2 ，n＝3； 第三循环：S＝ 1 1－1 2 ＝2，n＝4.答案：4 2．(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如果执行如图的程序框图，输入 x＝－2，h ＝0.5，那么输出的各个数的和等于________． 解析：由框图可知，当 x＝－2 时，y＝0； 当 x＝－1.5 时，y＝0；当 x＝－1 时，y＝0； 当 x＝－0.5 时，y＝0；当 x＝0 时，y＝0； 当 x＝0.5 时，y＝0.5；当 x＝1 时，y＝1； 当 x＝1.5 时，y＝1；当 x＝2 时，y＝1. ∴输出的各数之和为 3.5. 答案：3.5 3．(2009 年高考山东卷改编)执行下面的程序框图，输出的 T＝________. 第 2 题 第 3 题 解析：据框图依次为： S＝5， n＝2， T＝2， S＝10， n＝4， T＝6， S＝15， n＝6， T＝12， S＝20， n＝8， T＝20， S＝25， n＝10， T＝30， 故此时应输出 T＝30.答案：30 4．(2010 年南京市高三调研)阅读下面的流程图，若输入 a＝6，b＝1，则输出的 结果是________． 解析：a＝6，b＝1，则 x＝5>2，再次进入循环得 a＝4，b＝6，此时 x＝2， 退出循环．故输出 2.答案：2 5．(2010 年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图所示的程序框图，若输入的 n是 100，则输出的变量 S的值是多少？ 第 5 题 第 6 题 解析：由循环结构可得 S＝100＋99＋…＋3＋2＝5049. 故输出的变量 S的值为 5049.答案：5049 6．(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头 a指向①时，输出 的结果为 S＝m，当箭头 a指向②时，输出的结果为 S＝n，求 m＋n的值． 解：(1)当箭头 a指向①时，输出 S和 i的结果如下： S 0＋1 0＋2 0＋3 0＋4 0＋5 i 2 3 4 5 6 ∴S＝m＝5. (2)当箭头 a指向②时，输出 S和 i的结果如下： S 0＋1 0＋1＋2 0＋1＋2＋3 0＋1＋2＋3＋4 i 2 3 4 5 S 0＋1＋2＋3＋4＋5 i 6 ∴S＝n＝1＋2＋3＋4＋5＝15，于是 m＋n＝20. B组 1．(2010 年温州调研)如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为 s＝720， 则在判断框中应填入的关于 k的判断条件是__________． 解析：s＝10×9×8,10≥8,9≥8,8≥8，判断条件为“是”时进入循环体，7≥8 判断条件为“否”，跳出循环，输出 s.答案：k≥8 （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2．若 R＝8，则下列流程图的运行结果为___4___． 3．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的 x的值与输出的 y的值相等， 则 x的可能值的个数为________． 解析：x≤2 时，x2＝x，∴x＝0 或 x＝1；25 时， 1 x ＝x，∴x＝－1 或 x＝1(都舍去)．所以共有 3 个可取值．答案：3 4．如图，该程序运行后输出的结果为________． 解析：A＝1≤9，“是”，则 S＝0＋1，A变为 2；A＝2≤9，“是”，则 S ＝0＋1＋2，A变为 3；…；A＝9≤9，“是”，则 S＝0＋1＋…＋9，A变为 10； A＝10≤9，“否”，则输出 S＝45. 答案：45 5．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的 b值为 16，则循环体的判 断框内①处应填____． 解析：a＝1 时进入循环，此时 b＝21＝2；a＝2 时再进入循环，此时 b＝22 ＝4；a＝3 时再进入循环，此时 b＝24＝16，∴a＝4 时应跳出循环，∴循环满足 的条件为 a≤3，∴填 3. 答案：3 （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题） 6．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 M的值 是________． 解析：A＝1≤M，“是”，则 S＝2×1＋1＝3，A变为 2； A＝2≤M，“是”，则 S＝2×3＋1＝7，A变为 3； A＝3≤M，“是”，则 S＝2×7＋1＝15，A变为 4； A＝4≤M，“是”，则 S＝2×15＋1＝31，A变为 5； A＝5≤M，“是”，则 S＝2×31＋1＝63，A变为 6； A＝6≤M，“否”，则跳出循环，故填 5. 7．(2009 年高考广东卷改编)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三 分球个数如下表所示： 队员 i 1 2 3 4 5 6 三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 a6 下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则 图中判断框应填______，输出的 s＝______. (注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“＝”或“：＝”) （第 7 题） （第 8 题） 解析：由题意该程序框图实际上是求该 6 名队员在最近三场比赛中投进三分 球总数，故判断框应填 i≤6 或 i<7，输出 s为 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6. 8．(2009 年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示，则输出量 y与输入量 x满 足的关系式是________． 解析：由程序框图的条件结构知：x>1 时，y＝x－2；x≤1 时，y＝2x. 故 y＝ 2x (x≤1)， x－2 (x>1). 9．某流程如图所示，现输入如下四个函数 ①f(x)＝x2；②f(x)＝1 x ；③f(x)＝lnx；④f(x)＝sinx. 则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________. 解析：由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时，输出与输入函数必 是同一函数，分析上述四个函数，易知只有 y＝sinx满足条件．答案：④ （第 9 题） （第 10 题） 10 ．如图所示的算法中，令 a＝ tanθ， b＝ sinθ， c＝ cosθ，若在集合 θ|－ π 4 <θ<3π 4 ，θ≠0，π 4 ， π 2 中，给θ取一个值，输出的结果是 sinθ，求θ值 所在的范围． 解：由框图知，要输出 a、b、c中最大的，当θ∈(π 2 ， 3 4 π)时，sinθ最大． ∴θ值所在的范围为(π 2 ， 3 4 π)． 11．画出计算 1＋1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 9 ＋ 1 10 值的一个算法的流程图． （第 11 题） （第 12 题） 12．到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元)时，银行要收取一定的手续费．汇 款额不超过 100 元，收取 1 元手续费；超过 100 元但不超过 5000 元，按汇款 额的 1%收取；超过 5000 元，一律收取 50 元手续费．设计算法求汇款额为 x 元时，银行收取的手续费 y元，只画出流程图． 解：要计算手续费，首先要建立汇款数与手续费之间的函数关系式，依题意 知 y＝ 1 (030)＝________. 解析：P(ξ>30)＝1－P(ξ<10)－P(10≤ξ≤30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.3 5．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有 3 个这样的电子元 件，则出现至少有一个接通的概率为________． 解析：设电子元件接通记为 1，没有接通记为 0.又设 A表示“3 个电子元件 至少有一个接通”，显然 A 表示“3 个电子元件都没有接通”，Ω表示“3 个电 子元件的状态”，则Ω＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)， (1,1,1)(0,0,0)}．Ω由 8 个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的，A ＝{(0,0,0)}，事件 A 由 1 个基本事件组成，因此 P( A )＝1 8 ，∵P(A)＋P( A )＝1， ∴P(A)＝1－P( A )＝1－1 8 ＝ 7 8 .答案： 7 8 6．(2010 年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓 球队各有 10 名队员，某些队员不止参加了一支球队， 具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求： (1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率． 解：从图中可以看出，3 个球队共有 20 名队员， (1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 A，则 P(A)＝ 3＋5＋4 20 ＝ 3 5 .故随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队的概率为 3 5 . (2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 B，则 P(B) ＝1－P( B )＝1－ 2 20 ＝ 9 10 . 故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为 9 10 . B组 1．(2009 年高考安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条， 则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________． 解析：从四条线段中任取三条有 4 种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)， 其中能构成三角形的取法有 3 种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为 3 4 . 答案： 3 4 2．甲射手击中靶心的概率为 1 3 ，乙射手击中靶心的概率为 1 2 ，甲、乙两人各射击 一次，那么，甲、乙不全击中靶心的概率为________． 解析：P＝1－1 3 × 1 2 ＝ 5 6 .答案： 5 6 3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球 的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出黑球的概率是________． 解析：P＝1－0.42－0.28＝0.30.答案：0.30 4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年 卡送给同一人的概率是________． 解析：(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)， (甲、乙都送给丁)共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种． 答案： 1 2 5．(2008年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是___． 解析：基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个．故 P ＝ 3 6×6 ＝ 1 12 .答案： 1 12 6．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数 字 1、2、3、4，把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被 5 整 除的概率为________． 解析：由于正四面体各面都完全相同，故每个数字向上都是等可能的，被 5 整除的可能为(2,3)，(3,2)，(1,4)，(4,1)共 4 种，而总共有 4×4＝16(种)，故 P＝ 4 16 ＝ 1 4 .答案： 1 4 7．有一个奇数列 1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有 1 个数为 1，第二 组有 2 个数为 3、5，第三组有 3 个数为 7、9、11，…，依此类推，则从第十组 中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率为________． 解析：由已知可得前九组共有(1＋2＋3＋…＋9)＝45(个)奇数，第十组共有 10 个奇数且依次构成公差为 2 的等差数列，且第一个奇数为 a1＝1＋2×(46－1) ＝91，所以，第十组的奇数为 91,93,95,97,99,101,103,105,107,109 这十个数字， 其中恰为 3 的倍数的数有 93,99,105 三个，故所求概率为 P＝ 3 10 .答案： 3 10 8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、 6)，骰子朝上的面的点数分别为 x、y，则满足 log2xy＝1 的概率为________． 解析：由 log2xy＝1 得 y＝2x，满足条件的 x、y有 3 对，而骰子朝上的点数 x、 y共有 6×6＝36，∴概率为 3 36 ＝ 1 12 .答案： 1 12 9．(2010 年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2＋bx＋c＝0 有实根的概率为____________． 解析：一枚骰子掷两次，其基本事件总数为 36，方程有实根的充要条件为 b2≥4c. b 1 2 3 4 5 6 使 b2≥4c的基本事 件个数 0 1 2 4 6 6 由此可见，使方程有实根的基本事件个数为 1＋2＋4＋6＋6＝19，于是方程 有实根的概率为 P＝19 36 .答案： 19 36 10．如图，四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形， 若每个小三角形用 4 种不同颜色中的任一种涂染，求出现 相邻三角形均不同色的概率． 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有 44＝ 256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若 △AOB 与△COD 同色，它们共有 4 种涂法，对每一种涂法，△BOC 与△AOD 各有 3 种涂法，所以此时共有 4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同 色，它们共有 4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有 2 种涂法， 所以此时有 4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率 P＝36＋48 256 ＝ 21 64 . 11．在数学考试中，小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0.18，在 80～89 分的概 率是 0.51，在 70～79 分的概率是 0.15，在 60～69 分的概率是 0.09，计算小明在 数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率和小明考试不及格(低于 60 分)的概率． 解：设小明的数学考试成绩在 90 分及以上，在 80～89 分，在 70～79 分， 在 60～69 分分别为事件 B，C，D，E，这 4 个事件是彼此互斥的． 根据互斥事件的加法公式，小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P(B＋C) ＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69. 小明考试及格的概率，即成绩在 60 分及以上的概率为 P(B＋C＋D＋E)＝P(B) ＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件，所以小明考试不及格的概 率为 1－P(B＋C＋D＋E)＝1－0.93＝0.07. 12．盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回地从中任取 2 次，每次 只取 1 只，试求下列事件的概率：(1)取到的 2 只都是次品；(2)取到的 2 只中正 品、次品各 1 只；(3)取到的 2 只中至少有 1 只正品． 解：从 6 只灯泡中有放回地任取 2 次，每次只取 1 只，共有 62＝36(种)不同 取法． (1)取到的 2 只都是次品的情况有 22＝4(种)，因而所求概率为 P＝ 4 36 ＝ 1 9 . (2)由于取到的 2 只中正品、次品各 1 只有 2 种可能：第一次取到正品，第 二次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品，所以所求的概率为 P＝4×2 36 ＋ 2×4 36 ＝ 4 9 . (3)由于“取到的 2 只中至少有 1 只正品”是事件“取到的 2 只都是次品” 的对立事件，因而所求的概率为 P＝1－1 9 ＝ 8 9 . 第二节 概率的应用 A组 1．在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数 字外完全相同．现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________． 解析：当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有{1,2}一种取法；当取出的 小球标注的数字之和为 6 时，有{1,5}，{2,4}两种取法，所以符合条件的取法种 数为 3 种，而所有的取法有 10 种，故所求的概率为 3 10 .答案： 3 10 2．已知 k∈Z，AB→＝(k,1)，AC→＝(2,4)，若|A B→|≤4，则△ABC是直角三角形的概 率为________． 