2019年高考数学总复习检测第48讲　空间几何体的表面积与体积 5页

第48讲　空间几何体的表面积与体积 ‎1．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)‎ A.＋1 B.＋3‎ C.＋1 D.＋3‎ ‎ 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，‎ 所以该几何体的体积 V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.‎ ‎2．(2015·新课标卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：‎ ‎“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(B)‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎ 设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，‎ 所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝×()2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．‎ ‎3．(2018·河北五校高三联考)已知几何体的三视图如图所示，则其体积为(C)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎ 将三视图还原为直观图，如图1.‎ 图1‎ 由直观图可知，该几何体是一个组合体，将该组合体分割成两个几何体，如图2.‎ 图2‎ ‎ 　　其中EAGHD为四棱锥，EGHFBC为三棱柱．‎ 四棱锥EAGHD是底面边长分别为1,2的矩形，高为1，其体积V1＝×1×2×1＝.‎ 三棱柱EGHFBC为斜三棱柱，此棱柱通过割补可变成一个直三棱柱E′GHF′BC，如图3.‎ 图3‎ 此棱柱的体积V2＝×2×1×1＝1.‎ 所以所求几何体的体积V＝V1＋V2＝.‎ ‎4．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 则球O的表面积为(D)‎ ‎ A. π B.π C. π D.π ‎ 在△ABC中，因为AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，‎ 所以∠ABC＝30°，‎ 由正弦定理得＝2r(r为△ABC的外接圆半径)，‎ 即2r＝ ＝4，所以r＝2.‎ 因为R2＝r2＋h2，又因为h＝，‎ 所以R2＝4＋，解得R2＝，‎ 所以球O的表面积为S＝4πR2＝.‎ ‎5．(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是　80　cm2，体积是　40　cm3.‎ ‎ 由三视图还原几何体如图所示，‎ 下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.‎ 所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；‎ 体积为4×4×2＋23＝40(cm3)．‎ ‎6．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为　π　.‎ ‎ 设正方体的棱长为a，则6a2＝18，所以a＝.‎ 设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，‎ 所以R＝.故球的体积V＝πR3＝π×()3＝π.‎ ‎7．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积．‎ ‎ 如图，正三棱锥SABC，‎ 设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高，‎ 连接AH并延长交BC于E，‎ 则E为BC的中点，且AH⊥BC.‎ 因为△ABC是边长为6的正三角形，‎ 所以AE＝×6＝3，所以AH＝AE＝2，‎ 在△ABC中，S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.‎ 在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，‎ 所以SH＝＝＝，‎ 所以V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.‎ ‎8．(2015·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)‎ A.＋π B.＋π C.＋2π D.＋2π ‎ 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据可得三棱锥的体积V1＝××2×1×1＝，半圆柱的体积V2＝×π×12×2＝π，所以V＝＋π.‎ ‎9．(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为　2＋　.‎ ‎ 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1，高为1的圆柱体构成，‎ 所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.‎ ‎10．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．‎ ‎(1)求这个奖杯的体积(π取3.14)；‎ ‎(2)求这个奖杯的底座的侧面积．‎ ‎ (1)球的体积V球＝πr3＝36π，‎ 圆柱的体积V圆柱＝Sh1＝64π，‎ 正四棱台的体积是V正四棱台＝h2(S上＋S下＋)＝336，‎ 所以此几何体的体积是V＝100π＋336＝650(cm3)．‎ ‎(2)因为底座是正四棱台，‎ 所以它的斜高是h′＝＝5，‎ 所以它的侧面积是 S侧＝4××(6＋12)×5＝180 (cm2)．‎