2019年高考数学总复习检测第55讲　两直线的位置关系 3页

第55讲　两直线的位置关系 ‎　‎ ‎1．一条光线从点(5,3)射入，与x轴正向成α角，遇x轴后反射，若tan α＝3，则反射线所在的直线方程为(D)‎ A. y＝3x－12 B. y＝－3x－12‎ C. y＝3x＋12 D. y＝－3x＋12‎ ‎ 反射线所在的直线过点(5，－3)，‎ 斜率k＝－tan α＝－3，‎ 由点斜式得y＋3＝－3(x－5)，即y＝－3x＋12.‎ ‎2．(2017·江西景德镇二模)若直线l1：(m－2)x－y－1＝0与直线l2：3x－my＝0互相平行，则m的值等于(D)‎ A．0或－1或3 B．0或3‎ C．0或－1 D．－1或3‎ ‎ 当m＝0时，两条直线方程分别化为－2x－y－1＝0,3x＝0，此时两直线不平行；‎ 当m≠0时，由于l1∥l2，则＝，解得m＝－1或3.‎ 经检验满足条件．‎ 综上，m＝－1或3.‎ ‎3．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的(B)‎ A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 容易检验当m＝时，两条直线互相垂直，所以可以否定C和D.观察两个方程的系数，不难得到，当m＋2＝0时，即m＝－2时，两条直线也互相垂直，故选B.‎ ‎4．(2017·广州市二测)已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(D)‎ A．{－，} B．{，－}‎ C．{－，，} D．{－，－，} ‎ ‎ 记l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0，‎ l1，l2，l3不构成三角形，当且仅当：l3∥l1或l3∥l2或l1、l2、l3相交于同一点．‎ ‎①l3∥l1，得m＝；‎ ‎②l3∥l2，得m＝－；‎ ‎③l1与l2的交点为(－1，－)∈l3，‎ 得－m＋－1＝0，得m＝－.‎ 综上，实数m的取值集合为{－，－，}．‎ ‎5．直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋c＝0垂直于点(1，m)，则a＝　10　，c＝　－12　，m＝　－2　.‎ ‎ 因为两直线互相垂直，所以－·＝－1，‎ 所以a＝10.‎ 又两直线垂直于点(1，m)，所以(1，m)在直线l1和l2上，‎ 所以10×1＋4×m－2＝0，所以m＝－2，‎ 再将(1，－2)代入2x－5y＋c＝0，‎ 得2×1－5×(－2)＋c＝0，得c＝－12.‎ ‎6．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为　25　.‎ ‎ 由两直线平行可得a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1，‎ 又a，b为正数，‎ 所以2a＋3b＝(2a＋3b)·(＋)＝13＋＋≥13＋2＝25.‎ 当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.‎ ‎7．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1、k2满足k1k2＋2＝0.‎ ‎(1)证明l1与l2相交； ‎ ‎(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上. ‎ ‎ (1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.‎ 此与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，‎ 即l1与l2相交．‎ ‎(2)(方法一)由方程组 解得交点P的坐标(x，y)满足 而2x2＋y2＝2()2＋()2‎ ‎＝＝＝1.‎ 此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎(方法二)交点P的坐标(x，y)满足 故x≠0，从而代入k1k2＋2＝0，‎ 得·＋2＝0，整理得2x2＋y2＝1.‎ 所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ ‎8．(2018·湖南长郡中学联考)已知f(x)为奇函数，函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x＋1对称，若g(1)＝4，则f(－3)＝(A)‎ A．－2 B．2‎ C．－1 D．4‎ ‎ 因为g(1)＝4，所以(1,4)在g(x)的图象上，‎ 因为f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x＋1对称，‎ 所以(1,4)关于y＝x＋1的对称点在y＝f(x)的图象上，‎ 因为(1,4)关于y＝x＋1的对称点为(3,2)，‎ 所以f(3)＝2，‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－2.‎ ‎9．(2017·江西南昌模拟)m∈R，直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0恒过定点，此定点的坐标为　(3,1)　.‎ ‎ 直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，‎ 即(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，‎ 由解得 故直线过定点(3,1)．‎ ‎10．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．‎ ‎ (1)设A′(x，y)，由已知条件有：‎ 解得所以A′(－，)．‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，‎ 则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上，设对称点为M′(a，b)，则 解得M′(，)．‎ 设m与l的交点为N，‎ 由得N(4,3)．‎ 又因为m′经过点N(4,3)，‎ 所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ ‎(3)设P(x，y)为l′上任意一点，‎ 则P关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，‎ 所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0为所求．‎