解析：|A B→|≤4，k2＋1≤16，k2≤15，k＝－3，－2，－1,0,1,2,3. BC→＝(2－k,3)．若 A B→·BC→＝－k2＋2k＋3＝0，则 k＝－1，k＝3；若 BC→·AC→ ＝0，则 k＝8(舍)；若 A B→·AC→＝0，则 k＝－2.故 P＝3 7 .答案： 3 7 3．(2010 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1,2,4,7 的 4 张卡片，乙盒子里 装有分别标有数字 1,4 的 2 张卡片．若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片，则 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是________． 解析：数字之和为奇数的有(1,4)，(2,1)，(4,1)，(7,4)共 4 种情形，而从两个 盒子中各抽取一张卡片共有 8 种情况，所以所求概率为 1 2 .答案： 1 2 4． (2009 年高考江苏卷 )现有 5 根竹竿，它们的长度 (单位：m)分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________． 解析：在 5 个长度中一次随机抽取 2 个，则有(2.5,2.6)，(2.5，2.7)，(2.5,2.8)， (2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)，共 10 种 情况．满足长度恰好相差 0.3 m 的基本事件有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)，共 2 种情况， 所以它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为 P＝ 2 10 ＝ 1 5 .答案： 1 5 5．(原创题)连掷两次骰子分别得到点数 m，n，向量 a＝(m，n)，b＝(－1,1)，若 在△ABC中，A B→与 a同向，C B→与 b反向，则∠ABC是钝角的概率是________． 解析：要使∠ABC是钝角，必须满足 A B→·C B→<0，即 a·b＝n－m>0.连掷两 次骰子所得点数 m，n共有 36 种情形，其中 15 种满足条件，故所求概率是 5 12 . 6．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个，除颜色外其他特征完全相同， 已知蓝色球 3 个．若从袋子中随机取出 1 个球，取到红色球的概率是 1 6 . (1)求红色球的个数； (2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将 1 号红色球，1 号白色球，2 号 蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各 取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙大的概率． 解：(1)设红色球有 x个，依题意得 x 24 ＝ 1 6 ，解得 x＝4，∴红色球有 4 个． (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A，所有的基本事件有(红 1， 白 1)，(红 1，蓝 2)，(红 1，蓝 3)，(白 1，红 1)，(白 1，蓝 2)，(白 1，蓝 3)， (蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 2，蓝 3)，(蓝 3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3， 蓝 2)，共 12 个．事件 A 包含的基本事件有(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 3， 红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 5 个，所以 P(A)＝ 5 12 . B组 1．(2009 年高考浙江卷)有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k， k＋1，其中 k＝0,1,2，…，19.从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两 个数的各位数字之和(例如：若取到标有 9,10 的卡片，则卡片上两个数的各位数 字之和为 9＋1＋0＝10)不小于 14”为 A，则 P(A)＝________. 解析：对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种情况： (7,8)、(8,9)、(16,17)、(17,18)、(18,19)，而基本事件有 20 种，因此 P(A)＝1 4 . 答案： 1 4 2．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，则按此规律第 100 个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中， 则豆子落在白色地砖上的概率是________． 解析：白色地砖构成等差数列：8,13,18，…，5n＋3，… ∴an＝5n＋3，a100＝503，第 100 个图形中有地砖 503＋100＝603，故所求概 率 P＝503 603 .答案：503 503 603 3．设集合 A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合 A和 B中随机取一个数 a和 b，确 定平面上的一个点 P(a，b)，记“点 P(a，b)落在直线 x＋y＝n 上”为事件 Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件 Cn的概率最大，则 n的所有可能值为________． 解析：分别从 A和 B中各取 1 个数，一共有 6 种等可能的取法，点 P(a，b) 恰好落在直线 x＋y＝2 上的取法只有 1 种：(1,1)；恰好落在直线 x＋y＝3 上的取 法有 2 种：(1,2)，(2,1)；恰好落在直线 x＋y＝4 上的取法也有 2 种：(1,3)，(2,2)； 恰好落在直线 x＋y＝5 上的取法只有 1 种：(2,3)，故事件 Cn的概率分别为 1 6 ， 1 3 ， 1 3 ， 1 6 (n＝2,3,4,5)，故当 n＝3 或 4 时概率最大．答案：3 和 4 4．先后从分别标有数字 1,2,3,4 的 4 个大小、形状完全相同的球中，有放回地随 机抽取 2 个球，则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________． 解析：基本事件共有 4×4＝16 个，其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)， 共 10 种，所以所求概率为 10 16 ＝ 5 8 .答案： 5 8 5．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二 次出现的点数为 b，向量 m＝(a，b)，n＝(1，－2)，则向量 m与向量 n垂直的概 率是________． 解析：显然 m·n＝a－2b＝0，所有可能的结果为(a，b)＝(2,1)、(4,2)、(6,3)．基 本事件总数为 36，则概率为 1 12 .答案： 1 12 6.(2010 年南京高三调研)如图，将一个体积为 27 cm3 的正 方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为 1 cm3小正方体， 从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率 是 . 解析：据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是 大正方体的各条棱的中点时满足条件．正方体共 12 条棱， 所以两面涂色的小正方体有 12 个，而所有小正方体有 27 个，所以，所求的概率 为 P＝12 27 ＝ 4 9 .答案： 4 9 7．集合 A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在 A中任取一元素 m和在 B中任取一 元素 n，则所取两数 m>n的概率是________． 解析：基本事件总数为 25 个．m＝2 时，n＝1；m＝4 时，n＝1,3；m＝6 时， n＝1,3,5；m＝8 时，n＝1,3,5,7；m＝10 时，n＝1,3,5,7,9；共 15 个．故 P＝15 25 ＝ 0.6.答案：0.6 8．集合 A＝{(x，y)|y≥|x－1|}，集合 B＝{(x，y)|y≤－ x＋5}．先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作 a，掷第二颗骰子得点数记作 b，则(a，b)∈A∩B 的概 率等于 . 解析：如图：满足(a，b)∈(A∩B)的(a，b)值共有 8 个，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)， (3,2)．∴P＝ 8 6×6 ＝ 2 9 .答案： 2 9 9．(2010 年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2，|y|≤2，点 P 的坐标为(x，y)，则当 x，y∈Z 时，P 满足(x－2)2 ＋(y－2)2≤4 的概率为________． 解析：由|x|≤2，|y|≤2，x、y∈Z，则基本事件 总数为 n＝25，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，∴满足 条件的整点有(0,2)，(1,2)，(2,2)，(1,1)，(2,1)，(2,0)6 个，故 P＝ 6 25 .答案： 6 25 10．(2010 年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体，六个面上 分别为 1,2,3,4,5,6 点)，所得点数分别为 x，y. (1)求 x0}，在集合 A中任取 一个元素 x ，则事件“x∈A∩B”的概率是________． 解析：由题意得 A＝{x|－1 2R，此时∠N1ON2 ＝180°，故所求的概率为 180° 360° ＝ 1 2 . 答案： 1 2 7．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}， 若向区域Ω内随机投一点 P，则点 P落入区域 E的概率为________． 解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB边 界及其内部的部分，区域 E表示的平面区域为△COD 边界及其内部的部分，所以点 P落入区域 E的概率为 S△COD S△AOB ＝ 1 2 ×2×4 1 2 ×6×6 ＝ 2 9 .答案： 2 9 8．已知函数 f(x)＝－x2＋ax－b.若 a、b都是从区间[0,4]任取的一个数，则 f(1)＞ 0 成立的概率是________． 解析：f(1)＝－1＋a－b＞0，即 a－b＞1，如图： A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝ 9 2 ，P＝S△ABC S 矩 ＝ 9 2 4×4 ＝ 9 32 .答案： 9 32 9．在区间[0,1]上任意取两个实数 a，b，则函数 f(x)＝1 2 x3＋ax－b在区间[－1,1] 上有且仅有一个零点的概率为________． 解析：f′(x)＝3 2 x2＋a，故 f(x)在 x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数 f(x)＝1 2 x3 ＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有 f(－1)·f(1)<0 成立，即(－1 2 －a－b)(1 2 ＋ a－ b)<0 ， 则 ( 1 2 ＋ a＋ b)( 1 2 ＋ a－ b)>0 ， 可 化 为 0≤a≤1 0≤b≤1 1 2 ＋a－b>0 1 2 ＋a＋b>0 或 0≤a≤1 0≤b≤1 1 2 ＋a－b<0， 1 2 ＋a＋b<0 由线性规划知识在平面直角坐标系 aOb中画出这两个不等 式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数 f(x)＝1 2 x3＋ax－b在[－1,1] 上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线 a＝0，a＝1，b＝0，b＝1 围成的正方形的面积，计算可得面积之比为 7 8 .答案： 7 8 10．设不等式组 0≤x≤6 0≤y≤6 表示区域为 A，不等式组 0≤x≤6 x－y≥0 表示的区域为 B. (1)在区域 A中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B的概率； (2)若 x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域 B中的概率． 解：(1)设集合 A中的点(x，y)∈B为事件 M，区域 A的面积为 S1＝36，区域 B的面积为 S2＝18，∴P(M)＝S2 S1 ＝ 18 36 ＝ 1 2 . (2)设点(x，y)在区域 B为事件 N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y) 的个数为 36 个，其中在区域 B中的点(x，y)有 21 个，故 P(N)＝21 36 ＝ 7 12 . 11．(2010 年江苏南通模拟)已知集合 A＝{x|－1≤x≤0}，集合 B＝{x|ax＋b·2x－1 ＜0,0≤a≤2,1≤b≤3}． (1)若 a，b∈N，求 A∩B≠∅的概率；(2)若 a，b∈R，求 A∩B＝∅的概率． 解：(1)因为 a，b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)， (2,1)，(2,2)，(2,3)共 9 组． 令函数 f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则 f′(x)＝a＋bln2·2x. 因为 a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以 f′(x)＞0，即 f(x)在[－1,0]上是单调递增函数． f(x)在[－1,0]上的最小值为－a＋b 2 －1.要使 A∩B≠∅，只需－a＋b 2 －1＜0， 即 2a－b＋2＞0.所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)， (1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)7 组．所以 A∩B≠∅的 概率为 7 9 . (2)因为 a∈[0,2]，b∈[1,3]， 所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)， 面积为 4. 由(1)可知，要使 A∩B＝∅， 只需 f(x)min＝－a＋b 2 －1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足 A∩B＝∅的(a，b)对应 的区域是如图阴影部分． 所以 S 阴影＝ 1 2 ×1×1 2 ＝ 1 4 ，所以 A∩B＝∅的概率为 P＝ 1 4 4 ＝ 1 16 . 12．将长为 1 的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过 a(1 3 ≤a≤1)的概率． 解：设第一段的长度为 x，第二段的长度为 y， 第三段的长度为 1－x－y， 则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x ＋y＜1}，此区域面积为 1 2 . 事件“三段的长度都不超过 a(1 3 ≤a≤1)”所对应的几何区域可表示为 A＝ {(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a,1－x－y＜a}． 即图中六边形区域，此区域面积：当 1 3 ≤a≤1 2 时， 为 (3a－ 1)2/2 ，此时事件“三段的长度都不超过 a(1 3 ≤a≤1)”的概率为 P＝(3a－1)2/2 1/2 ＝(3a－1)2； 当 1 2 ≤a≤1 时，为 1 2 － 3(1－a)2 2 .此时事件“三段的长 度都不超过 a(1 3 ≤a≤1)”的概率为 P＝1－3(1－a)2. 第十二章 导数 1、函数 )(xfy  是定义在 R 上的可导函数，则 0)( 0 / xf 是函数在 0xx  时取得极 值的________条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 2、函数 )(xfy  是定义在 R 上的可导函数，则 )(xfy  为 R 上的单调增函数是 0)(/ xf 的________条件 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 3、已知 ]2,2[,(62)( 23  在为常数）mmxxxf 上有最大值为 3，那么此函数在 [－2，2]上的最小值为 A、－37 B、－29 C、－5 D、－11 4、若函数 axxxf  3)( 3 的最小值为恒成立，则上时，当 mnnxfmx  )(]3,0[ A、2 B、4 C、18 D、20 5、方程 内根的个数为在 )2,0(0762 23  xx A、0 B、1 C、2 D、3 6、若函数 的取值范围为有三个单调区间，则bbxxy  3 3 4 0 0 0 0  bDbCbBbA 、、、、  7、函数 的值为，则的极大值为 632)( 23 aaxxxf  A、0 B、1 C、5 D、6 8、曲线 的距离的最小值为上的点到直线 12 4  xyxy 16 25 3 2 2 2 2 、、、、 DCBA 9、已知曲线 6xy  上一点 P 处的切线与直线 3 6 1  xy 垂直，则此切线方程为 A、 056  yx B、 056  yx C、 056  yx D、 056  yx 10、设点 P是 3 23 3  xxy 上的任一点，P点处的切线倾斜角为α，则角α的取 值范围为 A、 ),[),0[ 3 2 2   B、 ),[),0[ 6 5 2   C、 ),[ 3 2  D、 ),( 6 5 2  11、 )()( / xfxfy 导函数函数  的图像如图（1）所示，则 )(xfy  的图像最有可能的 是 图（1） A B C D 12、已知 )0()1(2)( //2 fxfxxf ，则 等于 A、0 B、－4 C、－2 D、2 13、已知函数 6 2/   baxyxay ba ，则，的导数为 ； 14 、 若 函 数 mmmxxxf 则上的最小值为在区间 ,2]2,1[3)( 223  的 值 为 ； 15、若直线 axxxyxy  23 3是曲线 的切线，则 a ； 16、函数 ),3(4 3 1)( 23  在axxxf 上是增函数，则实数 a 的取值范围 为 ； y O 21 x y O 2 1 x y O 21 x y O 2 1 x y O 21 x 17 、 若 函 数 ),2()2,1(2)( 2 123 3 242  kxkxxxkxf 则上单调递增，上单调递减，在在 ； 18、已知曲线 xqxpxxys 的图像与 23: 轴相切于不同于原点的一点，又函数有 极小值为－4，求 p、q 的值。 