2019年高考数学总复习检测第64讲　圆锥曲线的综合应用 3页

第64讲　圆锥曲线的综合应用 ‎　‎ ‎1．(2014·新课标卷Ⅱ) 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.‎ ‎ (1)根据c＝及题设知M(c，)，‎ 因为＝，所以2b2＝3ac，‎ 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，‎ 得2c2＋3ac－2a2＝0，解得＝或＝－2(舍去)．‎ 故C的离心率为.‎ ‎(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，‎ 所以直线MF1与y轴的交点D(0,2) 是线段MF1的中点，‎ 故＝4，即b2＝4a，①‎ 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.‎ 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则 即 ‎ 代入C的方程，得＋＝1.‎ 将①及c＝代入②得＋＝1，‎ 解得a＝7，b2＝4a＝28，‎ 故a＝7，b＝2.‎ ‎2．(2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎ (1)由题意得a＝2，b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 又c＝＝，所以离心率e＝＝.‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.‎ 又A(2,0)，B(0,1)，‎ 所以直线PA的方程为y＝(x－2)．‎ 令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.‎ 直线PB的方程为y＝x＋1.‎ 令y＝0，得xN＝－，‎ 从而|AN|＝2－xN＝2＋.‎ 所以四边形ABNM的面积 S＝|AN|·|BM|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ 从而四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎3．(2017·湖南省六校联考)在圆x2＋y2＝1上任取一个动点P，作PQ⊥x轴于Q，M满足＝2，当P在圆上运动时，M 的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)曲线C与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，直线y＝kx(k>0)与曲线C交于E，F，当四边形AEBF面积最大时，求k的值．‎ ‎ (1)设M(x，y)，P(x0，y0)，‎ 则 得 ‎ 而P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，‎ 即x＋y＝1，故x2＋＝1，此即曲线C的方程．‎ ‎(2)由(1)知A(1,0)，B(0,2)，‎ 则直线AB的方程为2x＋y－2＝0.‎ 设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即当k＝2时，上式取等号，‎ 所以当四边形AEBF面积最大时，k＝2.‎ ‎4．(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－