19、设函数 轴的图像与ydcxbxaxxfy  23)( 交于点 P，若过 P 的切线方程为 01224  yx ，且当 x=2 时，函数 )(xf 取极值－16，试求 )(xf 的解析式，并 求这个函数的单调递减区间。 20、已知函数 )(1)( 23 Raaxxxf  .（1）若函数 )(xfy  在区间 ),0( 3 2 上递增， 在区间 ),[ 3 2  上递减，求实数 a的值；（2）当 ]1,0[x 时，设函数 )(xfy  图 像上任意一点处的切线的倾斜角为 ，若给定常数 3 2(a ，＋ ) ，求 的取 值范围。 O y x32 1 . .. 第十三章 不等式 1 、 若 )(xf 为 R 上 的 减 函 数 ， 且 QxPxxfxQtxfxPff  是若＜＜设 },1)(|{},2|1)(|{,1)3(,3)0( 的充分 不必要条件，则实数 t 的取值范围为 ( ) A、t≤0 B、t≥0 C、t≤－3 D、t≥－3 2、已知 aBAaxBaxxAa x 则实数若＞＜，集合＞ ,},1|{},|2||{0  的取值范围为 A、 ),2(  B（0,1） C、（0,1） ),2(  D、（0,1） ),1(  3、已知奇函数 的解集为则不等式上单调递减，且在 0)1()1(,0)2()0,()(  xfxfxf        213| 303| 3111| 13|  xxxDxxxCxxxBxxA 或、或、或、、  4、 )(xf 是定义在（0，3）上的函数， )(xf 的图象如图所示，则不等式 0cos)( xxf 的解集 是 A．（0，1） （2，3）B． )3, 2 () 2 ,1(   C．（0，1） )3, 2 ( D．（0，1）（1，3） 5、函数 )(xf 在（－1，1）上有定义且 aafafxxxf 时＞当 0)1()1(,)( 23  的取值 范围为 A、（－2，1） B、（0， 2 ） C、（0，1） D、（－2， 2 ） 6、已知函数 |log|)( 3 xxf  ，若 )5.3()( fxf  ，则 x的取值范围为 A、 ） 2 7,1() 7 2,0(  B、 ), 2 7(  C、 ), 2 7() 7 2,0(  D、 ) 2 7, 7 2( 7、设奇函数 )(xf 在[－1，1]上是增函数，且 1)1( f ，若函数 12)( 2  attxf 对 所有的 ]1,1[x 都成立，当 ]1,1[a 时 t 的取值范围为 A、[-2,2] B、 ],[ 2 1 2 1 C、 }0{),2]]2,(  D、 }0{)[],( 2 1 2 1  8、设点       ),( 2 0,0 ),( baba yx yx ba 内，则点在区域 所在的区域的面积为 A、1 B、2 C、4 D、8 9、在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）， 目标函数 ayxz  取得最优解有无数个，则 a的一个可能值为 A、－3 B、3 D、－1 D、1 10、若关于 x不等式 ))0,((2|| 2  aaaxx 的解集为 ； 11 、 若 关 于 x 不 等 式 00)0(0 22  abxcxxacbxax  ，则不等式，其中的解集为  的 解集为 ； 12、若关于 x不等式 aaxx ，则的解集为＜  |1||2| 的取值范围是 ]3,( ，若 此不等式有解，则 a的取值范围是 ),3(  13 、 )()( xgxf 、 为 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 ， 不 等 式 222 0),(0)(),(0)( nnm mxgnmxf  ，其中的解集为，的解集为 ，则 不等式 0)()( xgxf  的解集为 ； 14、已知关于 x 的不等式 的则实数且，的解集为＜ aMMM ax ax ,5305 22    取值范围 为 ； 15、不等式 0124  axx 对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围 为 ； 16、已知 myxRyx yx   41,4, 则使不等式且 恒成立的实数 m 的取值范围 为 ； 17、关于 x的方程 022  baxx 的两根分别在区间（0,1）与(1,2)，则 1 2   a b 的取值 范围为 ； 18、设 xyxyyxRyx 1,1,   则且 的最小值为 ； C(4, B(5, a(1, y x O 19、设 22 4 12 1,1, yxyxRyx   则且 的最大值为 ； 20、设 ；的最小值为，则 0 )( 162 bababa   21、解关于 x的不等式 11 x ax 22.若 a,b∈R,求证： ba ba   1 ≤ a a 1 + b b 1 . 证明 当|a+b|=0 时，不等式显然成立. 当|a+b|≠0 时，由 0＜|a+b|≤|a|+|b| ba  1 ≥ ba  1 , 所以 ba ba   1 = 11 1   ba ≤ ba   11 1 = ba ba   1 ≤ a a 1 + b b 1 . 23. （2008·苏中三市调研）已知 x、y、z均为正数. 求证： xy z zx y yz x  ≥ x 1 + y 1 + z 1 . 证明 因为 x,y,z全为正数. 所以 zzx y yz x 1  ( y x + x y )≥ z 2 , 同理可得 xy z zx y  ≥ x 2 , yz x xy z  ≥ y 2 , 当且仅当 x=y=z时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2, 得 xy z zx y yz x  ≥ x 1 + y 1 + z 1 . 24. 已知 x1,x2,…,xn都是正数，且 x1+x2+…+xn=1,求证： 1 1 x + 2 1 x +… + nx 1 ≥n2. 证明 1 1 x + 2 1 x +…+ nx 1 =(x1+x2+…+xn)（ 1 1 x + 2 1 x +…+ nx 1 ） ≥ 2 2 2 1 1 111          n n x x x x x x  =n2. 第十四章 立体几何 第一节 简单几何体 A组 1．下列命题中，不正确的是______． ①棱长都相等的长方体是正方体 ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 ③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 ④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直 于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，若两 侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．答案：③ 2．(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、 下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平， 得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是________． 解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最 里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为 北．答案：北 3．(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD，下列命题正确的是________．(写出 所有正确命题的编号)． ①相对棱 AB与 CD所在的直线是异面直线； ②由顶点 A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点； ③若分别作△ABC和△ABD的边 AB上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积； ⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点． 解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点； ③中如果 AB与 CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤ 4．下列三个命题，其中正确的有________个． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平 行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面 都是等腰梯形的六面体是棱台． 解析：①中的平面不一定与底面平行，②③可用反例图去验证．答案：0 5．下面命题正确的有________个． ①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱 ②过圆锥侧面上一点有无数条母线 ③三棱锥的每个面都可以作为底面 ④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形 解析：①②错，③④正确．①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所 在的直线；②两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面 上一点只有一条母线．答案：2 6.如图所示，长方体的长、宽、高分别为 4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从 A 到 C1 点沿着表面爬行的最短距离是多少？ 解：长方体 ABCD－A1B1C1D1 的表面可如下图三种方法展开后，A、C1两点 间的距离分别为： (5＋4)2＋32＝3 10， (5＋3)2＋42＝4 5， (3＋4)2＋52＝ 74，三者比较得 74是从点 A沿表面到 C1的最短距离，∴最短距离是 74 cm. B 组 1．(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD，下列命题正确的是________． ①相对棱 AB与 CD所在的直线是异面直线； ②由顶点 A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点； ③若分别作△ABC和△ABD的边 AB上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； ⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点． 解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点； ③中如果 AB与 CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤ 2．下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥． ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥 是正三棱锥． 其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号) 解析：对于①，设四面体为 D－ABC，过棱锥顶点 D作底面的垂线 DE，过 E分别作 AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为 F，G，H，连结 DF，DG，DH， 则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以∠DFE＝∠DGE ＝∠DHE，于是有 FE＝EG＝EH，DF＝DG＝DH，故 E为△ABC的内心，又因 △ABC 为 等 边 三 角 形 ， 所 以 F ， G ， H 为 各 边 的 中 点 ， 所 以 △AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故 DA＝DB＝DC，故棱锥为正三 棱锥．所以为真命题．对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所 以为假命题．对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可， 所以为假命题．对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结 合①知底面应为正三角形，所以为真命题．综上，①④为真命题．答案：①④ 3.关于如图所示几何体的正确说法为________． ①这是一个六面体 ②这是一个四棱台 ③这是一个四棱柱 ④这是一个四棱柱和三棱柱的 组合体 ⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱 答案：①②③④⑤ 4．(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD，下列命题正确 的是________． ①相对棱 AB与 CD所在的直线是异面直线； ②由顶点 A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点； ③若分别作△ABC和△ABD的边 AB上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； ⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点． 解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD的三条高线的交点； ③中如果 AB与 CD垂直，则两条高的垂足重合．答案：①④⑤ 5．给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一 边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其 中说法正确的是__________． 解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若 侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题② 不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一 周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一 周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥；命 题③是真命题，如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底 面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，则可以得到四个 侧面都是直角三角形．故填③. 答案：③ 6．下列结论正确的是 ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的 几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：①错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的 几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥． ②错误．如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋 转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥． ③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图 形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长． ④正确．答案：④ 7．过半径为 2 的球 O表面上一点 A作球 O的截面，若 OA与该截面所成的角是 60°，则该截面的面积是________． 解析：设截面的圆心为 O′，由题意得：∠OAO′＝60°，O′A＝1，S＝π·12 ＝π.答案：π 8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它 的腰，以下四个命题中，假命题是________． ①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO= ∠SBO=∠SCO=∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成 的角相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的 二面角相等或互补不一定成立；③如图，由 SA=SB=SC=SD 得 OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的 底面四边形存在外接圆，正确；④等腰四棱锥各顶点 在同一个球面上，正确．故选②.答案：② 9．(2008 年高考江西卷)如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部 镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a升水时，水面恰好经过正四 棱锥的顶点 P.如果将容器倒置，水面也恰好过点 P(图(2)) 有下列四个命题： A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 P D．若往容器内再注入 a升水，则容器恰好能装满． 其中真命题的代号是：______(写出所有真命题的代号)． 解析：设正四棱柱底面边长为 b，高为 h1，正四棱锥高为 h2，则原题图(1) 中水的体积为 b2h2－ 1 3 b2h2＝ 2 3 b2h2， 图(2)中水的体积为 b2h1－b2h2＝b2(h1－h2)， 所以 2 3 b2h2＝b2(h1－h2)，所以 h1＝ 5 3 h2，故 A 错误，D 正确． 对于 B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空 间的一半，所以水面也恰好经过 P点，故 B 正确．对于 C，假设 C 正确，当水 面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为 25 36 b2h2> 2 3 b2h2，矛盾，故 C 不正确．答案：BD 10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为 正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相 等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1，h2，h3，求 h1∶h2∶h3的值． 解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设 为 a，h2＝h3，h1＝ a2－( 2 2 a)2＝ 2 2 a，h2＝ a2－( 3 3 a)2＝ 6 3 a， 故 h1∶h2∶h3＝ 3∶2∶2. 11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱 柱的底面边长为 2，求该三角形的斜边长． 解：如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1中，△ABC为正三 角形，边长为 2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边， 设 DF长为 x，则 DE＝EF＝ 2 2 x，作 DG⊥BB1，HG⊥CC1， EI⊥CC1， 则 EG＝ DE2－DG2＝ x2 2 －4，FI＝ EF2－EI2＝ x2 2 －4，FH＝FI＋HI＝FI＋EG＝2 x2 2 －4，在 Rt△DHF 中，DF2＝DH2＋FH2，即 x2＝4＋(2 x2 2 －4))2，解得 x＝2 3.即该三角形的斜边 长为 2 3. 12．(2009 年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬 60°纬线 长和赤道线长的比值． 解：设地球的半径为 R，那么对应的赤道线的大圆的半径为 R，而对应的北 纬 60°纬线所在的小圆的半径为 1 2 R，那么它们对应的长度之比为 1 2 R∶R＝1 2 . 即所求比值为 1 2 . 第二节 空间图形的基本关系与公理 A 组 1．以下四个命题中，正确命题的个数是________． ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A、B、C、D共面，点 A、B、C、E共面，则 A、B、C、D、E共面； ③若直线 a、b共面，直线 a、c共面，则直线 b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点 A、 B、C，但是若 A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性； ④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1 2．给出下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l； ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中真命题的个数为________． 解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：1 3．(2009 年高考湖南卷改编)平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，既与 AB共面也与 CC1共面的棱的条数为________． 解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得 CD、BC、BB1、 AA1、C1D1 符合条件．答案：5 4．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P、Q、R分别是 AB、AD、B1C1 的中点．那么， 正方体的过 P、Q、R的截面图形是________． 解析：边长是正方体棱长的 2 2 倍的正六边形．答案：正六边形 5．(原创题)已知直线 m、n及平面α，其中 m∥n，那么平面α内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其 中正确的是________． 解析：如图 1，当直线 m或直线 n在平面α内且 m、n所在平面与α垂直时不 可能有符合题意的点；如图 2，直线 m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在 平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图 3，直线 m、n所在 平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线． 答案：(1)(2)(4) 6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD， l共点(相交于一点)． 证明：∵梯形 ABCD中，AD∥BC，∴AB， CD是梯形 ABCD的两腰， ∴AB，CD 必定相交于一点． 如图，设 AB∩CD=M. 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，且 M∈β， ∴M∈α∩β. 又∵α∩β=l，∴M∈l， 即 AB，CD，l 共点 B 组 1．有以下三个命题： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线 l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示； ③若平面α内的一条直线 a与平面β内的一条直线 b相交，则α与β相交，其中 所有正确命题的序号是______________． 解析：表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示，故②错误．答案：①③ 2．(2010 年黄冈调研)下列命题中正确的是________． ①若△ABC在平面α 外，它的三条边所在的直线分别交α于 P、Q、R，则 P、Q、R三点共线；②若三条直线 a、b、c互相平行且分别交直线 l于 A、B、C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面． 解析：在①中，因为 P、Q、R三点既在平面 ABC上，又在平面α上，所以 这三点必在平面 ABC与α的交线上，即 P、Q、R三点共线，故①正确；在②中， 因为 a∥b，所以 a与 b确定一个平面α，而 l上有 A、B两点在该平面上，所以 l ⊂α，即 a、b、l三线共面于α；同理 a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β 有两条公共的直线 a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不 妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定 7 个平面，故③错．答案：①② 3．对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点 ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有：________. 解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面， 第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直 线共面．答案：①④ 4．(2008 年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线 a与 b，必存在平面α，使 得________． ①a⊂α，b⊂α ②a⊂α，b∥α ③a⊥α，b⊥α ④a⊂α，b⊥α 解析：不相交的直线 a、b的位置有两种：平行或异面．当 a、b异面时，不 存在平面α满足①、③；又只有当 a⊥b时④才成立．答案：② 5．正方体 AC1 中，E、F分别是线段 C1D、BC的中点，则直线 A1B与直线 EF 的位置关系是________． 解析：直线 AB与直线外一点 E确定的平面为 A1BCD1，EF⊂平面 A1BCD1， 且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交 6．(2010 年湖南郴州调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出 下列四个命题： ①若α⊥β，l⊥β，则 l∥α； ②若 l⊥α，l∥β，则α⊥β； ③若 l上有两点到α的距离相等，则 l∥α； ④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是________． 解析：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ＝n⇒l∥n⇒n⊥α， 则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④正确．故填②④.答案：②④ 7．(2009 年高考广东卷改编)给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平 面也不垂直． 其中，为真命题的是________． 解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面， 故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线 的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一 个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：②④ 8．(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如图所示， 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上 有两个动点 E，F，且 EF＝ 2 2 ，则下列结论中错误 的是________． ①AC⊥BE ②EF∥平面 ABCD ③三棱锥 A－BEF的体积为定值 ④异面直线 AE，BF所成的角为定值 解析：∵AC⊥平面 BB1D1D，又 BE⊂平面 BB1D1D， ∴AC⊥BE.故①正确． ∵B1D1∥平面 ABCD，又 E、F在直线 D1B1上运动， ∴EF∥平面 ABCD.故②正确． ③中由于点 B到直线 B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点 A到 平面 BEF的距离为 2 2 ，故 VA－BEF为定值． 当点 E在 D1处，F为 D1B1的中点时， 建立空间直角坐标系，如图所示，可得 A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)， F 1 2 ， 1 2 ，1 .∴A E→＝(0，－1,1)，B F→＝(1 2 ，－ 1 2 ，1)， ∴A E→·B F→＝ 3 2 .又|AE→ |＝ 2，|BF→ |＝ 6 2 ，∴cos〈A E→，B F→〉＝ 3 2 2· 6 2 ＝ 3 2 ， ∴AE与 BF成 30°角．当 E为 D1B1中点，F在 B1 处时， 此时 E 1 2 ， 1 2 ，1 ，F(0,1,1)，∴A E→＝ － 1 2 ，－ 1 2 ，1 ，B F→＝(0,0,1)， ∴A E→·B F→＝1，|A E→|＝ 3 2 ，∴cos〈A E→，B F→〉＝ 2 3 ＝ 6 3 ≠ 3 2 .故④错． 答案：④ 9.(2008 年高考陕西卷改编)如图，α⊥β，α∩β=l，A ∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、 β所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影分别是 m 和 n.若 a＞b，则θ与φ的大小关系为______，m与 n的 大小关系为______. 解析：AB与β成的角为∠ABC＝φ， AB与α成的角为∠BAD＝θ， sin φ＝sin∠ABC＝ a |AB| ， sinθ＝sin∠BAD＝ b |AB| . ∵a>b，∴sinφ>sinθ.∴θ<φ. AB在α内的射影 AD＝ AB2－b2， AB在β内的射影 BC＝ AB2－a2， ∴AD.BC，即 m>n. 答案：θ＜φ m＞n 10．如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q，若 A1C交平面 DBFE于 R点，试确定 R点的 位置． 解：在正方体 AC1 中，连结 PQ， ∵Q∈A1C1，∴Q∈平面 A1C1CA.又 Q∈EF， ∴Q∈平面 BDEF，即 Q是平面 A1C1CA与平 面 BDEF的公共点， 同理，P也是平面 A1C1CA与平面 BDEF的公 共点． ∴平面 A1C1CA∩平面 BDEF＝PQ. 又 A1C∩平面 BDEF＝R， ∴R∈A1C， ∴R∈平面 A1C1CA， R∈平面 BDEF. ∴R是 A1C与 PQ的交点．如图． 11．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中，M为 AB的中点，N为 BB1 的中点，O 为平面 BCC1B1 的中心． (1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只 写作法，不必证明)； (2)求 PQ的长． 解：(1)连结 ON，由 ON∥AD知，AD与 ON确 定一个平面α.又 O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)． ∵三个平面α，β和 ABCD两两相交，有三条 交线 OP、CM、DA，其中交线 DA与交线 CM不 平行且共面． ∴DA与 CM必相交，记交点为 Q，∴OQ是α 与β的交线． 连结 OQ与 AN交于 P，与 CM交于 Q， 故直线 OPQ即为所求作的直线． (2)在Rt△APQ中，易知 AQ＝1，又易知△APQ ∽△OPN， ∴ AP PN ＝ AQ NO ＝2，AN＝ 5 2 ，∴AP＝ 5 3 ， ∴PQ＝ AQ2＋AP2＝ 14 3 . 12．(2008 年高考四川卷)如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF与 ABCD都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB＝90°，BC綊 1 2 AD，BE綊 1 2 FA，G、H分别为 FA、FD的中点． (1)证明：四边形 BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (3)设 AB＝BE，证明：平面 ADE⊥平面 CDE. 解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD， 所以 GH綊 1 2 AD.又 BC綊 1 2 AD，故 GH綊 BC.所以四边形 BCHG是平行四边形． (2)C、D、F、E四点共面．理由如下： 由 BE綊 1 2 AF，G是 FA的中点知，BE綊 GF，所 以 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH，故 EC、FH共面． 又点 D在直线 FH上，所以 C、D、F、E四点共面． (3)证明：连结 EG.由 AB＝BE，BE綊 AG及∠BAG＝90°知 ABEG是正方形， 故 BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故 AD⊥平面 FABE， 因此 EA是 ED在平面 FABE内的射影．根据三垂线定理，BG⊥ED. 又 ED∩EA＝E，所以 BG⊥平面 ADE. 由(1)知，CH∥BG，所以 CH⊥平面 ADE. 由(2)知 F∈平面 CDE，故 CH⊂平面 CDE，得平面 ADE⊥平面 CDE. 第三节 平行关系 A组 1．已知 m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_． ①如果 m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β ②如果 m⊂α，n⊂β，α∥β，那么 m∥n ③如果 m⊂α，n⊂β，α∥β且 m，n共面，那么 m∥n ④如果 m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β 解析：m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m，n没有公共点．又 m，n共面， 所以 m∥n.答案：③ 2．已知 m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题： ①若 m∥α，则 m平行于平面α内的无数条直线； ②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n； ③若 m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ④若α∥β，m⊂α，则 m∥β. 其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 解析：②中α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或 m，n异面，所以②错误．而其它 命题都正确．答案：①③④ 3．(2010 年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线 m、l、n和平面α、β的 四个命题： ①若 m⊂α，l∩α＝A，点 A∉m, 则 l与 m不共面； ②若 m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且 n⊥l，n⊥m，则 n⊥α； ③若 l∥α，m∥β，α∥β，则 l∥m； ④若 l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β. 其中为真命题的是________． 解析：③中若 l⊂β，m⊂α，α∥β⇒l∥m或 l，m异面，所以②错误．而其它 命题都正确．答案：①②④ 4．(2009 年高考福建卷改编)设 m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2 是平面β 内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________． ①m∥β且 l1∥α ②m∥l1且 n∥l2 ③m∥β且 n∥β ④m∥β且 n∥l2 解析：∵m∥l1，且 n∥l2，又 l1与 l2 是平面β内的两条相交直线， ∴α∥β，而当α∥β时不一定推出 m∥l1且 n∥l2，可能异面．答案： ② 5．(原创题)直线 a∥平面α，α内有 n条直线交于一点，则这 n条直线中与直线 a 平行的直线有________条． 答案：1 或 0 6．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°， AD＝2BC＝2CD，P为平面 ABCD外一点，且 PB⊥BD. (1)求证：PA⊥BD； (2)若 PC与 CD不垂直，求证：PA≠PD； (3)若直线 l过点 P，且直线 l∥直线 BC，试在直线 l上找一点 E，使得直线 PC∥平面 EBD. 解：(1)证明：∵ABCD为直角梯形，AD＝ 2AB＝ 2BD， ∴AB⊥BD，PB⊥BD，AB∩PB＝B， AB，PB⊂平面 PAB，BD⊥平面 PAB， PA⊂平面 PAB，∴PA⊥BD. (2)证明：假设 PA＝PD，取 AD中点 N，连结 PN，BN，则 PN⊥AD，BN⊥AD， AD⊥平面 PNB，得 PB⊥AD， 又 PB⊥BD，得 PB⊥平面 ABCD， ∴PB⊥CD. 又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面 PBC， ∴CD⊥PC，与已知条件 PC与 CD不垂直矛 盾． ∴PA≠PD. (3)在 l上取一点 E，使 PE＝BC，连结 BE，DE， ∵PE∥BC，∴四边形 BCPE是平行四边形， ∴PC∥BE，PC⊄平面 EBD，BE⊂平面 EBD， ∴PC∥平面 EBD. B组 1．已知 m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确 的是________． ①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ②若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β ③若 m∥n，m∥α，则 n∥α ④若 n⊥α，n⊥β，则α∥β 解析：①错，两平面也可相交；②错，不符合面面平行的判定定理条件，需 两平面内有两条相交直线互相平行；③错，直线 n不一定在平面内；④由空间想 象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确．答案：④ 2．已知 m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列 4 个命题： ①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α； ②若 m⊥n，m⊥α，n⊄α，则 n∥α； ③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则 m⊥n； ④若 m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则 n∥α.其中正确的命题有_． 解析：对于①，m有可能也在α上，因此命题不成立；对于②，过直线 n作 垂直于 m的平面β，由 m⊥α，n⊄α可知β与α平行，于是必有 n与α平行，因此命 题成立；对于③，由条件易知 m平行于β或在β上，n平行于α或在α上，因此必有 m⊥n；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的 两个面即可判断命题不成立．综上可知②③正确．答案：②③ 3．已知 m，n是平面α外的两条直线，且 m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的________ 条件． 解析：由于直线 m，n在平面外，且 m∥n，故若 m∥α，则必有 n∥α，反之 也成立．答案：充要 4．设 l1，l2 是两条直线，α，β是两个平面，A为一点，下列命题中正确的命题是 ________． ①若 l1⊂α，l2∩α＝A，则 l1 与 l2必为异面直线 ②若α⊥β，l1⊂α，则 l1⊥β ③l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β ④若 l1∥α，l2∥l1，则 l2∥α或 l2⊂α 解析：①错，两直线可相交于点 A；②错，不符合面面垂直的性质定理的条 件；③错，不符合面面平行的判定定理条件；④正确，空间想象即可．答案：④ 5．(2010 年广东深圳模拟)若 a不平行于平面α，且 a⊄α， 则下列结论成立的是________． ①α内的所有直线与 a异面 ②α内与 a平行的直线不存在 ③α内存在唯一的直线与 a平行 ④α内的直线与 a都相交 解析：由题设知，a和α相交，设 a∩α＝P，如图，在 α内过点 P的直线与 a共面，①错；在α内不过点 P的直线与 a异面，④错；(反 证)假设α内直线 b∥a，∵a⊄α，∴a∥α，与已知矛盾，③错．答案：② 6．设 m、n是异面直线，则(1)一定存在平面α，使 m⊂α且 n∥α；(2)一定存在平 面α，使 m⊂α且 n⊥α；(3)一定存在平面γ，使 m、n到γ的距离相等；(4)一定存 在无数对平面α与β，使 m⊂α，n⊂β，且α∥β.上述 4 个命题中正确命题的序号为 ________． 解析：(1)成立；(2)不成立，m、n不一定垂直；(3)过 m、n公垂线段中点分 别作 m、n的平行线所确定平面到 m、n距离就相等，(3)正确；满足条件的平面 只有一对，(4)错．答案：(1)(3) 7．如图，ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 a的正方体，M、N分 别是下底面的棱 A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱 AD上 的一点，AP＝a 3 ，过 P、M、N的平面交上底面于 PQ，Q在 CD上，则 PQ＝______. 答案： 2 2 3 a 8．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所 在棱的中点，能得出 AB∥面 MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求 的图形序号)． 解析：①∵面 AB∥面 MNP，∴AB∥面 MNP. ②若下底面中心为 O，易知 NO∥AB，NO⊄面 MNP，∴AB与面 MNP不平行． ③易知 AB∥MP，∴AB∥面 MNP. ④易知存在一直线 MC∥AB，且 MC⊄平面 MNP，∴AB与面 MNP不平行． 答案：①③ 9．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、F、G、H分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD的 中点，N是 BC中点．点 M在四边形 EFGH上及 其内部运动，则 M满足条件________时，有 MN∥ 平面 B1BDD1. 答案：M∈FH 10．如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AA1＝ 2，AB＝1，AD＝2，E为 BC的中点，点 M为棱 AA1 的中点． (1)证明：DE⊥平面 A1AE； (2)证明：BM∥平面 A1ED. 证明：(1)在△AED中，AE＝DE＝ 2，AD ＝2， ∴AE⊥DE. ∵A1A⊥平面 ABCD， ∴A1A⊥DE， ∴DE⊥平面 A1AE. (2) 设 AD的中点为 N，连结 MN、BN. 在 △A1AD 中 ， AM＝ MA1 ， AN＝ ND， ∴MN∥A1D， ∵BE∥ND且 BE＝ND， ∴四边形 BEDN是平行四边形， ∴BN∥ED， ∴平面 BMN∥平面 A1ED， ∴BM∥平面 A1ED. 11．(2010 年扬州调研)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N分别是 AB，BC的中点． (1)求证：平面 B1MN⊥平面 BB1D1D； (2)若在棱 DD1 上有一点 P，使 BD1∥平面 PMN， 求线段 DP与 PD1的比 解：(1)证明：连结 AC，则 AC⊥BD ， 又 M，N分别是 AB，BC的中点， ∴MN∥AC，∴MN⊥BD. ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴BB1⊥平面 ABCD， ∵MN⊂平面 ABCD， ∴BB1⊥MN， ∵BD∩BB1＝B， ∴MN⊥平面 BB1D1D， ∵MN⊂平面 B1MN， ∴平面 B1MN⊥平面 BB1D1D. (2)设 MN与 BD的交点是 Q，连结 PQ，PM，PN ∵BD1∥平面 PMN，BD1⊂平面 BB1D1D，平面 BB1D1D∩平面 PMN＝PQ， ∴BD1∥PQ， ∴DP∶PD1＝DQ∶QB＝3∶1. 12．如图，四边形 ABCD 为矩形，BC⊥平面 ABE，F为 CE上的点，且 BF⊥平面 ACE. (1)求证：AE⊥BE； (2)设点 M为线段 AB的中点，点 N为线段 CE 的中点．求证：MN∥平面 DAE. 证明：(1)因为 BC⊥平面 ABE，AE⊂平面 ABE， 所以 AE⊥BC， 又 BF⊥平面 ACE，AE⊂平面 ACE， 所以 AE⊥BF， 又 BF∩BC＝B，所以 AE⊥平面 BCE， 又 BE⊂平面 BCE，所以 AE⊥BE. (2)取 DE的中点 P，连结 PA，PN，因为点 N为 线段 CE的中点． 所以 PN∥DC，且 PN＝1 2 DC， 又四边形 ABCD是矩形，点 M为线段 AB的中 点，所以 AM∥DC，且 AM＝ 1 2 DC， 所以 PN∥AM，且 PN＝AM，故四边形 AMNP是平行四边形，所以 MN∥AP， 而 AP⊂平面 DAE，MN⊄平面 DAE，所以 MN∥平面 DAE. 第四节 垂直关系 A组 1．(2010 年宁波十校联考)设 b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命 题是真命题的是________． ①若 b⊂α，c∥α，则 b∥c ②若 b⊂α，b∥c，则 c∥α ③若 c∥α，α⊥β，则 c⊥β ④若 c∥α，c⊥β，则α⊥β 解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是 c⊂α；③中，c与β的关系 还可能是斜交、平行或 c⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确． 答案：④ 2．(2010 年青岛质检)已知直线 l⊥平面α，直线 m⊂平面β，下面有三个命题： ①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________． 解析：对于①，由直线 l⊥平面α，α∥β，得 l⊥β，又直线 m⊂平面β，故 l⊥m， 故①正确；对于②，由条件不一定得到 l∥m，还有 l与 m垂直和异面的情况， 故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为 2.答案：2 个 3．(2009 年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条 直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件． 解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果 m为平面α内的一条直线，m⊥β， 则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4．(2009 年高考浙江卷)如图，在长方形 ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为 DC的 中点，F为线段 EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿 AF折起，使平面 ABD⊥ 平面 ABC.在平面 ABD内过点 D作 DK⊥AB，K为垂足．设 AK＝t，则 t的取值 范围是________． 解析：如图，过 D作 DG⊥AF，垂足为 G，连结 GK，∵平面 ABD⊥平面 ABC，又 DK⊥AB， ∴DK⊥平面 ABC，∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面 DKG，∴AF⊥GK. 容易得到，当 F接近 E点时，K接近 AB的中 点，当 F接近 C点时，K接近 AB的四等分点．∴t 的取值范围是(1 2 ，1)．答案：(1 2 ，1) 5．(原创题)已知 a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且 a⊥α，b⊥β， 则下列命题中假命题的有________． ①若 a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则 a⊥b；③若 a、b相交，则α、β相交；④ 若α、β相交，则 a，b相交． 解析：若α、β相交，则 a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线． 答案：④ 6．(2009 年高考山东卷)如图，在直四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 中，底面 ABCD为等腰梯形，AB∥CD， AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1 分别是棱 AD， AA1的中点． (1)设 F是棱 AB的中点，证明：直线 EE1∥平 面 FCC1； (2)证明：平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 证明：(1)法一：取 A1B1 的中点为 F1，连结 FF1，C1F1. 由于 FF1∥BB1∥CC1， 所以 F1∈平面 FCC1. 因此平面 FCC1即为平面 C1CFF1. 连结 A1D，F1C， 由于 A1F1 綊 D1C1綊 CD， 所以四边形 A1DCF1为平行四边形， 因此 A1D∥F1C.又 EE1∥A1D， 得 EE1∥F1C. 而 EE1⊄平面 FCC1，F1C⊂平面 FCC1， 故 EE1∥平面 FCC1. 法二：因为 F为 AB的中点， CD＝2，AB＝4，AB∥CD， 所以 CD綊 AF， 因此四边形 AFCD为平行四边形， 所以 AD∥FC. 又 CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面 FCC1，CC1⊂平面 FCC1，AD∩DD1 ＝D，AD⊂平面 ADD1A1，DD1⊂平面 ADD1A1. 所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. 又 EE1⊂平面 ADD1A1，所以 EE1∥平面 FCC1. (2)连结 AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB， 又 F为 AB的中点，所以 AF＝FC＝FB. 因此∠ACB＝90°，即 AC⊥BC. 又 AC⊥CC1，且 CC1∩BC＝C， 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 而 AC⊂平面 D1AC， 故平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. B组 1．设 a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出 a⊥b的是____． ①a⊥α，b∥β，α⊥β ②a⊥α，b⊥β，α∥β ③a⊂α，b⊥β，α∥β ④a⊂α，b∥β，α⊥β 解析：由α∥β，b⊥β ⇒b⊥α，又 a⊂α，故 a⊥b.答案：③ 2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________． ①若 m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β ②若 n⊥α，n⊥β，m⊥β，则 m⊥α ③若 m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β ④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则 m⊥α 解析：由 n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因 m⊥β，所以 m⊥α.答案：② 3．设 m，n是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是． ①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β ②α∥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n ③α⊥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n ④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β 解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正 确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线 n在平 面α内时命题才成立．答案：② 4．已知两条不同的直线 m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是_． ①若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n ②若 m⊥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n ③若 m∥α，n∥β，α∥β，则 m∥n ④若 m∥α，n⊥β，α⊥β，则 m∥n 解析：易知①正确．而②中α⊥β且 m⊥α⇒m∥β或 m∈β，又 n∥β，容易知 道 m，n的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的 位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答 案：① 5．设 a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立 的是________． ①c⊥α，若 c⊥β，则α∥β ②b⊂β，c是 a在β内的射影，若 b⊥c，则 a⊥b ③b⊂β，若 b⊥α，则β⊥α ④b⊂α，c⊄α，若 c∥α，则 b∥c 解析：当 b⊂β，若β⊥α，则未必有 b⊥α.答案：③ 6．已知二面角α－l－β的大小为 30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β， 则 m、n所成的角为________． 解析：∵m⊥α，n⊥β， ∴m、n所成的夹角与二面角α－l－β所成的角相等或互补． ∵二面角α－l－β为 30°， ∴异面直线 m、n所成的角为 30°.答案：30° 7．如图所示，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝ 90°，BC1⊥AC，则 C1在底面 ABC上的射影 H必在直线 ______上． 解析：由 AC⊥AB，AC⊥BC1，AC⊥平面 ABC1， AC⊂平面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC，C1 在平面 ABC上的射影 H必在两平面的交线 AB上．答案：AB 8．(2010 年江苏昆山模拟)在矩形 ABCD中，AB＝3，AD ＝4，P在 AD上运动，设∠ABP＝θ，将△ABP沿 BP折起，使得平面 ABP垂直 于平面 BPDC，AC长最小时θ的值为________． 解析：过 A作 AH⊥BP于 H，连 CH，∴AH⊥平 面 BCDP. ∴在 Rt△ABH中，AH＝3sinθ，BH＝3cosθ. 在 △BHC 中 ， CH2 ＝ (3cosθ)2 ＋ 42 － 2×4×3cosθ×cos(90°－θ)， ∴在 Rt△ACH中， AC2＝25－12sin2θ， ∴θ＝45°时，AC长最小．答案：45° 9．在正四棱锥 P－ABCD中，PA＝ 3 2 AB，M是 BC的中点，G是△PAD的重心， 则在平面 PAD中经过 G点且与直线 PM垂直的直线有________条． 解析：设正四棱锥的底面边长为 a，则侧棱长 为 3 2 a. 由 PM⊥BC， ∴PM＝ 3 2 a 2－ a 2 2＝ 2 2 a， 连结 PG并延长与 AD相交于 N点， 则 PN＝ 2 2 a，MN＝AB＝a， ∴PM2＋PN2＝MN2， ∴PM⊥PN，又 PM⊥AD， ∴PM⊥面 PAD， ∴在平面 PAD中经过 G点的任意一条直线都与 PM垂直．答案：无数 10．如图，在三棱锥 S－ABC中，OA＝OB，O为 BC中点，SO⊥平面 ABC，E 为 SC中点，F为 AB中点． (1)求证：OE∥平面 SAB； (2)求证：平面 SOF⊥平面 SAB. 证明：(1)取 AC的中点 G，连结 OG，EG， ∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG＝G，SA∩AB＝A， ∴平面 EGO∥平面 SAB，OE⊂平面 OEG ∴OE∥平面 SAB (2)∵SO⊥平面 ABC， ∴SO⊥OB，SO⊥OA， 又∵OA＝OB，SA2＝SO2＋OA2，SB2＝SO2＋ OB2， ∴SA＝SB，又 F为 AB中点， ∴SF⊥AB，∵SO⊥AB， ∵SF∩SO＝S，∴AB⊥平面 SOF， ∵AB⊂平面 SAB，∴平面 SOF⊥平面 SAB. 11．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1 分别是棱 AA1， BB1，A1B1的中点． (1)求证：CE∥平面 C1E1F； (2)求证：平面 C1E1F⊥平面 CEF. 证明：(1)取 CC1的中点 G，连结 B1G交 C1F于点 F1，连结 E1F1，A1G，FG， ∵F是 BB1的中点，BCC1B1 是矩形， ∵四边形 FGC1B1 也是矩形， ∴FC1 与 B1G相互平分，即 F1 是 B1G的中点． 又 E1 是 A1B1的中点，∴A1G∥E1F1. 又在长方体中，AA1 綊 CC1，E，G分别为 AA1， CC1的中点， ∴A1E綊 CG，∴四边形 A1ECG是平行四边形， ∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE. ∵CE⊄平面 C1E1F，E1F1⊂平面 C1E1F， ∴CE∥平面 C1E1F. (2)∵长方形 BCC1B1中，BB1＝2BC，F是 BB1的中点， ∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形， ∴∠BFC＝∠B1FC1＝45°， ∴∠CFC1＝180°－45°－45°＝90°， ∴C1F⊥CF. ∵E，F分别是矩形 ABB1A1的边 AA1，BB1 的中点， ∴EF∥AB. 又 AB⊥平面 BCC1B1，又 C1F⊂平面 BCC1B1， ∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F. 又 CF∩EF＝F，∴C1F⊥平面 CEF. ∵C1F⊂平面 C1E1F，∴平面 C1E1F⊥平面 CEF. 12．(2010 年江苏淮安模拟)如图，已知空间四 边形 ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是 AB的中 点． 求证：(1)AB⊥平面 CDE； (2)平面 CDE⊥平面 ABC； (3)若 G为△ADC的重心，试在线段 AE上确定 一点 F，使得 GF∥平面 CDE. 证明：(1) BC＝AC AE＝BE ⇒CE⊥AB，同理， AD＝BD AE＝BE ⇒DE⊥AB， 又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面 CDE. (2)由(1)知 AB⊥平面 CDE， 又∵AB⊂平面 ABC， ∴平面 CDE⊥平面 ABC. (3)连结 AG并延长交 CD于 H，连结 EH，则 AG GH ＝ 2 1 ， 在 AE上取点 F使得 AF FE ＝ 2 1 ， 则 GF∥EH， 第五节 简单几何体的面积和体积 A组 1．(2010年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1，3， 2，则其外接球的表面积为________． 解析：设外接球半径为 r，则(2r)2＝12＋( 3)2＋22＝8，故 r2＝2.∴S 球＝4πr2 ＝8π.答案：8π 2．(2009 年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一直角边所在 的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________． 解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体． V＝1 3 S·h＝1 3 πR2·h ＝ 1 3 π×22×2＝8π 3 .答案： 8π 3 3．(2010 年南京调研)如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， D为棱 AA1 的中点．若截面△BC1D是面积为 6 的直角 三角形，则此三棱柱的体积为________． 解析：设 AC＝a，CC1＝b，则由 BC12＝BC2＋CC12， BC12＝DC12＋DB2，即得(a2＋ 1 4 b2)×2＝a2＋b2，得 b2＝2a2，又 1 2 × 3 2 a2＝6，∴a2 ＝8，∴V＝ 3 4 ×8×4＝8 3. 答案：8 3 4．矩形 ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿 AC将矩形 ABCD折成一个直二面角 B－ AC－D，则四面体 ABCD的外接球的体积为________． 解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线 AC上， 且其半径为 AC长度的一半，则 V 球＝ 4 3 π×(5 2 )3＝ 125π 6 .答案： 125π 6 5．已知过球面上三点 A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC ＝BC＝6，AB＝4，则球的半径等于________，球的表面积等于________． 解析：如右图，设球的半径为 r，O′是△ABC的外 心，外接圆半径为 R，则 OO′⊥面 ABC.在 Rt△ACD 中，cosA＝1 3 ，则 sinA＝2 2 3 .在△ABC中，由正弦定 理得 6 sinA ＝2R，R＝9 4 2，即 O′C＝9 4 2. 在 Rt△OCO′中，由题意得 r2－ 1 4 r2＝ 81×2 16 ， 得 r＝3 6 2 .球的表面积 S＝4πr2＝4π×9×6 4 ＝54π. 答案： 3 6 2 54π 6．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过 A1、C1、B三点的平面截去 长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体 积为 40 3 .(1)证明：直线 A1B∥平面 CDD1C1；(2)求棱 A1A的 长；(3)求经过 A1，C1，B，D四点的球的表面积． 解：(1)证明：法一：如图，连结 D1C， ∵ABCD－A1B1C1D1是长方体， ∴A1D1∥BC且 A1D1＝BC. ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形． ∴A1B∥D1C. ∵A1B⊄平面 CDD1C1，D1C⊂平面 CDD1C1， ∴A1B∥平面 CDD1C1. 法二：∵ABCD－A1B1C1D1 是长方体， ∴平面 A1AB∥平面 CDD1C1. ∵A1B⊂平面 A1AB，A1B⊄平面 CDD1C1. ∴A1B∥平面 CDD1C1. (2)设 A1A＝h，∵几何体 ABCD－A1C1D1的体积为 40 3 ， ∴VABCD－ A1C1D1 ＝ VABCD－ A1B1C1D1 － VB－ A1B1C1＝ 40 3 ， 即 SABCD×h－1 3 ×S△A1B1C1×h＝40 3 ， 即 2×2×h－1 3 × 1 2 ×2×2×h＝40 3 ，解得 h＝4. ∴A1A的长为 4. (3)如图，连结 D1B，设 D1B的中点为 O，连 OA1，OC1，OD. ∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面 A1AB. ∵A1B⊂平面 A1AB，∴A1D1⊥A1B. ∴OA1＝ 1 2 D1B.同理 OD＝OC1＝ 1 2 D1B. ∴OA1＝OD＝OC1＝OB. ∴经过 A1，C1，B，D四点的球的球心为点 O. ∵D1B2＝A1D12＋A1A2＋AB2＝22＋42＋22＝24. ∴S 球＝4π×(OD1)2＝4π×(D1B 2 )2＝π×D1B2＝24π. 故经过 A1，C1，B，D四点的球的表面积为 24π. B组 1．(2008 年高考湖北卷)用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为π， 则球的体积为________． 解析：截面圆的半径为 1，又球心到截面距离等于 1，所以球的半径 R＝ 2， 故球的体积 V＝4 3 πR3＝ 8 3 2π.答案： 8 2π 3 2．在三棱锥 A－BCD中，侧棱 AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB 的面积分别为 2 2 ， 3 2 ， 6 2 ，则该三棱锥的体积为________． 解析： 1 2 AB·AC＝ 2 2 ， 1 2 AD·AC＝ 3 2 ， 1 2 AB·AD＝ 6 2 ，∴AB＝ 2，AC＝1，AD ＝ 3.∴V＝1 3 ·1 2 ·1· 2· 3＝ 6 6 .答案： 6 6 3．(2010 年福建厦门检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相 切，若这个球的体积是 32π 3 ，则这个三棱柱的体积是________． 解析：由 4 3 πR3＝ 32π 3 ，得 R＝2.∴正三棱柱的高 h＝4.设其底面边长为 a，则 1 3 · 3 2 a＝2.∴a＝4 3.∴V＝ 3 4 (4 3)2·4＝48 3.答案：48 3 4．(2009 年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心 为顶点的凸多面体的体积为________． 解析：所求八面体体积是两个底面边长为 1，高为 2 2 的四棱锥的体积和，一 个四棱锥体积 V1＝ 1 3 ×1× 2 2 ＝ 2 6 ，故八面体体积 V＝2V1＝ 2 3 .答案： 2 3 5．(2009 年高考全国卷Ⅰ)已知 OA为球 O的半径，过 OA的中点 M且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M.若圆 M的面积为 3π，则球 O的表面积等于__________． 解析：由题意得圆 M的半径 r＝ 3，又球心到圆 M的距离为 R 2 ，由勾股定理 得 R2＝r2＋(R 2 )2，∴R＝2，则球的表面积为 4π×22＝16π.答案：16π 6．(2009 年高考江西卷)体积为 8 的一个正方体，其全面积与球 O的表面积相等， 则球 O的体积等于________． 解析：设正方体棱长为 a，则 a3＝8，∴a＝2. ∵S 正方体＝S 球，∴6×22＝4πR2，∴R＝ 6 π . V 球＝ 4 3 πR3＝ 4 3 π( 6 π )3＝ 8 6π π .答案： 8 6π π 7．若长方体的三个共顶点的面的面积分别是 2，3，6，则长方体的体积是__． 解析：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为 a，b，c，列出方程组 ab＝ 2， bc＝ 3， ac＝ 6， 解得 a＝ 2， b＝1， c＝ 3. 所以长方体的体积 V＝1× 2× 3＝ 6. 8．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为________ 解析：利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比 等于相似比的立方，而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方． 答案：1∶3 3 9．(2010 年南通调研)正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2 3，则四面体 A－B1CD1 的外接球的体积为________． 解析：四面体 A－B1CD1 的外接球即为正方体的外接球，所以 2r＝ 3×(2 3)2.∴r＝3，V 球＝ 4 3 πr3＝ 4 3 π×27＝36π.答案：36π 10．(2009 年高考宁夏、海南卷)如图，在三棱锥 P－ABC 中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°. (1)证明：AB⊥PC； (2)若 PC＝4，且平面 PAC⊥平面 PBC，求三棱锥 P －ABC的体积． 解：(1)证明：因为△PAB是等边三角形， ∠PAC＝∠PBC＝90°， 所以 Rt△PBC≌Rt△PAC，可得 AC＝BC. 如图，取 AB中点 D，连结 PD、CD， 则 PD⊥AB，CD⊥AB，所以 AB⊥平面 PDC， 所以 AB⊥PC. (2)作 BE⊥PC，垂足为 E，连结 AE. 因为 Rt△PBC≌Rt△PAC， 所以 AE⊥PC，AE＝BE. 由已知，平面 PAC⊥平面 PBC，故∠AEB＝90°. 因为 Rt△AEB≌Rt△PEB， 所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形． 由已知 PC＝4，得 AE＝BE＝2， △AEB的面积 S＝2. 因为 PC⊥平面 AEB， 所以三棱锥 P－ABC的体积 V＝1 3 ×S×PC＝8 3 . 11．如图，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， △ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F为 CD的中点． (1)求证：AF⊥平面 CDE； (2)求证：AF∥平面 BCE； (3)求四棱锥 C－ABED的体积． 解：(1)证明：∵F为等边三角形 CD边上的 中点， ∴AF⊥CD， ∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD， ∴AF⊥DE， 又 CD∩DE＝D，∴AF⊥平面 CDE. (2)证明：取 CE的中点 G，连 FG、BG.∵F为 CD的中点， ∴GF∥DE且 GF＝1 2 DE. ∵AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又 AB＝1 2 DE，∴GF＝AB. ∴四边形 GFAB为平行四边形，则 AF∥BG. ∵AF⊄平面 BCE，BG⊂平面 BCE，∴AF∥平面 BCE. (3)取 AD中点 M，连结 CM， ∵△ACD为等边三角形，则 CM⊥AD， ∵DE⊥平面 ACD，且 DE⊂平面 ABED， ∴平面 ACD⊥平面 ABED， 又平面 ACD∩平面 ABED＝AD，∴CM⊥平面 ABED， ∴CM为四棱锥 C－ADEB的高， ∴V＝1 3 CM·SABED＝1 3 AF·SABED＝ 3. 12．(2010 年广州质检)如图，A1A是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于 A、B的任意 一点，A1A＝AB＝2. (1)求证：BC⊥平面 A1AC； (2)求三棱锥 A1－ABC的体积的最大值． 解：(1)证明：∵C是底面圆周上异于 A、B的任意一 点，且 AB是圆柱底面圆的直径， ∴BC⊥AC. ∵AA1⊥平面 ABC，BC 平面 ABC， ∴AA1⊥BC. ∵AA1∩AC＝A，AA1 平面 AA1C，AC 平面 AA1C， ∴BC⊥平面 AA1C. (2)设 AC＝x，在 Rt△ABC中， BC＝ AB2－AC2＝ 4－x2(0＜x＜2)， 故 VA1－ABC＝1 3 S△ABC·AA1＝ 1 3 ·1 2 ·AC·BC·AA1 ＝ 1 3 x 4－x2(0＜x＜2)， 即 VA1－ABC＝1 3 x 4－x2＝ 1 3 x2(4－x2) ＝ 1 3 －(x2－2)2＋4. ∵0＜x＜2,0＜x2＜4，∴当 x2＝2，即 x＝ 2时， 三棱锥 A1－ABC的体积最大，其最大值为 2 3 . 第十五章 解析几何 第一节 直线的倾斜角、斜率及方程 A组 1．已知θ∈R，则直线 xsinθ－ 3y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是________． 解析：k＝ 3 3 sinθ，∵θ∈R，∴k∈[－ 3 3 ， 3 3 ]，∴倾斜角α∈[0°，30°]∪[150°， 180°)．答案：[0°，30°]∪[150°，180°) 2．已知直线 l1 的方程是 ax－y＋b＝0，l2 的方程是 bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)， 则下列各示意图形中，正确的是________． 解析：kl1＝a，l1 与 y轴的交点为(0，b)，kl2＝b，l2与 y轴的交点为(0，－a)， 可知④对．答案：④ 3．直线 mx－y＋2m＋1＝0 经过一定点，则该点的坐标是______________． 解析：mx－y＋2m＋1＝0⇒m(x＋2)＋(1－y)＝0， ∴x＝－2 时，y＝1，即过定点(－2,1)．答案：(－2,1) 4．(2008 年高考浙江卷)已知 a>0，若平面内三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3) 共线，则 a＝________. 解析：由 kAB＝kBC，即 a2＋a 1 ＝ a3－a2 1 ，可得 a(a2－2a－1)＝0，即 a＝1± 2或 a＝0，又 a>0，故 a＝1＋ 2.答案：1＋ 2 5．(原创题)若点 A(ab，a＋b)在第一象限内，则直线 bx＋ay－ab＝0 不经过 第________象限． 解析：点 A在第一象限内，∴ab>0 且 a＋b>0，即 a>0，b>0， 由 bx＋ay－ab＝0⇒y＝－ a b x＋b，∴－ a b <0，y轴的交点为(0，b)， ∴直线不过第三象限．答案：三 6．求过点 P(2,3)，且满足下列条件的直线方程： (1)倾斜角等于直线 x－3y＋4＝0 的倾斜角的二倍的直线方程； (2)在两坐标轴上截距相等的直线方程． 解：(1)由题意，可知 tanα＝1 3 ，k＝tan2α＝ 2tanα 1－tan2α ＝ 2×1 3 1－1 9 ＝ 3 4 ， y－3＝3 4 (x－2)，所以所求直线的方程为：3x－4y＋6＝0. (2)当直线过原点时方程为：y＝3 2 x，当直线不过原点时方程为： x 5 ＋ y 5 ＝1，故所求 直线的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0. B组 1．直线 l的倾角α满足 4sinα＝3cosα，而且它在 x轴上的截距为 3，则直线 l的方 程是________________． 解析：由 4sinα＝3cosα，得 tanα＝3 4 ，∴k＝3 4 ，直线 l在 x轴上的截距为 3， ∴l与 x轴的交点为(3,0)，∴直线 l：y－0＝3 4 (x－3)，即 3x－4y－9＝0. 2．已知直线 y＝kx－2k－1 与直线 x＋2y－4＝0 的交点位于第一象限，则 k 的取值范围是________． 解析：由 y＝kx－2k－1 x＋2y－4＝0 ，解之得 x＝4k＋6 2k＋1 y＝2k－1 2k＋1 ，∵交点在第一象限， ∴x>0，y>0，得 k>1 2 或 k<－3 2 . 3．直线 l与两直线 y＝1，x－y－7＝0 分别交于 P、Q两点，线段 PQ的中点恰 为(1，－1)，则直线 l的斜率为________． 解析：设直线 l与两直线的交点分别为(a,1)，(b，c)，P、Q的中点为(1，－ 1)，∴c＝－2－1＝－3，代入 x－y－7＝0 可得 b＝4，∴a＝2－b＝－2，∴P(－ 2,1)，Q(4，－3)，∴kPQ＝ 1－(－3) －2－4 ＝－ 2 3 . 4．若直线(k2－1)x－y－1＋2k＝0不过第二象限，则实数 k的取值范围是________． 解析：由直线方程可化为 y＝(k2－1)x＋2k－1，直线不过第二象限， ∴ k2－1＝0 2k－1<0 或 2k－1＝0 k2－1>0 或 k2－1>0 2k－1<0 ，解之得 k≤－1. 5．(2010 年苏州模拟)若 ab<0，则过点 P(0，－ 1 b )与 Q(1 a ，0)的直线 PQ的倾斜角 的取值范围是__________． 解析：kPQ＝ － 1 b －0 0－1 a ＝ a b <0.又倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线 PQ的倾 斜角的取值范围是(π 2 ，π)． 6．函数 y＝asinx－bcosx的一个对称轴方程为 x＝π 4 ，则直线 ax－by＋c＝0 的倾 斜角为______． 解析：令 f(x)＝asinx－bcosx，由于 f(x)的一条对称轴为 x＝π 4 ，得 f(0)＝f(π 2 )， 即－b＝a，a b ＝－1.∴直线 ax－by＋c＝0 的斜率为－1，倾斜角为 135°. 7．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0与a2x＋b2y＋1＝0的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1， b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是______________________． 解析：由条件可得 2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，显然点(a1，b1)与(a2， b2)在直线 2x＋3y＋1＝0 上． 8．直线 ax＋y＋1＝0 与连结 A(2,3)，B(－3,2)的线段相交，则 a的取值范围是__． 解析：∵直线 ax＋y＋1＝0 过定点 C(0，－1)，当直线处在直线 AC与 BC之 间时，必与线段 AB相交，故应满足－a≥3＋1 2 或－a≤2＋1 －3 ，即 a≤－2 或 a≥1. 9．(2010 年湛江质检)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，P是 AB 上的一动点，则点 P到 AC，BC的距离乘积的最大值是________． 解析：以 C为坐标原点，CA，CB分别为 x轴、y轴建立平面直角坐标系， 所以 A(3,0)，B(0,4)．直线 AB：x 3 ＋ y 4 ＝1，设 P(x，y)，所以 P到 AC、BC的距离 乘积为 xy，xy＝x(4－4 3 x)＝－ 4 3 x2＋4x＝－ 4 3 [(x－3 2 )2－ 9 4 ]≤4 3 × 9 4 ＝3. 答案：3 10．已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (1)证明：直线恒过定点 M； (2)若直线分别与 x轴、y轴的负半轴交于 A、B两点，求△AOB面积的最小 值及此时直线的方程． 解：(1)证明：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0 可化为(x－2y－3)m＝－2x－y －4.由 x－2y－3＝0 －2x－y－4＝0 得 x＝－1 y＝－2 ，∴直线必过定点(－1，－2)． (2)设直线的斜率为 k，则其方程为 y＋2＝k(x＋1)，∴OA＝2 k －1，OB＝k－2， S△AOB＝ 1 2 ·|OA|·|OB|＝1 2 |(2 k －1)(k－2)|＝1 2 |－(k－2)2 k |. ∵k<0，∴－k>0，∴S△AOB＝ 1 2 [－(k－2)2 k ]＝1 2 [4＋(－4 k )＋(－k)]≥4. 当且仅当－ 4 k ＝－k，即 k＝－2 时取等号，∴△AOB 的面积最小值是 4， 直线的方程为 y＋2＝－2(x＋1)，即 y＋2x＋4＝0. 11．已知直线 l：ay＝(3a－1)x－1. (1)求证：无论 a为何值，直线 l总过第三象限； (2)a取何值时，直线 l不过第二象限？ 解：(1)证明：由直线 l：ay＝(3a－1)x－1，得 a(3x－y)＋(－x－1)＝0， 由 3x－y＝0 －x－1＝0 ，得 x＝－1 y＝－3 ， 所以直线 l过定点(－1，－3)，因此直线总过第三象限． (2)直线 l不过第二象限，应有斜率 k＝3a－1 a ≥0 且－ 1 a ≤0. ∴a≥1 3 时直线 l不过第二象限． 12．若直线 l过点 P(3,0)且与两条直线 l1：2x－y－2＝0，l2：x＋y＋3＝0 分别相 交于两点 A、B，且点 P平分线段 AB，求直线 l的方程． 解：设 A(m,2m－2)，B(n，－n－3)．∵线段 AB的中点为 P(3,0)， ∴ m＋n＝6， (2m－2)＋(－n－3)＝0， ∴ m＋n＝6， 2m－n＝5， ∴ m＝11 3 ， n＝7 3 . ∴A(11 3 ， 16 3 )， ∴直线 l的斜率 k＝ 16 3 －0 11 3 －3 ＝8， ∴直线 l的方程为 y－0＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0 第二节 点与直线、直线与直线的位置关系 A组 1．(2009 年高考安徽卷改编)直线 l过点(－1,2)且与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，则 l的方程是________． 解析：由题意知，直线 l的斜率为－ 3 2 ，因此直线 l的方程为 y－2＝－ 3 2 (x＋ 1)，即 3x＋2y－1＝0. 2．(2010 年西安调研)已知两条直线 y＝ax－2 和 y＝(a＋2)x＋1 互相垂直，则 a 等于________． 解析：∵两条直线互相垂直，∴a(a＋2)＝－1，∴a＝－1. 3．(2010 年苏州质检)直线 x＋ay＋3＝0 与直线 ax＋4y＋6＝0 平行的充要条件是 a＝________. 解析：由两条直线平行可知 4－a2＝0， 6≠3a， ∴a＝－2. 4．若点 P(a,3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离为 4，且点 P在不等式 2x＋y－3<0 表 示的平面区域内，则实数 a的值为________． 解析：由 |4a－9＋1| 5 ＝4 得 a＝7 或－3，又 2a＋3－3<0，得 a<0，∴a＝－3. 5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量， 若直线 l过点 A(－2,3)，且法向量为 n＝(1，－2)，则直线 l的方程为_________． 解析：设 P(x，y)是直线 l上任意一点，则PA→＝(－2－x,3－y)，且PA→⊥n，故 PA→·n＝0，即(－2－x,3－y)·(1，－2)＝－x＋2y－8＝0，即直线 l的方程为 x－2y ＋8＝0.答案：x－2y＋8＝0 6．直线 y＝2x是△ABC中∠C的角平分线所在的直线，若 A、B的坐标分别为 A(－4,2)，B(3,1)，求点 C的坐标，并判断△ABC的形状． 解：设 A(－4,2)关于直线 y＝2x对称的点 A′的坐标是(m，n) 由 2＋n 2 ＝ －4＋m 2 ·2， 2－n －4－m ·2＝－1， 解得 m＝4， n＝－2， 即 A′的坐标是(4， －2)， 由 B、A′得 BC 所在的直线方程，3x＋y－10＝0，由 3x＋y－10＝0， y＝2x， 解 得 C 的坐标是(2,4)，又∵kAC′＝ 1 3 ，kBC′＝－3， ∴AC′⊥BC′，即△ABC′是直角三角形． B组 1．已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l对称，则直线 l的方程为______________． 解析：kPQ＝ 4－2 1－3 ＝－1，PQ的中点为(3＋1 2 ， 2＋4 2 )，即(2,3)， ∴kl＝1，∴直线 l的方程为 y－3＝(x－2)，即 x－y＋1＝0. 2．若三条直线 l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x＋y＋c＝0 不能围成三角形， 则 c的值为________． 解析：由 l1，l2，l3的方程可知 l1，l2，l3 不平行，由 x＋y＝7， 3x－y＝5， 解得交点 (3,4)，代入 l3 的方程得 c＝－10. 3．已知两条直线 l1：ax＋by＋c＝0，直线 l2：mx＋ny＋p＝0，则 an＝bm是直线 l1∥l2 的________条件． 解析：∵l1∥l2⇒an－bm＝0，且 an－bm＝0⇒/ l1∥l2.答案：必要不充分 4．过点 P(1,2)作直线 l，使直线 l与点 M(2,3)和点 N(4，－5)距离相等，则直线 l 的方程为________________． 解析：直线 l为与 MN平行或经过 MN的中点的直线，当 l与 MN平行时， 斜率为－4，故直线方程为 y－2＝－4(x－1)，即 4x＋y－6＝0；当 l经过 MN的 中点时，MN的中点为(3，－1)，直线 l的斜率为－ 3 2 ，故直线方程为 y－2＝－ 3 2 (x －1)，即 3x＋2y－7＝0.答案：3x＋2y－7＝0 或 4x＋y－6＝0 5．已知直线 l经过点(1 2 ，2)，其横截距与纵截距分别为 a、b(a、b均为正数)，则 使 a＋b≥c恒成立的 c的取值范围为________． 解析：设直线方程为 x a ＋ y b ＝1，∴ 1 2a ＋ 2 b ＝1，a＋b＝(a＋b)·( 1 2a ＋ 2 b )＝5 2 ＋ b 2a ＋ 2a b ≥ 9 2 ，故 c≤9 2 .答案：(－∞， 9 2 ] 6．(2010 年苏南四市调研)若函数 y＝ax＋8 与 y＝－ 1 2 x＋b的图象关于直线 y＝x 对称，则 a＋b＝________. 解析：直线 y＝ax＋8 关于 y＝x对称的直线方程为 x＝ay＋8，所以 x＝ay＋8 与 y＝－ 1 2 x＋b为同一直线，故得 a＝－2 b＝4 ，所以 a＋b＝2.答案：2 7．如图，已知 A(4,0)、B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线 经直线 AB反射后再射到直线 OB上，最后经直线 OB 反射后又回到 P点，则光线所经过的路程是______． 解析：分别求点 P关于直线 x＋y＝4 及 y轴的对 称点，为 P1(4,2)、P2(－2，0)，由物理知识知，光线 所经路程即为 P1P2＝2 10.答案：2 10 8．设 a、b、c、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对 边的边长，则直线 xsinA＋ay＋c＝0与 bx－ysinB＋sinC ＝0 的位置关系是______． 解析：由 bsinA－asinB＝0 知，两直线垂直．答案：垂直 9．(2010 年江苏常州模拟)已知 00)与两坐标轴无公共点，那么实数 k的取值范 围为________． 解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径 r＝ k2－1，若圆与两坐标无公共点，即 k2－1<|k| k2－1<1 ，解得 10)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)， 设△AOB的外接圆圆心为 E. (1)若⊙E与直线 CD相切，求实数 a的值； (2)设点 P在圆 E上，使△PCD的面积等于 12 的点 P有且只有三个，试问 这样的⊙E是否存在，若存在？求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由． 解：(1)直线 CD方程为 y＝x＋4，圆心 E(a 2 ， a 2 )，半径 r＝ 2 2 a. 由题意得 |a 2 － a 2 ＋4| 2 ＝ 2 2 a，解得 a＝4. (2)∵|CD|＝ (－4)2＋42＝4 2，∴当△PCD面积为 12 时，点 P到直线 CD 的距离为 3 2.又圆心 E到直线 CD距离为 2 2(定值)，要使△PCD的面积等于 12 的点 P有且只有三个，只须圆 E半径 2a 2 ＝5 2，解得 a＝10， 此时，⊙E的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50. 11．在 Rt△ABO中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，点 P为它的内切圆 C上任 一点，求点 P到顶点 A、B、O距离的平方和的最大值和最小值． 解：如图所示，以 O为原点，OA所在直线为 x轴，OB所在直线为 y轴， 建立直角坐标系 xOy，则 A(8,0)，B(0,6)，内切圆 C 的半径 r＝1 2 (OA＋OB－AB)＝8＋6－10 2 ＝2.∴内切 圆 C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4. 设 P(x，y)为圆 C上任一点，点 P到顶点 A、B、 O的距离的平方和为 d，则 d＝PA2＋PB2＋PO2 ＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2 ＝3x2＋3y2－16x－12y＋100 ＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76. ∵点 P(x，y)在圆 C上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x. ∵点 P(x，y)是圆 C上的任意点，∴x∈[0,4]． ∴当 x＝0 时，dmax＝88；当 x＝4 时，dmin＝72. 12．(2008 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy中，设二次函数 f(x)＝x2＋2x＋ b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b的取值范围； (2)求圆 C的方程； (3)问圆 C是否经过某定点(其坐标与 b无关)？请证明你的结论． 解：(1)显然 b≠0.否则，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两个坐标轴只有 两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由 b≠0 知，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b 的图象与 y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与 x轴必有两个交点，从而方程 x2＋2x＋b＝0 有两个不相等的实数根，因此方程的判别式 4－4b>0，即 b<1. 所以 b的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． (2)由方程 x2＋2x＋b＝0，得 x＝－1± 1－b. 于是，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b的图象与坐标轴的交点是(－1－ 1－b，0)， (－1＋ 1－b，0)，(0，b)．设圆 C的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因圆 C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆 C的方程，得 (－1－ 1－b)2＋D(－1－ 1－b)＋F＝0， (－1＋ 1－b)2＋D(－1＋ 1－b)＋F＝0， b2＋Eb＋F＝0. 解上述方程组，因 b≠0， 得 D＝2， E＝－(b＋1)， F＝b. 所以，圆 C的方程为 x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0. (3)圆 C过定点．证明如下： 假设圆 C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C的方程， 并变形为 x02＋y02＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立，必须有 1－y0＝0，结合(*)式得 x02＋y02＋2x0－y0＝0. 解得 x0＝0， y0＝1， 或 x0＝－2， y0＝1. 经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆 C上， 因此，圆 C过定点． 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 A组 1．(2009 年高考天津卷)若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6 ＝0(a>0)的公共弦的长为 2 3，则 a＝________. 解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝1 a ， 如图，由已知|AC|＝ 3，|OA|＝2，有|OC|＝1 a ＝1，∴a ＝1. 答案：1 2．(2009 年高考全国卷Ⅱ)已知圆 O：x2＋y2＝5 和点 A(1,2)，则过 A且与圆 O相 切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________． 解析：依题意，过 A(1,2)作圆 x2＋y2＝5 的切线方程为 x＋2y＝5，在 x轴上 的截距为 5，在 y轴上的截距为 5 2 ，切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝1 2 × 5 2 ×5 ＝ 25 4 .答案： 25 4 3．(2009 年高考湖北卷)过原点 O作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切 点分别为 P、Q，则线段 PQ的长为________． 解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为 5. 如图可知，|CO|＝5， ∴OP＝ 25－5＝2 5 .∴tan∠POC＝PC OP ＝ 1 2 .在 Rt△POC 中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝ 2 5× 5 5 ＝ 2.∴PQ＝2PM＝4.答案：4 4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有公共点，则实数 m的取值范围是________． 解析：将圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 化为标准方程， 得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为 1. 若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径， 即 d＝ |3×1＋4×(－2)＋m| 32＋42 ＝ |m－5| 5 >1，∴m<0 或 m>10. 答案：(－∞，0)∪(10，＋∞) 5．(原创题)已知直线 3x－y＋2m＝0 与圆 x2＋y2＝n2相切，其中 m，n∈N*，且 n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个． 解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即 2m－1＝n，所以 2m－1－m<5，因为 m，n∈N*，所以 m＝1 n＝1 ， m＝2 n＝2 ， m＝3 n＝4 ， m＝4 n＝8 ， 故有序实数对(m，n)共有 4 个．答案：4 个 6．(2010 年南京调研)已知：以点 C(t，2 t )(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x轴交于点 O、 A，与 y轴交于点 O、B，其中 O为原点． (1)求证：△OAB的面积为定值； (2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C交于点 M，N，若 OM＝ON，求圆 C的方程． 解：(1)证明：∵圆 C过原点 O，∴OC2＝t2＋4 t2 .设圆 C的方程是(x－t)2＋(y － 2 t )2＝t2＋4 t2 ，令 x＝0，得 y1＝0，y2＝ 4 t ；令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t. ∴S△OAB＝ 1 2 OA·OB＝1 2 ×|4 t |×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值． (2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段 MN.∵kMN＝－2，∴kO C＝1 2 ， ∴直线 OC的方程是 y＝1 2 x.∴2 t ＝ 1 2 t，解得：t＝2 或 t＝－2. 当 t＝2 时，圆心 C的坐标为(2,1)，OC＝ 5，此时圆心 C到直线 y＝－2x＋ 4 的距离 d＝ 1 5 < 5，圆 C与直线 y＝－2x＋4 相交于两点． 当 t＝－2 时，圆心 C的坐标为(－2，－1)，OC＝ 5，此时圆心 C到直线 y ＝－2x＋4 的距离 d＝ 1 5 > 5，圆 C与直线 y＝－2x＋4 不相交， ∴t＝－2 不符合题意舍去．∴圆 C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. B组 1．直线 ax＋by＋b－a＝0 与圆 x2＋y2－x－3＝0 的位置关系是________． 解析：直线方程化为 a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程， 左侧小于 0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交 2．(2010 年秦州质检)已知直线 y＝ 3－x与圆 x2＋y2＝2 相交于 A、B两点，P 是优弧 AB上任意一点，则∠APB＝____________. 解析：弦心距长为 6 2 ，半径为 2，所以弦 AB所对的圆心角为 π 3 ，又因为同 弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB＝π 6 .答案： π 6 3．已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与 b的夹角为 60°，直线 xcosα ＋ysinα＝0 与圆(x＋cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝ 1 2 的位置关系是________． 解析：cos60°＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos(α－β)， d＝ |cosα·cosβ＋sinα·sinβ| cos2α＋sin2α ＝|cos(α－β)|＝ 3 2 > 2 2 ＝r.答案：相离 4．过点 A(11,2)作圆 x2＋y2＋2x－4y－164＝0 的弦，其中弦长为整数的共有__条． 解析：方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点 A(11,2)的距离 为 12，最短弦长为 10，最长弦长为 26，所以所求直线条数为 2＋2×(25－10)＝ 32(条)．答案：32 5．若集合 A＝{(x，y)|y＝1＋ 4－x2}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合 A∩B 有 4 个子集时，实数 k的取值范围是________________． 解析：A∩B有 4 个子集，即 A∩B有 2 个元素，∴ 半圆 x2＋(y－1)2＝4(y≥1)与过 P(2,4)点，斜率为 k的直 线有两个交点，如图：A(－2,1)，kPA＝ 3 4 ，过 P与半圆相 切时，k＝ 5 12 ，∴ 5 12 0)，又 Q点在底面 ABCD的对角线 BD 上，所以可设 Q 点的坐标为 (y， y,0)，因此 P、Q 两点间的距离 PQ＝ (－x－y)2＋(x－y)2＋( 2 2 a－ 2x)2 ＝ 4(x－a 4 )2＋2y2＋ a2 4 ，显然当 x＝a 4 ，y＝0 时 d取得最小值，d的最小值 等于 a 2 ，这时，点 P恰好为 SC的中点，点 Q恰好为底面的中心． 第十六章 圆锥曲线 1．椭圆 12 2 2 2  b y a x （a>b>0）的两焦点为 F1F2，连接点 F1，F2为边作正三角形， 若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 13  2．已知 N（3，1），点 A、B 分别在直线 y=x 和 y=0 上，则△ABN 的周长的最小 值是 20 。 3．一个动圆的圆心在抛物线 2 8y x 上，且动圆恒与直线 2 0x   相切，则此 动圆必经过点______ (2,0) ________ 4．抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上一点 ( ,1)M m 到焦点的距离为 5， 则此抛物线的方程为 2 16x y 5．椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的离心率为 3 3 ，那么双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的离 心率为 15 3 6．已知椭圆的焦点是 1 2, ,F F P是椭圆上的一个动点，如果延长 1F P到Q，使得 2PQ PF ，那么动点Q的轨迹是 圆 （写出曲线类型） 7．椭圆 2 2 1 12 3 x y   的焦点是 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，如果线段 1F P的中点在 y 轴 上，那么 1 2:PF PF  7 :1 8．过点 (0,1)M 且与抛物线 2: 4C y x 仅有一个公共点的直线方程是 0, 1x y  及 1y x  9．函数    1x1xx21xf 2  的图象为 C,则 C与 x轴围成的封闭 图形的面积为______2－ 2  ______. 10．若椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左、右焦点分别为 21 ,FF ，抛物线 bxy 42  的 焦点为M ，若 ||2|| 21 MFMF  ，则此椭圆的离心率为 10 103 10 10 或 11．已知双曲线 )0(122  mmyx 的右顶点为 A，而 B、C 是双曲线右支上两点， 若三角形 ABC 为等边三角形，则 m 的取值范围是 ),3(  。 12．长度为 a的线段 AB 的两个端点 A、B 都在抛物线 )2,0(22 pappxy  上 滑动，则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离为 2a 。 y x o P Q A 13．已知△ABC 的顶点 A（1,4），若点 B 在 y 轴上，点 C 在直线 y=x 上，则△ABC 的周长的最小值是 34 。 14．设过点  22,2 的直线 l 的斜率为 k，若圆 422  yx 上恰有三点到直线 l 的距离等于 1，则 k 的值是 1 或 7 。 15．设 a 、 b是方程 2 cot cos 0x x     的两个不相等的实数根，那么过点 2( , )A a a 和点 2( , )B b b 的直线与圆 2 2 1x y  的位置关系是（ A ） A．相交 B．相切 C．相离 D．随 的值变化而变化 16．已知圆 C 过三点 O（0，0），A（3，0），B（0，4），则与圆 C 相切且与坐标 轴上截距相等的切线方程是 043  yx 或 7 5 2 2 2 x y+ = ± ． 17．P 是双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点， 且焦距为 2c，则 21FPF 的内切圆的圆心横坐标为 a ． 18．在直角坐标平面上，O 为原点，N 为动点，｜ ON ｜＝6， 5 1 OM ON ．过点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1，过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1，OT ＝ MM1 ＋ NN1 ， 记点 T 的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）已知直线 L 与双曲线 C1：5x2－y2＝36 的右支相交于 P、Q 两点 （其中点 P 在第一象限）， 线段 OP 交轨迹 C 于 A， 若 OP ＝3OA，SΔPAQ＝－26tan∠PAQ， 求直线 L 的方程． 解：（Ⅰ）设 T（x，y），点 N（x1，y1），则 N1（x1，0）．又 5 1 OM ON ＝（ 5 1 x1， 5 1 y1），∴M1（0， 5 1 y1）， MM1 ＝（ 5 1 x1，0）， NN1 ＝（0，y1）．于是OT ＝ MM1 ＋ NN1 ＝（ 5 1 x1，y1），即（x，y）＝（ 5 1 x1，y1）．       yy xx 1 1 5 代入｜ ON ｜＝6， 得 5x2＋y2＝36．所求曲线 C 的轨迹方程为 5x2＋y2＝36． （ II ） 设 ( , ),A m n 由 3OP OA    及 P 在 第 一 象 限 得 (3 ,3 ), 0, 0.P m n m n  1 2, ,A c P c   2 2 2 25 36,5 4,m n m n    解得 2, 4,m n  即 (2, 4), (6,12).A P 设 ( , ),Q x y 则 2 25 36.x y  ① 由 26 tan ,S PAQ   得 1 sin 26 tan 2 AP AQ PAQ PAQ        ， 52AP AQ      ，即 (4,8) ( 2, 4) 52, 2 3 0.x y x y        ② 联立①， ②，解得 51, 19 3 , 19 x y         或 3, 3. x y     因点Q在双曲线 C1的右支， 故点Q的坐标为 (3, 3) 由 (6,12),P (3, 3)Q  得直线 l的方程为 3 3 , 12 3 6 3 y x     即5 18 0.x y   19．设椭圆 E： 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，已知椭圆E 上任意一点 P，满足 2 1 2 1 2 PF PF a    ，过 1F 作垂直于椭圆长轴的弦长为 3． （1）求椭圆 E的方程； （2）若过 1F 的直线交椭圆于 ,A B两点，求 2 2F A F B   的取值范围． 解：（1）设点 P 0 0( , )x y ，则 1 0 0 2 0 0( , ), ( , )PF c x y PF c x y         ， 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 0 02 cPF PF x c y x b c a           2 2 2 1 2 0 1 ,0 2 PF PF a x a       2 2 21 , 2 2 b c a a c     ，又 2 2 2 2 2 2 31, , 2 c y b by a b a a        ， 2 24, 3a b  ，∴椭圆的方程为： 2 2 1 4 3 x y   （2）当过 1F 直线 AB 的斜率不存在时，点 3 3( 1, ), ( 1, ) 2 2 A B   ，则 2 2 1 2 F A F B     ；当过 1F 直线 AB的斜率存在时，设斜率为 k ，则直线 AB的 L 方程为 ( 1)y k x  ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 由 2 2 ( 1) 1 4 3 y k x x y       得： 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k     2 2 1 2 1 22 2 8 4 12, 4 3 4 3 k kx x x x k k         2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 1) 7 9 7 57 4 3 4 4(4 3) 70, 3 4 F A F B x x y y x x k x x k x x k x x k k k k k F A F B                                    综合以上情形，得： 2 2 73 4 F A F B      20．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，实轴长为 2．一条斜率为1的 直线 l过右焦点 F 与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆与右准线交于 M， N 两点． （1）若双曲线的离心率为 2 ，求圆的半径； （2）设 AB 的中点为 H，若 16 3 HM HN      ，求双曲线的方程． 解答：（1）设所求方程为 2 2 2 2 1x y a b   ．由已知 2a＝2，∴a＝1，又 e＝ c a ＝2， ∴c＝2． ∴双曲线方程为 2 2 1, 3 yx   右焦点 F(2，0)，L；y＝x－2，代入 2 2 1, 3 yx   得 22 4 7 0x x   ．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1 2 1 2 72, 2 x x x x     ， ∴ 2 1 2 1 22 ( ) 4 6AB x x x x    ，∴r＝3． (2)设双曲线方程为 2 2 2 1, 1 yx c    L；y＝x－2，代入并整理得 2 2 2( 2) 2 2 1 0c x cx c     ． ∴ 3 1 2 2 2 1 ( ) , 2 2 2H H H c c cx x x y x c c c          ． 设半径为 R， ,HM HN     ，则 2 16cos 3 R    ． ∵ 2 1 2cos 2 c c c R    ＝ ，∴ 2 2 1 2 2 c R c    ，∴ 1cos 2 c   ． ∴ 2 2 2 2cos 2cos 1 2 c c      ，代入 2 16cos 3 R    得： 2c ＝3． ∴ 2 2 1 2 yx   为所求．